2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：6.2均值不等式

1、第六章,不等式,6.2 均值不等式,一、算术平均数与几何平均数定理 1.若a0，b0，则称_为两个正数的算术平均数，称_为两个正数的几何平均数. 2.如果a、b为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当a=b时取“=”号. 3.如果a、b为正实数，那么 _，当且仅当a=b时取等号,如果a+b为定值P,那么ab有最_值，为_;如果ab为定值S,那么a+b有最_值,为_.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_、_、11 _. 二、不等式恒成立问题 不等式af(x)恒成立，f(x)max存在 12 _，不等式af(x)恒成立，f(x)min存在 13 _,大,小,一正,二定,三相等,af(

2、x)max,af(x)mix,盘点指南： ; ; ; ;大； ;小； ;一正；二定；三相等；11 af(x)max; 12 af(x)min,若x,y ,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是( ) A. 当且仅当x=y时，s有最小值 B. 当且仅当x=y时，p有最大值 C. 当且仅当p为定值时，s有最小值 D. 若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值 解：由均值不等式易得答案为D,D,若x,y ,x+y4,则下列不等式中成立的是( ) 解： 故选B,B,设a0，b0，则下列不等式中不成立的是( ) 解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断

3、不成立. 解法2：可逐项使用均值不等式判断 不等式成立,B.因为 相乘得 成立; C.因为 又由 得 所以 成立; D.因为 ，所以 所以 即 不成立,故选D,1. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由. 解：不对. 设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G,题型1 利用均值不等式比较代数式的大小,则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b， l2G=l1a. 得G2=ab,所以 . 由于l1l2，故ab, 由均值不等式 知说法

4、不对,真实重量是两次称量结果的几何平均值. 点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值,已知a、b、c都是正数，且a+b+c=1.求证： 证明：因为 所以 同理，有 所以 但由于3a+21，所以上式不能取等号. 所以,2. (1)已知x0,y0,且 求x+y的最小值; (2)已知x0,y0, 所以,题型2 求函数或代数式的最值,当且仅当 即y=3x时,上式等号成立. 又 所以x=4,y=12时，(x+y)min=16. (2)因为x0,

5、所以 当且仅当 即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时，ymax=1,3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，所以 所以x+y=(x+y)( )=10+ =10+2( )10+22 =18, 当且仅当 ，即x=2y时取等号. 又2x+8y-xy=0，所以x=12,y=6, 所以当x=12,y=6时，x+y取最小值18,点评：第(2)小题是一类应用均值不等式求分式型函数的最值的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.第(1)(3)小题可利用已知条件转化为(2)的形式,3. 若对任意正实数x、y,不等式 恒成立，则a的最小值是. 解：若不等式恒成立,则 恒成立. 所以 因为 所以 当且仅当x=y时取等号. 所以a ，故amin=,题型3 用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题,点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值,已知a、b、cR,求证： 证明：因为 所以 同理, 三式相加得,1. 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能. 2