一元二次方程根与系数的关系习题

1、1、一元二次方程ax2bxc 0(a0)的求根公式为2、一元二次方程ax2bxc 0(a0)根的判别式为：b24ac(1) 当0时，方程有两个不相等的实数根。(2) 当0时，方程有两个相等的实数根。(3) 当0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ;方程有两个相等的实数根，则;方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1若一元二次方程ax2 bx c 0( a 0)有两个实数根xx2 ，那么X! X2 ，X!?X2 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程x2px q 0的两个根是捲和x2，则X! x2 ， 以X!和x2为根的一元二次方

2、程(二次项系数为1)是x2 (捲x2)x X! ? x2 0 在一元二次方程ax2bx c 0(a 0)中，有一根为 0，则c ;有一根为1，则a b c ;有一根为 1，则a b c ；若两根互为倒数,则c ;若两根互为相反数，则b 。 二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2 bx c的因式时，如果可用公式求出方程 ax2 bx c 0(a 0)的两个根 乂勺和x2，那么 ax2 bx c a(x x1)(x x2).如果基础运用例1:已知方程3x2 (k 1)x2 0的一个根是1,则另一个根是 k 。变式训练：1、已知x1是方程3x2 2x k 0的一个根，则另一根和k的值分

3、别是多少?2、方程x2 kx 6 0的两个根都是整数，则k的值是多少？例2:设X1和X2是方程2x2 4x 3 0，的两个根，禾I用根与系数关系求下列各式的值：(1)人？ x2?(2)(为 1)(X2 1)(3)丄(4)(X1 X2)2变式训练：1、已知关于x的方程3x2 10x k 0有实数根，求满足下列条件的k值：(1)有两个实数根。(2)有两个正实数根。(3)有一个正数根和一个负数根。 (4)两个根都小于2。2、已知关于x的方程x2 2ax a 0 0（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（ 2） a 取何值时，方程有两个正根0（ 3） a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大0

4、（ 4） a 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3:已知方程ax2 bx c 0（a0）的两根之比为1:2,判别式的值为1,则a与b是多少？例4、已知关于x的方程x22（m 2）x m2 5 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值例5、若方程x2 4x m 0与x2 x 2m 0有一个根相同，求m的值。基础训练：1关于x的方程ax2 2x 1 0中，如果a 0，那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定2 .设 x1 ,x2 是方程 2x2 6x 30的两根，贝U X12 X22的值是()(A) 15 (

5、B) 12(C) 6(D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是()(A) 2y2+5=6y (B) x2+5=2 5 x (C) 3 x2 2 x+2=0 (D) 3x2 2 6 x+仁0 4以方程x2+ 2x 3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()(A) y2+5y 6=0( B) y2+5y+ 6=0 (C) y2 5y+ 6=0(D) y2 5y 6=05. 如果xi, X2是两个不相等实数，且满足 x/ 2xi= 1, X2? 2x2 = 1, 那么X1X2等于()(A) 2 ( B) 2(C) 1( D 16. 关于x的方程ax2 2x+ 1 = 0中，如果a0,

6、那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定7.设X1，X2是方程2x? 6x+ 3= 0的两根，贝U X+ x的值是()(A) 15 (B) 12(C) 6 ( D) 38. 如果一元二次方程x2+ 4x + k2= 0有两个相等的实数根，那么k=9. 如果关于x的方程2x2(4k+1)x + 2 k2 1 = 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是10. 已知 Xi,X2是方程 2x2 7x + 4 = 0 的两根，则 xi + X2=, Xi x=,(X1 X2)2 =2 211. 若关于x的方程(m 2)x (m 2)x + 1

7、 = 0的两个根互为倒数，则m=二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：(1) x2 x=5 9x 2 6 2 +2=0 (3)x2 x+2=02、当m 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m 时，方程mX+4x+1=0有两个不相等的实数根； 已知关于x的方程10x2 (m+3)x+m- 7=0,若有一个根为0，贝U m=，3这时方程的另一个根是 ;若两根之和为一；，则m ，这时方程的5两个根为. 已知3 2是方程X+mx+7=0的一个根，求另一个根及 m的值。5、求证：方程(m2+1)x2 2mx+(m+4)=0没有实数根6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 5

8、和1+ 57、设xi,X2是方程2x2+4x 3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值:(x i + 1)(x 2+1)X2xi+ XiX22(3) xi + x 1x2+2 x 1&如果x2 2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则 m= ;9、方程2x(mx 4)=x2 6没有实数根，则最小的整数 m= ;10、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)两根的和与两根的积相等，则m=:11、设关于x的方程x2 6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20则k值为 :12、设方程4x2 7x+3=0的两根为xi,X2,不解方程，求下列各式的值 x 12+X22(2)x1 X2(4

9、)X1X22 +-2 x13、实数s、t分别满足方程19 s 2+ 99 s+ 1= 0和且19+ 99 t + t 2= 0求代数 亠 st + 4 s + 1.式的值。t14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+112 222 (a x a 1)=0 有无实根？15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x 1)(x 2) k2都可以分解成两个 一次因式的积。16、实数K在什么范围取值时，方程kx2 2(k 1)x (k 1)0有实数正根?训练(一)1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t 4=0,; (2)16x2+9=24

10、x,;(3)5(u 2+1) 7u=0,;2、 若方程x2 (2m 1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+ 3和2 3，则p= ,q= j4、 已知方程3x2 19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m=;5、 若方程x2+mx-仁0的两个实数根互为相反数，那么 m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+仁0的两个实数根，则代数式nm=。7、已知关于x的方程x2 (k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;&如果a和B是方程2X+3x 1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一兀二次方程，

11、使它的两个根分别等于a宀和B +丄；pa9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次三项式 2x2 (4k+1)x+2k 2 1可因式分解.11. 已知关于X的一元二次方程m 2 x 2+ 2(3m) x + 1= 0的两实数根为a , B,1 1若5 = T + T，求$的取值范围训练(二)1、已知方程x2 3x+1=0的两个根为a , B，则a +B =，2、如果关于x的方程x2 4x+m=0与x2 x 2m=0有一个根相同，则 m的值为2 13、已知方程2x2 3x+

12、k=0的两根之差为22，贝U k=;4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的两根是1和一3,贝U a= ;5、 方程4x2 2(a-b)x ab=0的根的判别式的值是;2 26、 若关于x的方程x +2(m 1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;7、 已知p0,q =0且 nW 0=0且 m 078、已知x1, x2是方程2x2+3x仁0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) (2x 1 3)(2x 2 3);(2) x 13X2+xX23。79、已知 a2=1 a, b2=1 b,且a b,求(a 1)(b 1)的值80、 如果x=1是方程2x2 3m

13、x+仁的一个根，贝U m ，另一个根为。81、已知n?+m- 4=0,丄-4 0 ,m,n为实数，且m 丄，则m -=nnnn82、两根为3和 5的一元二次方程是()2x 15=0 2x+15=0+2x15=0+2x+15=083、.设xi, X2是方程2x2 2x仁0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：(1)(x l2+2)(x22+2)；(2x i+1)(2x 2+1)；(x 1 X2)2。84、.已知m n是一元二次方程x2 2x 5=0的两个实数根，求2n?+3n2+2m勺值85、已知方程x2+5x 7=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分 别是已知方 程的两

14、个根的负倒数。86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的两根之比为2 : 1，求证： 2b2=9ac。87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=的两根之差为11,求m的值。88、已知关于y的方程y2 2ay 2a 4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x210x+21+a=Q (1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2) 此 方程会有两个负根吗 ?为什么?90、已知关于x的方程x2 (2a 1)x+4(a - 1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。91、已知方程x2+ax+b=0的两根为xi, X2,且4xi+x2=0,又知根的判别式=25,求a， b的值。92、已知一元二次方程8y2(m+1)y+m- 5=0。m为何值时，方程的一个根为 零?(2)m为何值时，方程的两个根互为相反数?(3