二次函数辅导

1、.第一部分 二次函数知识点一、二次函数的概念：、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项 强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零自变量x的取值范围是全体实数、二次函数解析式的三种表达形式：1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、二次函数的基本形式1、的性质： a 的绝对

2、值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2、的性质： 上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3、 的性质： 左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4、的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大

3、；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5、二次函数的性质 对称轴为，顶点坐标为 1）、当时，抛物线开口向上。当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2）、当时，抛物线开口向下。当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值三、二次函数图象的平移 类型一： 顶点式的平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 规律： 在原函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成“左加右减，上加下减” 类型二： 一般式的平移沿轴平移:向上

4、（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有三种情况，可以用一般式或顶点式表达 1、关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2、关于轴对称 关于轴对称后

5、，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3、关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 六、二次函数中各项系数的作用1、系数的作用： 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2、系数和的作用： 简单说成“左同右异”当时，即，所以抛物线的对称轴在轴的左侧；当时，即，所以抛物线的对称轴就是轴；当时，即，所以抛物线的对称轴在轴的右侧 3、常数项的作用 当时，抛物线与轴的交点在轴上方

6、，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置七、二次函数与一元二次方程：1、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.2、二次函数图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 3、 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 八、二次函数解

7、析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数常见题型的解法归纳1、求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；2、将二次函数由一般式化为顶点式，需用配方法；3、利用平移规律解决图象平移问题；4、求二次函数的最大值或最小值需要利用配方法将二次函数由

8、一般式转化为顶点式，也可用公式直接求解；5、根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，需构造推理和数形结合；6、二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标；7、利用数形结合的方法求解二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系的题型；8、函数的实际应用1）市场营销问题（何时获得最大利润？方案何时最佳？）；2）形积问题（二次函数与几何的综合-图形面积何时最大？如何求图形的面积？判定图形形状所要满足的条件、在某直线上确定一点使它到该直线外另两点的距离之和最小或距离之差最大等等）；3）投

9、篮型问题（篮球能否被投中？网球能否过网或出界？船能否过拱桥或车能否过隧洞等等？）。第二部分 训练题选编、考查二次函数的概念及二次项系数a的取值范围1、已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 。2、m取 时，函数是以x为自变量的二次函数。3、若关于x的函数 的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为 。、在同一直角坐标系内综合考查一次函数、反比例、二次函数的图像1、如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x2、函数与（a0；a-b+c0. 其中正确的序号是 。6、已知二次函数y=ax2+bx+c

10、的图象与x轴交于点(-2，O)、(m，0)，且1 m 2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确的序号是 。、利用平移规律解决图象平移问题1、把抛物线向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2、抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D.3、抛物线y=2x24x5经过平移得到y=2x2，平移方法是（ ） A向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D向右平移1个单位，再向上平移3个单位、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、

11、对称轴、最值及函数的增减性1、函数图象的对称轴是 ，最大值是 .2、如果二次函数的最小值是1，那么m的值是 .3、抛物线对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x 。4、若抛物线的对称轴是则（ ） A.2 B. C.4 D.5、二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-36、已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次

12、函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？、二次函数与方程、不等式的综合题1、不论x为值何，函数（a0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a0，0 B.a0,0 Ca0 D.a0,02、在抛物线上的点是（ ） A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）3、直线与抛物线的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个4、二次函数y=x22x3与x轴两交点之间的距离为_5、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2y1时，x的取值范围_6、若二次函数y=x24x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c= （只要求写

13、出一个）、考查用待定系数法求二次函数的解析式（并综合考查二次函数与几何的综合题）1、已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点D（2，y1），E（1，y2），F（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y23、已知抛物线（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是，求：（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物

14、线的开口方向、对称轴和顶点坐标.4、已知抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点C，且ABC=90，求：（1）直线AB的解析式； （2）抛物线的解析式. 5、已知一个二次函数的图像过如图所示三点（1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与x轴交于A，B两点在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离求点P的坐标6、如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，SABC=6，求抛物线的解析式。 8、如图576所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴交于A，

15、B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式； （2）求MCB的面积9、（重庆）如图所示，m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且m0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当APD=ACP时，求抛物线的解析式、二次函数的实际应用1、 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量

16、y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？2、某个商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t= -3x + 204.（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利

17、润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 3、恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润销售总金额收购成本各种费用）3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？4、（太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平