天津理工大学大学物理：静电场演示课件

1、1,库仑定律内容,在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相排斥，异号电荷互相吸引。,表示单位矢量,库仑力满足牛顿第三定律,2,式中比例系数,所谓点电荷就是相互之间距离远大于其本身线度的带电体。,真空中的介电常数,3,电场强度 electric field intensity,按照库仑定律，在电场中的任一固定点P，试验电荷受到的作用力是和试验电荷的电量成正比的。如果把试验电荷的电量增大到2、3、4n倍（但仍满足试验电荷条件），将看到同一地点的F也增大到2、3、4n倍，而力的方向不变。若把

2、q0换成等量异号电荷，则力的大小不变方向反转。因此对于电场中的固定点来说，比值F/ q0 是一无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量，它是反映电场本身性质的，把它定义为电场强度，即,4,电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷（q0=1）所受的电场力。电场强度的方向与电场力的方向一致（当q0为正值时）。,单位：N.C-1或V.m-1,电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存在，只是由试验电荷来反映。,5,电场 电场强度,凡有电荷的地方，四周就存在着电场，即任何电荷都在自己周围的空间激发电场，而电场的基本性质是，它对处在其中的任何其它电荷都有作用力，称

3、为电场力。因此电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。,6,点电荷电场电场中的场强,在真空中，点电荷q放在坐标原点，试验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电荷受到的电场力为,点电荷场强公式,q0，电场强度E与er同向 q0，电场强度E与er反向。,7,说明： (1)点电荷电场是非均匀电场； (2)点电荷电场具有球对称性； (3)E与r2成反比，当r时，E0。 (4)若r0，则E，这是不可能的。对于距离点电荷太近的点就需要考虑点电荷的大小和形状，就不能再把它看作点电荷了。,8,场强迭加原理,电场强度是矢量，它服从于矢量迭加原理。即如果我们以,分别表示点电荷q1 、 q2 、 qn单独存在时电场施

4、于空间同一点试验电荷q0的力，则它们同时存在时，电场施于该点试验电荷的力为,将此式除以q0,即得到,电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强迭加原理。,9,同理，在点电荷系q1,q2,qn的电场中，在P点放一试验电荷q0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为,P点的电场强度,点电荷系电场中的场强,10,体密度定义：单位体积内的电荷,面密度定义：单位面积上的电荷,线密度定义：单位长度上的电荷,电荷的连续分布,从微观结构看，电荷是集中在一个个的微观粒子（如电子、原子核等）上边。但从宏观效果看，人们往往把电荷看成是连续分布的。根据不同情况，有

5、时把电荷看成在一定体积内连续分布（体分布）；有时把电荷看成是在一定曲面上连续分布的（面分布）；有时又把电荷看成是在一条曲线上连续分布（线分布）等等。与此相应的就需要引入电荷的体密度、面密度、线密度等概念。,11,任意带电体电场中的场强,对于任意带电体来讲，它的全部电荷分布，都可以被看作是许多极小的电荷元dq的集合。在电场中任一点P处，每一个电荷元在P点产生的场强都可用点电荷的场强公式计算,要计算带电体的全部电荷分布在P点产生的场强，就要对所有的电荷元产生的场强求矢量和，由于电荷可以看成是连续分布的，所以可用积分代替求和，即,此关系式无论对于体分布、面分布还是线分布的带电体都可应用，只不过在具体

6、应用时把电荷元dq带入相应的量就可以了。,12,电场强度的计算,点电荷系：,计算的步骤大致如下： 任取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式； 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； 进行积分计算； 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； 在计算过程中，可以根据对称性来简化计算过程。,带电体,13,例1、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线任一点P的电场强度。,首先在环上任取一长度元dl，所带电量为,线密度,14,设P点与dq的距离为r， dq 在P点产生的场强大小为,15,各电荷元在P点产生的场强，方向各不

7、相同。根据其对称性，各电荷元的场强在垂直于x轴的那些分矢量dEy相互抵消，所以P点的合场强是平行于x轴的那些分矢量dEx的总和,此积分要遍布整个圆环，因r与都不是变量，因此有,16,因,得到,17,环心处，x=0，E=0,极远处，xR,则有,此时，环上电荷可视为全部集中在环心处的一个点电荷。,18,例2、均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为q，半径为R。,解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为r，宽度为dr 的细圆环带电量,由前题知，此带电圆环的场强,19,由于各带电圆环在P点产生的场强方向相同，均指向X轴的正方向，所以总场强就是各细圆环在P点产生的场强的矢量和,E的方向垂直

8、于盘面并沿X轴的正方向。,20,如果RX，即对于P点来说，均匀带电圆盘可视为无限大时，P点的场强,这表明在无限大均匀带电平面的电场中各点场强均相等，方向都与平面相垂直，正负由电荷的符号决定。即此电场为匀强电场。,21,例3 均匀带电直线外任一点场强。,设直线长L，带电总量Q，电荷线密度为，直线外一点P离开直线的垂直距离为a，P点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为1和2 。,以0为坐标原点，取坐标如图。在直线上任一点处取长度元dl，此点到原点的距离是l，dl上所带电量是dq。,由于电荷是连续分布的，可把整个电荷分布划分成许多电荷元，先求出每一电荷元在给定点P产生的场强，再通过积分再求出总场强

9、。,22,带电直线的线密度,设dl 到P点的距离是r，可知dq 在P点处产生的场强dE 的大小为,由图中可看出,微分后得到,而,23,由于dE与x之间的夹角是，所以dE沿x轴和y轴的两个分量为,24,25,将此两式积分，就得到,可由Ex和Ey来确定出E的大小和方向。,26,特殊情况下，如果此带电直线是无限长的，那么由10，2，可得到,27,三 高斯定理 Gauss theorem,电力线 line of electric force,为形象地了解电场分布，通常引入电力线的概念。利用电力线可对电场中各处场强的分布情况给出较直观的图像。,前面讲过电场中的每一点的场强E都有一定的方向，使这些曲线上的

10、每一点切线方向都与该点处的场强E的方向一致，这些曲线就叫做电力线。,28,电力线的数密度,为使电力线不只是表示出电场中场强的方向的分布情况，且表示出场强的大小的分布情况，可引入电力线数密度的概念。在电场中任取一小面积元S与该点场强方向垂直。设穿过S的电力线有N根，则比值N/S就叫做该点电力线的数密度。它的意义就是该点附近单位垂直截面的电力线根数。在作电力线图时总是使电场中任一点的电力线数密度与该点场强大小成正比，即,电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大。,29,电力线可以借助于一些实验方法显示出来，例如在水平玻璃板上撒上一些细小的石膏颗粒，或在油上浮些草粒，它们就会沿着电力线

11、排列起来。下面给出的是几种常见的电场的电力线图。,30,31,32,电力线的性质,电力线总是起始于正电荷（或来自无穷远处），终止于负电荷（或伸向无穷远），但不会在没有电荷的地方中断。 在没有点电荷的空间里，任何两条电力线都不会相交。 电力线不会形成闭合曲线。,注意：描绘电力线的目的是在于能形象地反映电场中场强的分布情况，并非电场中真有这些实在的线。,33,电通量,利用电力线的图像有助于对电通量的理解。在作电力线图时，应使电场中任一点的电力线数密度N/S与该点场强大小成正比，即,这里S与E垂直。若规定其比例系数为1，则可写成下列等式,或,34,当所取的面元S 与该处场强E不垂直时，则需考虑面元S

12、在垂直于E方向上的投影面积S。设n为面元法线方向的单位矢量，n与E间夹角为，于是有,由图中可看出，通过S和S的电力线根数相等。而通过S的电力线根数为,所以通过倾斜面元S的电力线根数为,35,上式右方的物理量称为电通量：通过一面元S的电通量定义为该点场强E与S在垂直于场强方向的投影面积S = S cos的乘积。,今后，用 e表示通过S的电通量，即,为锐角时，cos 0， e为正；,为钝角时，cos 0 ， e为负；,=/2时，cos = 0，e =0。,36,对于非无限小的曲面来说，曲面上场强的大小和方向一般是逐点变化的，要计算电通量，就需要把这曲面分割成许多小面元S ，并按前式计算通过每一个小

13、面元的电通量 e后再迭加起来，得到通过整个曲面S的总通量e 。用数学公式来表示则有,当所有的面元S 趋于无限小时，上式的求和即化为沿曲面的积分,37,一曲面有正反两面，与此对应，它的法线矢量也有正、反两种取法。对于单个曲面或不闭合的曲面，法线矢量的正向取在朝哪一面无关紧要。但闭合曲面则把整个空间划分成内、外两部分，其法线矢量正方向的两种取向就有了特定的含义：指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向曲面内部空间的叫内法线矢量。,对于一闭合曲面，有,38,指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向曲面内部空间的叫内法线矢量。,规定：对于闭合曲面，总是取它的外法线矢量为正。,在电力线穿出曲面的地方，90o，c

14、os 0, e0,在电力线进入曲面的地方， 90o，cos 0, e 0。,39,高斯定理的表述:,通过一个任意闭合曲面S的电场强度的通量e ，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和q除以0，与闭合面外的电荷无关。,用公式来表示，则有,这闭合曲面S习惯上叫做高斯面。,40,高斯定理常写成矢量形式，令,面元矢量,单位法线矢量,电通量可写成,高斯定理可写成,41,高斯定理的应用,下面我们举一些应用高斯定理求场强的例题。在使用高斯定理时我们一定要注意，高斯定理中的E是带电体系中所有电荷（无论是在你所取的高斯面内还是高斯面外）产生的总场强，而q只是对高斯面内的电荷求和。这是因为高斯面外的电荷对总通量e

15、没有贡献，但不是对总的场强没有贡献。,能够直接运用高斯定理求出场强的情形，都必须具有一定的对称性。所以在下面的几个例子里，我们首先要作对称性分析。解题中要求我们特别注意掌握的也正是这个问题。,42,均匀带正电球壳内外的场强（半径R，带电q）,因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷q近似地认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。,根据电场球对称性的特点，以球心到场点的距离为半径作一同心球面，则通过此球面的电通量为,43,上述分析对于球面内外的

16、场点都是适用的，所以上式对于比球壳小的高斯面也是适用的。,rR,均匀带电球壳在外部空间所产生的电场，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样；其球壳内部空间的场强处处为零。,rR,44,可以画出场强的大小随半径r的变化情况，由图可看出，场强在球壳上（r=R）的数值有个突变。,45, 均匀带正电球体内外的场强分布。球体带电q，半径为R。,在此例里，电场的分布也是球对称的。我们可把此带电球体分割成一层层的同心带电球壳，这样就可以利用上题的结果了。,如图，取高斯面为同心球面包围球体，即场点P在球外，这时各层球壳上的电荷好象全部集中在球心一样，从而有,或,如果场点P在球内，则所有半径大于r=0p的那些

17、球壳上的电荷对P都不起作用，只有半径小于r的球壳对P点有贡献，而它们上面的全部电荷q又好像集中在球心处一样，从而有,46,半径为r的高斯面包围的体积是,其中的电量,场强,下面来计算q ，因为带电球体的体积为,故电荷体密度为,47,球体内外E的变化情况如图。可以看出在球体内部E与r成正比地增加；在R=r处，球体内外场强大小趋于同一数值，即场强是连续的，并且数值最大。,rR,rR,48, 均匀带正电的无限长圆柱面的场强（半径R，电荷面密度）。,可以看出，这个体系具有轴对称性，即在任何垂直于圆柱面的平面内的同心圆周上场强的大小都一样，而且由于圆柱面是无限长，只要是离开轴线的距离比柱面的长度小得多的地

18、方，这个带电圆柱面所产生的电场的方向都垂直于圆柱面，向外呈辐射状。只要保持r的大小不变，场强的数值也不变。,49,根据上面的分析，高斯面应取一圆柱面。设此面长为l，半径为r，轴线和无限长圆柱面的轴线重合，上下两底用垂直于柱面的平面封口，形成闭合面。这样通过这闭合面的电通量为,在上下两底，=/2，cos=0。即通过上下两底的电通量为零。在侧面上，各点E的大小相等，方向处处与面正交。且E是常量， cos=1。所以有,50,这闭合面只包围长度l的一段圆柱面，其中的电荷是2Rl，所以按高斯定理有,即,如果我们在圆柱面内作同样的分析，由于其内部不包围电荷，因此圆柱面内部的场强等于零。即,51,设圆柱面单

19、位长度上的电荷为，则有,即,代入到,得到,由此可见，无限长均匀带电圆柱面对柱外各点的作用，就像所有电荷全部集中在其轴线上的均匀带电直线一样。,或,52, 无限大均匀带正电平面薄板的电场（电荷面密度）,对于此例的对称性分析和上题有相似之处，可以看出：两侧距平板等远的点场强大小一样，方向处处与平板垂直。根据场强的特点，我们可以取高斯面如图：通过平面上一小面积s，取一封闭柱面S，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于s，按高斯定理有,53,侧面上=/2，cos=0。即通过侧面的电通量是零。,S面内所包围的电荷的代数和,54,底面上=0，cos=1，即,因为,所以,即,55,如果板上所带的是负电荷，

20、上式也完全适用，只是场强方向相反，从两侧指向平板。,56,利用上面的结果，我们也可以求出真空中带等量异号电荷的一对无限大平行平面之间的场强。,按场强迭加原理，有,由对称性可知，除边缘附近以外E分别为无限大均匀带电平面的场强，场强的方向如图。,两平面之间,两平面外侧,57,两平面之间,两平面外侧,两平行平面均匀带有等值异号电荷时，如果平面线度远远大于两平面之间的距离时，除边缘外，电场全部集中与两平面之间，而且是均匀的。在实验室中我们常用此产生匀强电场。,58,1. 一“无限大”均匀带电平面A的附近放一与它平行的“无限大”均匀带电平面B，如图所示。已知A上的电荷面密度为s ，B上的电荷面密度为2s

21、，如果设向右为正方向，则两平面之间和平面B外的电场强度分别为,两平面之间, ,C,平面B外,59,2 在边长为b的正方形中心处放置一电荷为Q的点电荷，则正方形顶角处的电场强度大小为, ,B,60,6. 一均匀电场E的方向与x 轴同向，如图所示则通过图中半径为R 的半球面的电场强度通量为, ,A,通过半球面的通量与通过圆面的通量相等,因此=0.,61,7.如果一高斯面所包围的体积内电荷代数和q8.85010-12C，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零 (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为1Nm2/C (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为1Nm2/C (D) 以上说法都不对,

22、,C,A：即使面内电荷代数和为零，高斯面上E也不一定处处为零。,C：高斯面所包围的体积内电荷代数和q8.85 10-12C ，则穿过整个高斯面的电场强度通量为1Nm2/C ,62,9.两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra 和Rb(Ra Rb),所带电荷分别为Qa和Qb，设某点与球心相距r，当Rb r时，该点的电场强度的大小为, ,B,球面外电场强度E和点电荷场强一样.,63,5.如图所示，点电荷2q、-q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的电场强度通量,式中E为_处的场强。,高斯面上各点,64,1. 根据真空中的高斯定理，判断下列说法正确的是： （A）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场

23、强不一定处处为零。 （B）闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零。 （C）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定处处为零。 （D）闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷。, ,2. 在静电场中，任意做一闭合曲面，通过该闭合曲面的电场强度通量,的值仅取决于_，而与_无关。,65,1. 根据真空中的高斯定理，判断下列说法正确的是： （A）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零。 （B）闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零。 （C）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定处处为零。 （D）闭合面上各点场强均

24、为零时，闭合面内一定处处无电荷。, ,闭合面内电荷代数和为零时，通过闭合面的通量为零，闭合面上各点场强是面内和面外各电荷产生的，即使面内无电荷，面上E仍有可能不为零。因此闭合面上各点场强也许不为零，有些点也有可能为零。闭合面上各点场强均为零时，闭合面内也有可能有电荷。,A,66,2. 在静电场中，任意做一闭合曲面，通过该闭合曲面的电场强度通量,的值仅取决于_，而与_无关。,包围在曲面内的净电荷,曲面外电荷,67,一 电场力的功,下面我们首先从库仑定律出发，证明静电场力所作的功与路程无关。这是除高斯定理之外静电场的另一基本性质。,1 单个点电荷所产生的电场,设在给定点0处有一点电荷q，带正电。设

25、想在q产生的电场中把试验电荷q0沿任意路径acb从a点搬运到b点。在路径中任一点c附近，取与c极临近的c点，从c到c的位移元是dl，沿c点处的场强是E。,68,可知在dl这段路径上，电场力所作的功为,已知,代入上式得到,其中,69,当试验电荷q0从a移到b点时，电场力所作的功为,由此可见，单个点电荷的电场力对试验电荷所作的功与路径无关，只和试验电荷电量的大小及路径的起、终点位置有关。,70,2 任意带电体系产生的场强,在一般情况下，电场并非由单个的点电荷产生，但我们总可以把产生电场的带电体分割成许多电荷元，每一个电荷元都可看成是一点电荷，这样就可以把任意带电体系视为点电荷组，总场强E就是各点电

26、荷单独存在时产生的场强的矢量和,而当试验电荷q0由a点经任意路径L到达b点时，电场力,所作的功为,71,或,上式中的每一项都与路径无关，所以总电场的功也与路径无关。这样我们得出结论：,试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与这试验电荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，而与路径无关。这说明电场力是保守力。,72,静电场力作功与路径无关这一结论，还可以表述成另一种等价的形式，在静电场中取任意闭合环路L，考虑场强E沿此环路的线积分。,先在L上取任意两点P、Q它们把L分成 L1和L2 ，因此,由于作功与路径无关，所以,73,即,此式表示：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零。这是静电场

27、的重要特性之一，它表明：静电场力是保守力。由于这种特性，我们才有可能引入电势的概念。,上述表述即为静电场的环路定理，亦称为场强环流定律。,74,二 电势能,任何作功与路径无关的力场，叫做保守力场。在这类场中都可以引入势能的概念。如在力学中，重力作功与路径无关，所以重力场是保守力场，可引进“重力势能”的概念。上面已证明了静电场是保守力场，从而也可引进电势能的概念。,设想在电场中把一个试验电荷q0从a点移到b点，它的电势能的减少Wab定义为在此过程中静电场力对它所作的功Aab,根据前面所讲过的静电场的环路定理，电势能Wab只由a、b两点的位置决定，与移动的路径无关。,75,三 电势差,由上面的式子

28、可看出， Wab与试验电荷的电量q0成正比，换句话说， Wab / q0与试验电荷无关，它反映了电场本身在a、b两点的性质（类似于定义电场E=F/ q0 ）。这个量定义为电场中a、b两点的电势差，或称电压，用Uab表示,a、b两点间的电势差定义为从a到b移动单位正电荷时电场力所作的功。或者说，单位正电荷的电势能差。,76,四 电势,上面介绍的是电场之中两点之间的电势差，如果要问空间某点的电势数值是多少，则需选定参考点（类似于选定重力势能零点）。令参考点的电势为零，则其它各点与此参考点之间的电势差定义为该点的电势值。在理论计算中，如果带电体系局限在有限大小的空间里，通常选定无穷远点的电势为参考位

29、置。这样一来，空间任一点a的电势U（a）就等于电势差Ua，即,77,由于电场力作功与路径无关，对于空间任意两点a、b ，有,即,在实际工作中，常以大地或电器外壳的电势为零。改变参考点，各点电势的数值将随之改变，但两点之间的电势差与参考点的选择无关。,电势的单位是伏特,78,五 电势的计算,1 点电荷电场中的电势,下面计算一点电荷q产生的电场中任一点P处的电势。,设q到P点的距离是r，选无穷远点的位置为参考位置，则按电势的定义，有,因为静电场力的功与路径无关，计算上式中的积分时，就选取一条便于计算的路径，即沿矢径的直线，于是有,79,2 点电荷系电场中的电势,若空间有n个点电荷同时存在，则由场强

30、迭加原理知，它们在P点产生的电场强度为,由电势的定义知,80,此即电势迭加原理：,点电荷系电场中某点的电势，是各个点电荷单独存在时的电场在该点电势的代数和。,3 任意带电体电场中的电势,如果产生电场的带电体上的电荷是连续分布的，则前式中的求和号应换成积分号。 设dq为电荷分布中的任一电荷元，r为dq到给定点P的距离，那么P点的电势为,81,例1 均匀带电圆环轴线上任一点的电势,设圆环半径为R，带电为q，x轴沿轴线方向，圆点在环心。由于电荷可以看作是连续分布的，要按带电体的公式来计算。,把圆环分成许多个电荷元，在环上任一点处取一电荷元dl，因为总带电量是q，所以它的电荷线密度是,电荷元所带的电量

31、为,电荷元在P点产生的电势为,82,整个带电圆环在P点产生的电势为,xR,x=0,83,例2 均匀带电薄圆盘轴线上任一点的电势,设圆盘带电量为q，半径为R，点P距原点为x，其电荷面密度为,把圆盘分成许多个半径不同的小圆环，考虑其中一个半径为r，宽度为dr的小圆环。该圆环带电量为,84,利用上题的结果，可得带电圆盘在P点的电势为,85,例3 均匀带电球面电场中任一点的电势。,设球面带电q，半径R。,前面已求出带电球面的场强分布为,E的方向沿矢径。因此在计算电势时可以和计算点电荷的电势一样，沿着矢径积分。,86,在球面外：（rR）,此结果和点电荷的情形一样。一个均匀带电球面，在球面外任一点处的电势

32、，与电荷集中在球心，即一个点电荷在该点产生的电势一样。,87,在球面内：（rR）,在球壳内，电势处处与球面的值一样，为一常数。即球面内为一等电势区域。,88,一均匀带电球面，在球面外任一点处的电势，与电荷集中在球心，即一个点电荷在该点产生的电势一样。在球壳内，电势处处与球面的值一样，为一常数。即球面内为一等电势区域。在球面表面处，U与E不同，它的数值没有突变。,89,例4 均匀带电球体电场中任一点的电势。,设球体带电量为q，半径为R，所带电荷均匀地分布球体内。,由高斯定理可求出电场强度的分布,方向沿径向。,当rR时,90,当rR时,91,计算电势的方法有两种：,利用电势的定义式,要注意参考点的

33、选择，只有电荷分布在有限的空间时，才能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。,利用电势的叠加原理,要求电荷的分布区域是已知的； 当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势的零点。,92,六 电势的图示法 等势面,我们知道，电场的分布可以借助于电力线图形象地描绘，那么电势的分布是否也可以形象地描绘出来呢？实际上同样可以，这就是等势面图。,一般说来，静电场中的电势值是逐点变化的，但总有一些点的电势彼此相同，而这些电势值相同的点，又往往处在一定的曲面上。例如，点电荷q产

34、生的电场中电势为,电势U只与距离r有关，这就是说，距q等远的点，电势值都相同。,93,带电体,如图，点电荷电场中那些电势相等的点都处在以q为中心的球面上，我们把这些电势相等的点所组成的平面叫做等势面.所以点电荷的电场中,等势面就是一系列以q为中心的同心球面。点电荷电场中的电力线是沿半径方向的一系列直线，很显然这些电力线是与等势面处处正交的，电力线的方向指向电势降落的方向。,94,纵观各种等势面图，可得出两点结论：,静电场中，当电荷沿等势面移动时，电场力不会作功。这是因为,而在等势面上，任意两点之间的电势差,所以,95,如图，设一试验电荷q0沿等势面作一任意元位移dl，于是电场力作功,这里q0

35、、E、dl都不为零所以必然有,即,这就是说，要使得E与等势面上的任意线元dl都垂直，电场强度（电力线）与等势面就必须处处正交。 与电力线相似，从等势面的疏密程度也能表示出电场的强弱。等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。,静电场中，等势面与电力线处处正交，E的方向指向电势降落的方向。,96,七 电场强度与电势梯度之间的关系,电势梯度,梯度一词，通常指一个物理量的空间变化率。用数学语言来说，就是这个物理量对空间坐标的微商。,任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势U是个标量，它在空间每一点有一定的数值，所以电势是个标量场。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。,97,在任一静电

36、场中取两个彼此靠得很近的等势面，电势分别是U和U+dU，并设dU 0，即2上的电势比1高。我们在P1点处作等势面1的法线，并规定这法线的正方向指向电势增加的方向。n0表示法线方向的单位矢量；两等势面之间的距离P1P2用dn表示，显然dn是这两个等势面之间的最短距离。等势面上的其它各点，例如P1点到P3点的距离都恒大于dn 。,由图可知,即,98,沿dl方向的电势增加率是,其中du/dn是沿n方向上的电势增加率。上式说明,沿n0方向上的电势增加率大于沿其它任意方向上的电势增加率。,此式实际上是表明了一个矢量的投影和它的绝对值之间的关系：dl方向上的电势增加率dU/dl就可以看作是矢量dU/dn在

37、dl方向上的分量，此矢量我们就称它为P1点处的电势梯度矢量，通常用gradU表示(gradient)。,电场中某点的电势梯度矢量，在方向上与该点处电势增加率最大的方向相同，在量值上等于沿该方向上的电势增加率。,99,电场强度与电势梯度之间的关系,由于电力线的方向亦即电场强度的方向恒与等势面正交，而且指向电势降落的方向，所以P1点的电场强度矢量E的方向应与n0的方向相反。当单位电荷从电势为U的P1点沿法线方向移到电势为U+dU的P2点时，应用电场力对单位正电荷所作的功等于起点和终点之间的电势差的关系,知,所以有,式中的负号说明E与n0的方向相反。,100,此式说明：在电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值。,如果对上式在任意方向dl上取分量，就有,亦即电场强度在dl方向上的分量El应等于电势梯度矢量在dl方向上的分量的负值。由此可知，在直角坐标系中场强E沿x、y、z三个方向上的分量分别为,可以看出，电势梯度的单位是伏特米-1（vm-1），所以场强也常用这个单位。,101,12.如图所示，在点电荷q的电场中，在以q为中心、R为半径的球面上，若选取p处作为电势零点，则与点电荷q距离为r的p点的电势为, ,B,102,13.图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出, ,D,电力线的方向指向电势降落的方向，因此A点的电势低，C 点的电势高。,电力线稀疏的地方表示场