第八章多元微分学(数学竞赛部分_第1页
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1、第八章 多元微分学（数学竞赛部分）1设函数，求分析 本题是求两个二次极限之差。在求时，先将视为常数，求出；类似地，在求时，先将视为常数，求出。解 因 ，所以2设，求分析 如果利用求导法则先求出偏导函数，计算量较大。注意到，本题利用定义求偏导更容易些。解 3（1）若，且当时，时，求；（2）设函数的二阶偏导数存在，且，求；(3) 求满足方程及条件的解（1） 由，可得，由，可得，所以，于是，再由，可得，故（2）因，所以由，可得，再由，可得，故（3）因，由，可得，又，所以于是，再由，可得，故4设，是可微函数，若，证明仅的函数，其中分析 将仅写成球面坐标系下的函数，只要证明即可。证 在面坐标系下，则，

2、命题得证。5设函数可微，求解 因，所以。6设函数具有二阶连续偏导数，且满足方程，又，求解 因两端对求偏导，有，解得 两端对求偏导，有(1)式两端对求偏导，有因，由(2),(3)式解得，7若可微函数对任意满足是曲面上的一点，且，求曲面在处的切平面方程。解 等式两端对求导，有，将代入，得 ，再将代入上式，得 ，所求切平面的法向量为，所求切平面方程为8设函数在点，且，其中，求曲面在点。解 因函数在点，所以在点连续。所以，所求切平面的法向量为，所求切平面方程为9求函数在点处沿曲面在点处的外法线方向的方向导数解 曲面在点处的外法线方向为，单位化，得 ，因 ，所以 ， 故 10设向量，且二元函数在点处有，求解 因 ，由，解得，所以11求在点处沿解 因，解得12设二元函数具有一阶连续偏导数，且，证明在单位圆周证 令，则在区间上，由罗尔定理知至少存在两个不同的点，使得，而，将代入上式即得结论。13设二元函数，其中在点。证明函数在证 必要性。设在点处可微，则存在。由于 ，且充分性。若因为，又，所以。13，求。解 令，则，所以，解得 因，所以14设函数在处连续，且，求。解 由，可得， （其中是时的无穷小）于是 。再由函数在处连续，得。，故15设有二阶连续偏导数, , 且，证明 在取得极值，判断此极值是极大值还是极小值,

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