高三数学一轮复习导数导学案

1、课题：导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f (x)ln xf(x)_（1）导数的概念：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是_，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或.（2）导函数： 记为f(x)或y.（3）导数的几何意义： 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率相应地，切线方程为_（4）

2、基本初等函数的导数公式（5）导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_(g(x)0)（6）复合函数的导数： 2导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数yf(x)，如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的_；如果在某区间上f(x)0，且偶函数f(x)满足f(2x1)2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上有_个零点三、解答题9.已知函数f(x)xlnx.(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)m0 (mR)的解的个数10设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为

3、R上的单调函数，求a的取值范围11.已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a1，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值课题：导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案二、基础自测：1若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4xC42x D42x22曲线yx3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A(1,1)B(1，1)C(1,1)或(1，1)D(1，1)3(2012陕西高考)设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大

4、值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点4若函数ya(x3x)的递减区间为，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a15若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为_6已知f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_参考答案：1C解析：yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2，42x.2C解析：y3x2，3x23.x1.当x1时，y1，当x1时，y1.3D解析：由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点4A解析：ya(3x2

5、1)3a，当x时，0.要使y0，必须取a0.54xy30解析：设切点为(x0，y0)，y4x3,4x034，x01.y01.l的方程为4xy30.63解析：f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而当x1，)时，(3x2)min3123.a3，故amax3.三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数【例1-1】已知f(2)2，f(2)3，则1的值为()A1 B2 C3 D4【例12】用导数的定义求函数yf(x)在x1处的导数【例11】C解析：令xx2，则11f(2)1213.【例12】解：yf(1x)f(1).，.f(1).

6、【变式】：求函数y在x0到x0x之间的平均变化率，并求出其导函数解y，.x0时，.y.考点二、利用求导公式、法则求导例2求下列函数的导数：(1) y(2x3)2；(2)ytan x；(3)yxex；(4)y. （5）yln(2x5)解：(1)y(4x212x9)8x12.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.（5）设u2x5，则yln(2x5)由yln u与u2x5复合而成yyuux2.【变式】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe； (2)y；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求

7、曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程解：(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为：y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为：y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为：x02.切线方程为yx02(xx0)，即yx02xx03.点P(2,4)在切线上，42x02x03，即x033 x0240，x03x024x0240，x02(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)

8、，则x021，x01，切点为(1,1)或，切线方程为y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.【变式】：求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程解:f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲线的切线方程为yx.综上，曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程为y2x或yx.考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)

9、当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围；解：(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增，f(x)0对x(1,1)都成立f(x)x2(a2)xaex，x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立ex0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0对x(1,1)恒成立设h(x)x2(a2)xa，只需满足，解得a.【变式】(2009浙江)已知

10、函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解 (1)由题意得f(x)3x22(1a)xa(a2)，又,解得b0，a3或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不单调，即或解得或所以a的取值范围为(5，)(，1)【例5】若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围解(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是，解得故函数为f(x

11、)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数的大致图象如右图，故实数k的取值范围为(，)【变式】设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(x)()1.函数定义域为(0，)，列表x(0,

12、1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x1是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点【例6】已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解： (1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0；当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由解得a2，b4，又切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)，得f(x)x32x24x5，f(x)3x

13、24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)0的解集为，即为f(x)的减区间3，2)、是函数的增区间又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.变式迁移3已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(

14、3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).四、课题巩固：一、选择题：1设f(x)为可导函数，且满足1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D22(20

15、12辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)3如图所示的曲线是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于()A.B.C.D.4.已知f(x)是f(x)的导函数，在区间0，)上f(x)0，且偶函数f(x)满足f(2x1)0，f(x)在0，)上单调递增，又因f(x)是偶函数，f(2x1)ff(|2x1|)f|2x1|，2x1.即x2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上有_个零点参考答案：1(0,1)2.37 3. 4. 1个解析：f(x)x22axx(x2a)0x10，x22a4，易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)10

16、，f(2)4a0，由零点判定定理知，在函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有1个零点三、解答题9.已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)m0 (mR)的解的个数解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，令f(x)0，得x，当x(0，)时，f(x)，f(x)的变化的情况如下：xf(x)0f(x)极小值所以，f(x)在(0，)上的极小值是f.(2)当x，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.令yf(x)，ym，两函数图象交点的横坐标是f(x)m0的解，由(1)知当m时，原方程无解；由f(x)的单调区间上函数值的范围知，当m或m0时，原方程有唯一解；当m1，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解: (1)由函数f(x)图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称，所以0.所以m3，代入，得n0.于是f(x)3x