第八次习题课讨论题解答

1、第八次习题课讨论题参考解答 5月21日和22日本次习题课主要讨论线积分和面积分的计算，以及Green定理的应用。 一 曲线积分1计算, 其中是正方形.解: 设,解答完毕。注：如果经验丰富的话，一眼看出积分为零(根据对称性).2设为椭圆, 其周长记为。 求解法一： 椭圆的方程可写成 。于是 由对称性, , 故.解法二：椭圆：写作参数式，。于是所求第一型曲线积分为 。而. 因此原积分为。解答完毕。3计算第二型曲线积分 ，其中是(1)，顺时针定向(2)，顺时针定向(3)从到的有向线段解：记，则，即向量场无旋。（1） 设是椭圆，顺时针为正方向由于向量场在椭圆盘上连续可微，根据Green 公式得（2）

2、设是闭曲线，顺时针定向我们取正数充分小，使得圆周包含在之内， 并规定逆时针为正向计算上的积分比较容易：。而由格林公式可知 （3）在（1）的解答中，已经证明了场无旋， 从而场在右半平面上保守，即线积分 在右半平面上积分与路径无关。因此可取积分路径为两个直线段：点到点的直线段，以及点到点的直线段。于是所求积分为解答完毕。4设在内有连续的偏导数，且满足方程。进一步假设求极限， 这里为圆周的单位外法向量，。解：注意方向导数可写作于是利用格林公式的散度形式得 。对上式最后的二重积分应用中值定理得，其中点。于是。解答完毕。5 设函数在上半平面内具有连续偏导数,且对任意的，对任意点，都有（此即是次齐次函数）

3、。证明对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有。解：在等式两边关于t求导得，。令得 （此即齐次函数的Euler公式）。这个等式意味着平面向量场无旋, 即。 再注意域为单连通的。因此场在域上的任何闭路径积分为零。故。证毕。6. 计算积分 ， 其中为球面片，的边界曲线，方向是从点到点，到点，再回到。（课本习题4.4题3（4），page 192）解：如图 ，利用球坐标参数可以写成 ，（参数增为正），（参数减为正），（参数增为正）， （注意在上） 由x-y-z循环对称，原式=. 解答完毕。7. 设为闭曲线：，逆时针为正向。计算。解：利用，再将曲线分成4段直线段，x减少为正向；，x减少为正向；，x增加

4、为正向；，x增加为正向； ， ， ， ，综上，原式注：利用Green公式，后面一段关于曲线积分的计算可以大大简化：记围成的区域为，则利用和Green公式，得 。解答完毕。二曲面积分1 计算其中是锥体的边界解：分别记和为锥体的侧面和上底面，则在上，（）在上，（）于是，于是所求面积分为 解答完毕。2求, 其中为单位球面.解: 其中是球的表面积. 由对称性可知,故。解答完毕。3计算螺旋面：，（）的面积。解： 。解答完毕。4求圆柱面被抛物柱面及平面所截部分的侧面积。 解法一：（利用第一类曲线积分的几何意义）侧面积 , 其中为空间曲线在平面上的投影，即平面上的园：。其参数方程为，它的弧长微分。于是。解法

5、二：（第一类曲面积分）由于所截部分关于平面对称，即点当且仅当。位于部分的曲面方程为，其中。于是所求面积为。解答完毕。5计算第一型曲面积分,以及第二型曲面积分, 其中曲面为球面；定向曲面的正法向向外。解：分别记，为的上半球面和下半球面，它们的方程为：，：，考虑第一型曲面积分。根据被积函数和球面的对称性，我们有。因此。 对于上半球面， 面积元素。于是= =。考虑第二型曲面积分。 。注意到，以及，故。解答完毕。6 记为锥面被柱面所截的有限部分。规定曲面的正向向下，所得的定向曲面记为。求下面两个积分的值。 (i) 。 (ii) . 解：(i) 简单计算知锥面的面积元素为。因此(ii) 不难计算曲面的单

6、位正法向量为。于是根据第二曲面积分的定义有解答完毕。7. 设一元函数于整个实轴上连续，代表单位球面 。证明Poisson公式 ，这里。（课本习题4.3第11题，page 187）。为了证明Poisson公式，我们需要先建立一个Lemma。Lemma：设是一个正则的参数曲面。记是在一个正交变换（正交矩阵）下的象，即。记，则对任何上连续函数，我们有。（这个Lemma大致的意思是说，曲面的面积元素关于正交变换是不变的。）证明：由假设有正则的参数表示，为平面有界闭域。由此导出曲面的一个参数表示，。于是我们可以确定两个曲面和关于上述参数表示的Gauss系数，和，：，。，同理可证，。因此我们有。于是。证毕。Poisson公式的证明：取一个三阶正交矩阵，使得的第一行为。作正交变换，其中记号