第12讲微分及运算法则

1、第12讲 微分概念及其运算法则授课题目微分概念及其运算法则教学内容1. 微分的概念；2. 微分的运算法则； 3. 高阶微分；4. 微分在近似计算中的应用教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，了解高阶微分的概念.教学重点及难点教学重点：微分的概念，一阶微分形式的不变性；教学难点：高阶微分.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部，讲清函数可微分与可导是等价；(2)本讲的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念.(3)通过实际问题计算讲述微分在近似计算中的应用作业布置作业内容：教材 :1，2

2、（2，4，6），4（1，2），7（1，2）.讲授内容一、 微分的概念 定义1 设函数定义在点的某邻域内当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为. 如果存在常数，使得能表示成则称函数在点可微，并称上式中的第一项为在点的微分，记作 或 . 由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于的高阶无穷小量，由于是的线性函数，所以当时，也说微分是增量的线性主部 定理510 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，而且常数等于 证：必要性 若在点可微，由(1)式有，取极限后有，这就证明了在点可导且导数等于 充分性 若在点可导，则在点的有限增量公式表明函数增量可表示为的线性部分与较高阶的无穷小量之和，所以在点可微，

3、且有 微分的几何解释如图5-9所示当自变量由增加到时，函数增量，而微分则是在点处的切线上与所对应的增量，并且，所以当时， . 若函数在区间上每一点都可微，则称为上的可微函数函数在上任一点历处的微分记作，它不仅依赖于，而且也依赖于特别当时，这表示自变量的微分就等于自变量的增量于是可改写为:，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积比如；.如果写成那么函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商因此，导数也常称为微商在这以前，总把作为一个运算记号的整体来看待，有了微分概念之后，也不妨把它看作一个分式了二、微分的运算法则 由导数与微分的关系，我们能立刻推出如下微分运算法则：1； 2；3.；4其中在4式

4、中，由于，所以它也可写作这与(4)式在形式上完全相同，即(4)式不仅在为自变量时成立，当它是另可微函数的因变量时也成立这个性质通常称为一阶微分形式的不变性例1 求的微分. 解： . 例2 求的微分. 解： 由一阶微分形式不变性，可得 .三、高阶微分 我们知道函数的一阶微分是，其中变量和是相互独立的现将一阶微分只作为的函数，若二阶可导，那么对自变量的微分 ，或写作, 称它为函数的二阶微分 注：这里是指；表示的二阶微分；而则表示的一阶微分三者不能混淆 一般地，阶微分是，阶微分的微分，记作，即.若将它写成时，就和阶导数的记法一致了对的阶微分均称为高阶微分 例3 设，求.解：由得，得四、微分在近似计算

5、中的应用 1函数的近似计算由函数增量与微分关系，当很小时，有，由此即得，或当时有 .注意：在点的切线方程即为 ，几何意义就是当充分接近时，可用切线近似替代曲线(“以直代曲”)常用这种线性近似的思想来对复杂问题进行简化处理 设分别是，和，令，则可得这些函数在原点附近的近似公式：； ； ； 例4 求的近似值解：由于，因此取，,得到. 例5 设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短cm，试问此钟每天至多快几秒？解：由物理学知道，单摆周期与摆长的关系为，其中是重力加速度已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为.当摆长最多缩短0.01 cm时，摆长的增量001，它引起单摆周期的增量 这就是说，加快约0.0002秒，因此每天大约加快(秒)2误差估计设量是由测量得到，量由函数经过计算得到在测量时，由于存在测量误差，实际测得的只是的某一近似值，因此由算得的也只是的一个近似值若已知测量值的误差限为(它与测量工具的精度有关)，即则当很小时， ， 而相对误差限则为.例6 设测得一