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1、近 世 代 数(Abstract Algebra,主讲教师 ： 蔡 炳 苓,河北师范大学数学与信息科学学院,第7-9节 理想 最大理想 同态,第三章 环与域,定义 若环,的非空子集,关于环,的加法与乘法也做成环，称,为,的子环,判定,记作,例,定义 设,为环,为,的非空子集,满足,则称,的一个理想,如果,为,由定义可知,理想一定是子环,与,本身都是,理想称为平凡理想（零理想与单位理想,的理想.这两个,的不等于它自身的理想(如果有的话,的真理想,除环只有零理想与单位理想,定理,称为,一般的，一个环除平凡理想外还会有其他理想，例如,例,试求,的所有理想,的全部子群为,为,的理想,的全部理想为,解,

2、由此知,可见：Z的子加群，子环与理想是一致的. 同样地，模n的剩余类加群也是如此,定义 设,为环,为,的理想,分别称为理想,的和与交,集合,定理6 (1)环,的两个理想,的和,与交,都是,的理想,2)环,的任意有限多个理想的和,还是理想,的任意多个理想的交还是理想,环,证明,1,是,的理想,2,是,的理想,定义,设,为环,称环,中所有,的理想的交为由,生成的主理想,即,包含,记作,是,中包含,的最小理想,为有单位元的交换环时,因此 整数环,的每个理想都是主理想,为有单位元的环时,为交换环时,定义,设,为环,则,为,的理想,称为,生成的理想, 记作,由,例 假设Zx是整数环上一元多项式环，则 （

3、2,x）不是一个主理想. (见教材112页,设,为环,为,的理想.则,是,的加群意义下的不变子群,2,3,1,为,在,中的一个陪集,4,的加法,则,关于如上所定义的运算构成加群,对加群,再规定乘法,则,关于如上所定义的运算构成环,定义：称环,为商环，也称为环,的模理想,的剩余类环,负元,零元,为交换环,则,也是交换环,有单位元,则,也有单位元,且,如果,如果,注,例1,设,为大于1的正整数,则,为,的理想,从而考虑商环,即商环,就是模,的剩余类环,定理1,定义2 设,为环,的同态,称集合,为同态,的核,定理2（环同态基本定理）设,为环,的同态满射,则,定理3 子环与理想在同态满射之下的象是子环与理想； 子环与理想在同态满射之下的逆象是子环与理想,一个环R 的一个不等于R的理想 I,除了R 同I自己以外,没有包含 I 的理想,定义,叫做,一个最大理想，假如,例： 求整数环的所有最大理想,所有理想,是最大理想,是素数,引理1：假定 IR 是环 R 的理想，剩余类,I是最大理想,环R/I只有平凡理想,引理2：如果一个有单位元的交换环R,只有平凡理想,那么R一定是一个域,教材117页,定理4：假定R是一个有单位元的交换环,I是最大理想,I是R的一个理想，则,R/I是一个域,定理5,是域,是素数,例,在,中,如果,则,是怎样,都是零,则,解 (

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