立体几何经典例题分析与基础练习题

1、立体几何线面关系1、 柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式 例题分析考点1 点到平面的距离（线面垂直）求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.ABCD例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解法：（）取中点，连结ABCDOF为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面， 为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又， 所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平

2、面的距离为设点到平面的距离为由，得，点到平面的距离为小结：本例中采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD；()求异面直线AQ与PB所成的角；()求点P到平面QAD的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力

3、、逻辑思维能力和运算能力.QBCPADOM过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：（）取AD的中点，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.因为，所以，从而AQPN，BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()连

4、结OM，则所以MQP45.由（）知AD平面PMQ，所以平面PMQ平面QAD. 过P作PHQM于H，PH平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.又.即点P到平面QAD的距离是.考点2 异面直线的距离（转化法的运用）此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例3 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程： 如图所示，取BD的中点F，连结E

5、F，SF，CF，为的中位线，面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD与SE间的距离为.考点3.三垂线定理的运用例4 已知：M N=AB,PQM于Q，PON于O，ORM于R，求证：QRAB.【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【规范解答】 证法一 如图所示，例1题图 POAB,又PQM,PQAB,AB平面PQO,又O

6、RM,PQOR,PQ与OR确定平面PR（即平面RQP）.QR面PR，QRAB.证法二 PQM,ORM,RQ是直线PO在平面M上的射影.PON,ABN,POAB,ABM,QRAB(三垂线定理的逆定理).【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.例5 .已知如图(1)所示，矩形纸片AAA1A1,B、C

7、、B1、C1 分别为AA,A1A的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1BC1，求证:A1CAB1.【解前点津】 题设主要条件是AB1BC，而结论是AB1A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.【规范解答】 证法一 作C1D1A1B1于D1，A1

8、C1=B1C1,D1为A1B1中点.AA1平面A1B1C1，BD1为BC1在平面ABB1A1内的射影，由AB1BC1得AB1BD1,取AB中点D，同理可证A1D为A1C在平面ABB1A1内的射影，A1D1BD,A1D1BD为平行四边形，由AB1BD1,得AB1A1D,AB1A1C.证法二 作ADBC,BDAC交于D，作A1D1B1C1,B1D1A1C1交于D1.连BD1，DD1(如图(2)，A1C1B1D1为菱形，A1B1D1C1,又AA1平面A1D1B1C1,AA1D1C1,又D1C1平面ABB1A1，D1C1AB1，又AB1BC1，AB1平面BC1D1，AB1BD1,又BD1CA1,AB1

9、A1C.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.考点4 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例4 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一 平面，上任意一点到平面的距

10、离皆为所求，以下求点O平面的距离,，平面,又平面平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的距离等于.解析二 平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则 , 即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.例3 如图，已知长方体中，棱长，求直线与平面的距离分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找

11、平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有平面，这样，只要作，又有，得到平面解：长方体中，有平面，过作于，又有， 平，即是到平面的距离在中，由已知可得， ，即是到平面的距离为课堂巩固练习1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。 求证：PCBC；2.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45，求证：MN平面PCD.3.在空间四边形ABCD中，ABCD，AH平面BCD，求证：BHCD4.如

12、图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB=2，CE=EF=1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE证明：（）设AC于BD交于点G因为EFAG，且EF=1，AG=12AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（）连接FG因为EFCG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形所以CFEG因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCD=AC，所以BD平面ACEF所以CFBD又BDEG=G，所以CF平面BDE5.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面