高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结

1、2012.3.261.两实数大小的比较一. 不等式(精简版）2.不等式的性质：8条性质.3.基 本不等式定理4.公式：3.解不等式(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：判别式=b2- 4ac0=00)x1x2xyOyxOx1yxOax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1, x2 (x10(y0)的解集x|xx2x|x Rax2+bx+c0(y0)的解集x|x1 x 0（2）x2 (a+a2)x+a30； （3）2x2 +ax +2 0；注:解形如ax2+bx+c0的不等式时分类讨 论的标准有：1、讨论a 与0的大小；2、讨论与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分

2、类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：例1已知关于x的不等式 在(2，0)上恒成立，求实数a的取值范围例2关于x的不等式 对所有实数xR都成立，求a的取值范围.例3.若对任意则 的取值范围.(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.二次方程根的分布问题的讨论：y1x1 x2 kxOkx1x2kxyOx2x1k2k x1 x2xyOx2x1k3x1 k x24 k1 x1 x2 k2 5 x1 k1 k2 x2yOx2x1k1k2xyO

3、x2x1k1k2x yOx2x1k1k2k3x6 k1 x1 k2 x2 k3 4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。练习：1.求满足 | x | + | y | 4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。34.求函数 的最小值.5.已知两个正数 满足 求使 恒成立的 的取值范围.1. 实数的性质：；2. 不等式的性质：性 质内 容对称性，传递性且加法性质；且乘法性质；，且乘方、开方性质；倒数性质3. 常用基本不等式：条 件结 论等号成立的条件，基本不等式： 常见变式： ；

4、 7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：(1)方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是(3)方程有两个相同的解根据的图象，可得原不等式的解集为(

5、4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）（2）解不等式；解:(1)原不等式 (该题后的答案:).(2)即.8、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：（1）设出未知数，确定目标函数。（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3）由目标函数zaxby变形为yx，所以，求z的最值可看成是求直线yx在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而

6、变化）。（4）作平行线：将直线axby0平移（即作axby0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。9、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若 ，则点在直线的上方若 ，则点在直线的下方10、在平面直角坐标系中，已知直线若 ，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若 ，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域11、最值定理设、都为正数，则有 若（和为定值），则当时，积取得最大值 若（积为定值），则当时，和取得最小值即：“积定，和有最小值；和定，积有最

7、大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1：如果多项式可分解为个一次式的积，则一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况当分式不等式化为时，要注意它的等价变形用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图不等式左右两边都是含有的代数式，