山东专用2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5.1椭圆及其几何性质学案含解析

1、第五节椭圆课标要求考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2了解椭圆的简单应用3理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题方向方向的热点2常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力3三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点f1，f2叫做椭圆的焦点集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|

2、f1f2|时，m点的轨迹是椭圆；(2)当2a|f1f2|时，m点的轨迹是线段f1f2；(3)当2a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()2小题热身(1)已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为(b)a. b.c. d.(2)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0)，离心率等于，则椭圆c的方程是(d)a.1 b.1c.1 d.1(3)已知椭圆c：1的一个焦点为(2,0)，则c的离心率为(c)a. b.c. d.(4)若方程1表示椭圆，则k的取值范围是(3,4)(4,5)(5)已知点m(2,

3、0)，n(2,0)，点p是曲线c：y21(y0)上的动点，直线pm与pn的斜率之积为.解析：(1)由题意得椭圆的标准方程为1，所以a2，b2，所以c2a2b2，e2，e.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为f(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆c的标准方程为1.(3)a24228，a2，e.(4)由已知得解得3kb0)的左、右焦点，b为c的短轴的一个端点，直线bf1与c的另一个交点为a，若baf2为等腰三角形，则()a. b.c. d3(2)椭圆1的焦点为f1，f2，p为椭圆上一点，若f1pf260，则f1pf2的面积是()a. b.c16 d32【解析】(1)如图，不妨设

4、点b在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|bf1|bf2|2a，|af1|af2|2a，由题意知|ab|af2|，所以|bf1|bf2|a，|af1|，|af2|.所以.故选a.(2)由椭圆1的焦点为f1，f2知，|f1f2|2c6，在f1pf2中，不妨设|pf1|m，|pf2|n，则|pf1|pf2|mn2a10，在f1pf2中，由余弦定理|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cosf1pf2，得(2c)2m2n22mncos60，即4c2(mn)23mn4a23mn，解得mn，所以sf1pf2|pf1|pf2|sinf1pf2mnsin60.故选a.【答案】(1)a(2

5、)a方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|pf1|pf2|2a中必须强调2a|f1f2|.1已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且.若pf1f2的面积为9，则b3.解析：设|pf1|r1，|pf2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，spf1f2r1r2b29，b3.2已知f是椭圆5x29y245的左焦点，p是此椭圆上的动点，a(1,1)是一定点，则|pa|pf

6、|的最大值为6，最小值为6.解析：椭圆方程化为1，设f1是椭圆的右焦点，则f1(2,0)，|af1|，|pa|pf|pa|pf1|6，又|af1|pa|pf1|af1|(当p，a，f1共线时等号成立)，6|pa|pf|6.考点二椭圆的标准方程命题方向1定义法【例2】(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(1，0)，f2(1,0)，过f2的直线与c交于a，b两点若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则c的方程为()a.y21 b.1c.1 d.1【解析】方法1：由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接f1a，令|f2b|m，则|af2|2m，|bf1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，

7、故|f2a|a|f1a|，则点a为椭圆c的上顶点或下顶点令oaf2(o为坐标原点)，则sin.在等腰三角形abf1中，cos2，所以12()2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆c的方程为1.故选b.方法2：设|f2b|x(x0)，则|af2|2x，|ab|3x，|bf1|3x，|af1|4a(|ab|bf1|)4a6x，由椭圆的定义知|bf1|bf2|2a4x，所以|af1|2x.在bf1f2中，由余弦定理得|bf1|2|bf2|2|f1f2|22|f2b|f1f2|cosbf2f1，即9x2x2224xcosbf2f1，在af1f2中，由余弦定理可得|af1|2|af2|2|f1

8、f2|22|af2|f1f2|cosaf2f1，即4x24x2228xcosbf2f1，由得x，所以2a4x2，a，所以b2a2c22.所以椭圆的方程为1.故选b.【答案】b命题方向2待定系数法【例3】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点f1，f2在x轴上，p(2，)是椭圆上一点，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，则椭圆方程为_【解析】(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)椭圆的中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，

9、p(2，)是椭圆上一点，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆方程为1.【答案】(1)1(2)1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|f1f2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1(方向1)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点为f1，f2，离心率为，过f2的直线l交c于a，b两点若af1b的周长为4，则c的方程为(a)a.1 b.y21c.1 d.1解析：由已知及椭圆的定义知4a4，即a，又，所以c1，b22，所以c的方

10、程为1.2(方向2)设f1，f2分别是椭圆e：x21(0b1)的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点若|af1|3|f1b|，af2x轴，则椭圆e的方程为x2y21.解析：设点b的坐标为(x0，y0)x21，f1(，0)，f2(，0)af2x轴，设点a在x轴上方，a(，b2)|af1|3|f1b|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.点b的坐标为.将b代入x21，得b2.椭圆e的方程为x2y21.考点三椭圆的几何性质命题方向1椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()a8 b7c6 d5【解析】因为椭圆1的长轴在x轴上，所以解得6mb0)，

11、如图所示，pf1f2为直角三角形，pf1f1f2，又|pf1|f1f2|2c，|pf2|2c，|pf1|pf2|2c2c2a，椭圆e的离心率e1.故选a.【答案】a命题方向3最值或范围问题【例6】已知椭圆1(ab0)的长轴长是短轴长的倍，且过点(2，)(1)求椭圆的标准方程(2)若oab的顶点a，b在椭圆上，oa所在的直线斜率为k1，ob所在的直线斜率为k2，若k1k2，求的最大值【解】(1)由已知，解得所以椭圆的标准方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，不妨设x10，x20.由k1k2得k2(k10)，直线oa，ob的方程分别为yk1x，yk2x，联立解得x1，同理，x2，所

12、以x2.因为x1x2y1y2x1x22，当且仅当|k1|时，等号成立所以的最大值为2.方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.1(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(d)a1 b.c2 d2解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2

13、cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)，即长轴长2a的最小值为2.2(方向2)已知椭圆o：1(a)的左、右焦点分别为f1，f2，过左焦点f1的直线l与椭圆的一个交点为m，右焦点f2关于直线l的对称点为p，若f1mp为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为(c)a. b.c. d.解析：设正f1mp的边长为m，则m2，m2.又由椭圆的定义可知|mf1|mf2|mf1|mp|4，2a4，解得a2，又由题可知b，c1，e.故选c.3(方向2)已知两定点a(1,0)和b(1,0)，动点p(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆c以a，b为焦点且经过点p，则椭圆c的离心率的最大值为(a)a. b.c. d.解析：不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立消去y得(2a21)x26a