第二讲分式与分式方程一元二次方程及应用

1、第二讲：分式与分式方程，一元二次方程及应用二：分式经典考题剖析】 1. 已知分式当x_时，分式有意 义；当x=_时，分式的值为02. 若分式的值为0，则x的值为（ ） Ax=1或x=2 B、x=0 Cx=2 Dx=13.（1） 先化简，再求值：，其中.（2）先将化简，然后请你自选一个合理的值，求原式的值。（3）已知，求的值4.计算:（1）；（2）；（3）（4）；（5）5. 阅读下面题目的计算过程： （1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。（二）：一元一次方程一：知识梳理： 1.方程的分类 2.方程的有关概念（1）方程：含有

2、的等式叫方程。（2）有理方程：_统称为有理方程。（3）无理方程：_ 叫做无理方程。（4）整式方程：_叫做整式方程。（5）分式方程：_叫做分式方程。（6）方程的解： 叫做方程的解。（7）解方程： _叫做解方程。（8）一元一次方程：_叫做一元一次方程。（9）二元一次方程：_叫做二元一次方程3解方程的理论根据是：_ 解方程（组）的基本思想是：多元方程要_,高次方程要_. 在解_方程，必须验根.要把所求得的解代入_进行检验；4解一元一次方程的一般步骤及注意事项：步骤具体做法依据注意事项去分母等式性质去括号乘法分配律、去括号法则移项移项法则合并同类项合并同类项法则系数化为1等式性质5. 二元一次方程组的

3、解法（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法 （2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法6整体思想解方程组 （1）整体代入如解方程组，方程的左边可化为3(x+5)18=y+5，把中的看作一个整体代入中，可简化计算过程，求得y然后求出方程组的解（2）整体加减，如因为方程和的未知数x、y的系数正好对调，所以

4、可采用两个方程整体相加减求解利用+，得x+y=9，利用得xy=3，可使、组成简单的方程组求得x，y7.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，8.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解二【例题讲解】 1. 解方程：2. 若关于的方程：与方程的解相同，求的值。3. 在代数式中，当时，它的值是零；当时

5、，它的值是4；求的值。4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）A. 5种；B. 6种；C. 8种；D. 10种5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。（1）当他沿着路线ADCEA游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（

6、不考虑其它因素）。（二）一元二次方程一：【知识梳理】 1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是 （其中 、 ） 它的根的判别式是= ；当0时，方程有 实数；当=0时，方程有 数根；当0时，方程有 实数根；一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）2一元二次方程的解法： 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；

7、化原方程为的形式；如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=0，则原方程无解 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是 注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解3一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二

8、次项，即不是一元二次方程如关于x的方程（k21）x2+2kx+1=0中，当k=1时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代人求根公式，求出x1 ,x2若b24a0，则方程无解 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去（x4） 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法因式分解法公式法二、【例题讲解】 1. 分别用公式法和配方法解方程： 2. 选择适当的方法解下列方程：（1）；

9、（2）（3）； （4）3. 已知，求的值。 4. 解关于的方程： 5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案已知：m是关于x的方程mx2 2xm0的一个根，求m的值 三分式方程一：【知识梳理】1分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程2分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3分式方程的增根问题： 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根； 验根：因为解

10、分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。4分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性5通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。6. 分式方程的解法有 和 。二例题讲解：1. 解下列分式

11、方程： 2. 解方程组： 分析：此题不宜去分母，可设A，B得：，用根与系数的关系可解出A、B，再求，解出后仍需要检验。3. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格 5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如

12、果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？（四）解应用题一：【知识梳理】 1.列方程解应用题常用的相等关系题型基本量、基本数量关系寻找思路方法工作（工程）问题工作量、工作效率、工作时间把全部工作量看作1工作量=工作效率工作时间相等关系：各部分工作量之和=1常从工作量、工作时间上考虑相等关系

13、比例问题相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。浓度问题稀释问题溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、溶液（盐水、酒精溶液）溶质=溶液百分比浓度由加溶剂前后溶质不变。两个相等关系：加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加入溶剂后的溶液质量加浓问题同上由加溶质前后溶剂不变。两个相等关系：加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加入溶质后的溶液质量混合配制问题等量关系：混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混合后所含溶质混合前甲、乙种溶液

14、所含溶剂的和=混合后所含溶剂利息问题本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金利率期数相等关系：本息和=本金+利息行程问题追击问题路程、速度、时间的关系：路程=速度时间1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程相遇问题同上相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度1：与追击、相遇问题的思路方法类似2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。数字问题多位数的表示方法：是一个多位数可以表示为（其中0a、b、

15、c10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。2：常常设间接未知数。商品利润率问题商品利润=商品售价商品进价首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。 2.列方程解应用题的步骤: （1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数； （3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程； （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位二例题讲解： 1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行

16、路程正好相等，求甲乙二人的骑车速度 2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？工时工作量工效原计划x1实际x-313.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体