第六节微分法在几何上的应用

1、第 六 节 微分法在几何上的应用教学目的：根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量教学内容：一、空间曲线的切线与法平面1空间曲线的方程为的情形设 (1)都可导在曲线上取对应于的一点及邻近的对应于的一点则曲线的割线的方程是 当沿着趋于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线用除上式的各分母，得 令这时 通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为 (2)这里当然要假定不能都为零如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解切线的

2、方向向量称为曲线的切向量向量 就是曲线在点处的一个切向量通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点而以为法向量的平面，因此这法平面的方程为 (3)例1 求曲线在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程解 因为而点 (1,1,1),所对应的参数，所以 于是，切线方程为 ,法平面方程为 即 2空间曲线的方程为的情形取为参数，它就可以表为参数方程的形式 若都在处可导，那末根据上面的讨论可知,因此曲线在点处的切线方程为 (4)在点处的法平面方程为 (5)3空间曲线的方程为的情形设是曲线上的一个点，又设有对各个变量有连续偏导数，且 这时方程组(6)在点的某一邻域内确定了一组函数要求曲线在点

3、M处的切线方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)两式就行了为此，我们在恒等式 两边分别对求全导数，得 由假设可知，在点M的某个邻域内 故可解得 ，于是是曲线在点处的一个切向量，这里 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值把上面的切向量乘以得 这也是曲线在点处的一个切向量，由此可写出曲线在点处的切线方程为 (7)曲线在点处的法平面方程为 (8)如果而中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果例2 求曲线,在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程解 将所给方程的两边对求导并移项，得 由此得 从而 故所求切线方程为 法平面方程为 ,即 二、 曲面的切平面与法线1隐式方程情形我们先讨论

4、由隐式给出曲面方程 (9)的情形，然后把由显式给出的曲面方程作为它的特殊情形设曲面由方程(9)给出，是曲面上的一点，并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零在曲面上，通过点任意引一条曲线（图88），假定曲线的参数方程为 (10)对应于点且不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线方程为 =因为曲线完全在曲面上，所以有恒等式，又因在点处有连续偏导数，且都存在，所以这恒等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零： 即有 (11)引入向量 则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量与向量垂直因为曲线(10)是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上通过点的一切曲线在

5、点的切线都在同一个平面上（图88）这个平面称为曲面在点的切平面，这切平面的方程是 (12)通过点而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线法线方程是 (13)垂直于曲面上切平面的向量（即切平面的法线向量）称为曲面的法向量，向量 就是曲面在点处的一个法向量2显式方程情形设曲面方程为 (14)令 ), 可见 , ，.于是，当函数的偏导数、在点连续时，曲面（14）在点处的法向量为 切平面方程为 或 (15)而法线方程为 这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数在点的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量如果用表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为 这里，把分别简记为,例3 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程解 () =, 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 即 法线方程为 即 由此可见，法线经过原点(即球心)小结与思考：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分法的应用利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方