谐振原理的光子晶体滤波器的设计与优化

1、谐振原理的光子晶体滤波器的设计与优化 = 毕业设计（论文） 姓 名 学 号 专业班级 07电子信息工程 指导教师 学 院 完成日期 摘 要 本文在了解了二维光子晶体的能带特性后，从理论分析和实验仿真的角度对光子晶体滤波器展开了一系列研究，深入分析了光子晶体结构参数对滤波器传输特性影响。在研究过程中，本文用了有限元的计算方法对能量密度进行计算。从最终的仿真结果中可以得出这样的结论，不同的工作频率对应的滤波器的晶格结构是不同的，这个结论对滤波器滤波效率具有重大影响。 另外，本文在参考了大量文献后，选取了两种光子晶体的周期组成结构。在组成的结构上，本文分别采用的三角晶格的稳定结构模式以及正方晶格结构

2、模式，这两种模式不仅能有效地传输电磁波，使其在传输过程中的损耗较小，还能极大的促进了谐振腔的耦合，提高了滤波器的滤波功能。 综上所述，本文不仅分析了影响光子晶体波导与谐振腔间耦合效率的因素，给出了提高耦合效率的方法，而且设计了正方晶格光子晶体对称式谐振腔四信道光滤波器和三角晶格光子晶体对称式四信道光滤波器，其中三角晶格光子晶体滤波器的滤波效果在97以上，并且文中给出了晶格常数与各信道波长的关系式，论文结果可以为设计和制作高效的光子晶体多信道滤波器提供有益的参考依据。 关键词：光子晶体；信道滤波器；谐振腔；波导 I Abstract Understanding of two-dimensiona

3、l photonic crystal projected band-structure, I conducted a series of studies on the photonic crystal filter from the theoretical analysis and experimental simulation. In the research, it use the finite element method and plane wave expansion method to calculate the energy density. From the last simu

4、lation results, we can conclude that the different operating frequency will lend to the different lattice structure, this conclusion has played a significant role in the filtering efficiency of final result. In addition, after accessing to a large number of documents in this paper, I select two peri

5、odic photonic crystal composition. In the article, it use the square lattice structure mode and the triangle crystal lattice structure mode，not only can effectively transmit electromagnetic waves, and the attenuation in the transmission process are smaller, but also greatly promoted the coupling of

6、the resonator, which can improve the filtering function of the filter. In summary, this article has not only analyzed the primary factor of influence photonic crystal filter efficiency, and given the design method of improving the filter efficiency, but also designed the square lattice photonic crys

7、tal four channel filter and the triangle crystal lattice photonic crystal reflection type four channel filter. The filter of the triangle crystal efficiency of every channel is over 97, and the relationship expression of crystal constant and channels wavelength has also given. The article has the ve

8、ry high reference value for design and manufacture highly efficient photonic crystal multi-channel optical filter. Keywords: Photonic crystal; Channel filter; Resonant cavity; Waveguide II 目 录 摘 要 . I Abstract . II 第1章 概述 . 1 1.1 光子晶体概念 . 2 1.2 光子晶体的前景介绍 . 3 1.3 光子晶体的制备技术 . 4 1.3.1 精密机械加工技术 . 4 1.3.

9、2 微机械技术 . 5 1.3.3 胶体颗粒自组织法和反蛋白石结构 . 5 1.3.4 逐层叠加(Layer by Layer)法 . 5 1.3.5 激光全息法 . 6 1.4 光子晶体光滤波器 . 6 1.4.1 滤波器简介 . 6 1.4.2 光子晶体滤波器的研究现状 . 6 1.5 本文工作 . 8 第2章 光子晶体的基本理论和计算方法 . 10 2.1 光子晶体理论分析 . 10 2.2 谐振腔理论分析 . 13 第3章 光子晶体波导的设计 . 16 3.1 光子晶体波导 . 16 3.2 普通光子晶体波导的设计 . 16 3.3 弯曲光子晶体波导设计 . 18 3.4 光子晶体波导

10、的单向传播 . 19 第4章 光子晶体滤波器设计 . 21 4.1 滤波器设计方案 . 21 4.2 正方晶格结构光子晶体滤波器的设计 . 22 4.3 正方晶格结构光子晶体滤波器仿真分析 . 23 4.4 光子晶体滤波器的优化 . 24 4.4.1 结构优化 . 24 4.4.2 优化结果 . 错误！未定义书签。 4.5 结果分析 . 27 第5章 总结与展望 . 28 5.1 论文工作内容的总结 . 28 5.2 研究展望 . 28 参考文献 . 30 致谢 . 错误！未定义书签。 III 第1章 概述 近代以来，随着科技的发展以及社会的进步，人们的物质和精神生活的水平的不断提高。尤其是第

11、三次产业革命以后，出现了第二代，第三代的移动通信技术，使人类能够在相同时间，不同空间中自由进行无线通信。由于无线通信技术的出现，人们对信息传输速率和通信容量需求才会不断提升，然而传统通信技术已经将传输率发挥到极致，很难再有所提升，这就直接刺激了目前的光通信技术的发展。坦白地说，目前的光通信技术中，光的作用还仅限于信息传输、信号处理，但是诸如信号的分组交换，信号路由，信号的过滤等技术，仍然停留在电子技术的手段，也就是说，光技术并没有完完全全地替代电技术。自21世纪以来，通过改革开放，坚持创新，中国踏上了强国之路。风云汇际的今天，科学发展观已然成为我们发展的指导思想，科学发展观教导我们，我们必须以

12、发展的眼光看未来，不断创新，用于开拓，把中国建立成社会在现代化国家。而未来的通信技术中，光通信是一种必然趋势。在光通信技术里，信号的载体毫无疑问将以光子的形式成为主流，这不仅是人类追求的技术梦想，也是未来社会发展的现实需求，是科技进步所带来的前所未有的成果。 众所周知，大规模集成电路、计算机电路这些都是由半导体制成的，在半导体中，电子起到了决定性的作用，光子和电子存在的最大区别在于光子只是构成光束粒子波中的不带电的粒子，而电子带电荷。由于电子携带电荷，使电子之间存在相互作用。与电子相比，光子有着速度快，没有相互作用的优势。因此，下一代器件的主角将是光子，这毋庸置疑。光子晶体的出现给光子的发展提

13、供了平台，这种材料有一个显著的特点是它可以如人所愿地控制光子的运动。由光子晶体做成的器件可以如人所愿地控制光子的流动，就像半导体中的电子一样。正因为有独一无二的特点，近年来光子晶体的研究在世界各主要国家都成为了科学研究领域的一个热门课题。 1 1.1 光子晶体概念 我们将具有不同介电常数的介质材料在空间中按一定的周期排列，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线会呈现带状结构，且带与带之间有可能会出现类似于半导体禁带的“光子禁带”，我们将具有光子禁带的周期性电介质结构称为光子晶体。只要光子晶体两个材料的折射率比到达一定程度，也就是光子晶体周期性变化足够强烈，则光子能带就会产生光子禁带。在禁带

14、中的光子将无法在光子晶体中传播。利用这个性质，人们就可以控制光波的传播特性，如禁止某频带内的光传播，控制光传播方向等。 光子晶体是具有光子能带和能隙的一类材料，根据能隙空间分布的特点，可以将光子晶体分为一维(1D)光子晶体、二维(2D)光子晶体和三维(3D)光子晶体如图 1.1所示1， 图 1.1 (a)一维结构 (b)二维结构 (c)三维结构三种光子晶体结构模式 一维光子晶体由两种介质交替叠层而成，这种结构在垂直于基质的方向上介电常数周期性分布，而在平行于基质的平面方向上介电常数均匀分布2。 二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是由许多介质杆平行而均匀地排列而成的

15、。这种结构在垂直于介质杆的方向上(两个方向)介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质杆的方向上介电常数不随空间位置而变化2。横截面形状不同，获得的光子频率禁带宽窄也不一样，为了获得更宽的光子频率禁带范围，还可以采用同种材料但直径大小不同的两种介质圆柱杆来构造二维光子晶体。 三维光子晶体是指在三维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料。美国贝尔通讯研究所的E.Yablonovich创造出了世界上第一个具有完全光子频率禁带的 2 三维光子晶体，它是一种由许多面心立方体构成的空间周期性结构，也称为钻石结构2。 与半导体类似，完美的光子晶体用处并不大。在实际应用中，往往需要引入缺陷来制作各种各样

16、的光学器件，如光波导、微谐振腔等。引入的缺陷破坏子光子晶体原有的周期性。在光子带隙中就有可能出现频率极窄的缺陷态，与缺陷态频率吻合的光子会被局域在出现缺陷的位置，一旦偏离缺陷位置光将迅速衰减。由此可见，光子晶体可以作为某频段电磁波的绝缘体，同理，还可以把光子晶体作为其它频段电磁波的导体3。 1.2 光子晶体的前景介绍 1987 年E.Yablonovitoh和S.John在Physics RevieW Letter上分别提出光子晶体这一概念2，在这以后，光子晶体这一新型材料引起了众多科学家的研究兴趣，掀起了一股研究热潮。 近年来，光子晶体的研究持续升温，甚至在某些实际应用领域已有一席之地，这得

17、益于在达到的性能同步的条件下，它可以被制作成比相应的常规设备要小的多的器件。光子晶体的特点是在其内部具有光子能量和频率禁带，处于禁带区域的光子在光子晶体中是被禁止传播的，这一特点使得光子晶体在光电子和光通信中有重要的应用价值。光子晶体信道滤波器被认为是利用在点缺陷和由线缺陷产生的波导模式下造成的微共振腔模式间的谐振耦合，并且利用金属材料制作的光子晶体在某一频率之下全是禁带区，是理想的高通滤波器。拥有能量衰减效率比较高的滤波器通常都是通过其结构设计得到的，即多通道的光子晶体滤波器。此外，利用这一原理，还可以制作三信道的信道频率分波器，定向耦合器，以及光子晶体波导，光分束器等其他的光学器件。 光子

18、晶体的研究在我国得到了相当的重视。曾先后得到了国家“863”计划，“937”计划的支持。2004年国家自然科学基金在重大基础研究项目中对光电信息功能材料进行了重点资助4。 光滤波器是光子技术的基本元件之一，在光纤传感、光通信和光学信息处理方面有着广泛的应用。作为一种波长选择器件，光滤波器可以用于半导体激光器或光纤激光器的反射腔镜和窄带滤波、复用/解复用器、光放大器中的噪声抑制、 3 波长选择器、波长转换器、色散补偿器以及延时器等。近年来，滤波器的研究发展十分迅速，受到了人们的普遍关注。光滤波器的种类繁多，性能各异，功能也各不相同。光滤波器的质量和体积等参数直接影响到它的应用价值。目前实现波长选

19、择的方法主要有干涉滤波法、棱镜和光栅的色散分光法、光纤布喇格光栅光谱滤波法、声光滤波法、集成纤维或集成波导滤波法等等。目前在高速率光纤通信系统和网络中广泛应用的光滤波器有法布里珀罗谐振腔滤波器、马赫陈德尔干涉型光滤波器、基于光栅的滤波器、介质膜滤波器、有源光滤波器、原子共振滤波器等。 随着越来越多的研究者对光子晶体这种新型的人工结构材料认识与研究的深入，人们发现光子晶体能够为新型光滤波器的设计和制造提供崭新的思路。这主要是基于光子晶体具有光子频率禁带，频率在禁带区内的光子是不能在光子晶体中存在的。因此，一块光子晶体就是一个自然的理想带阻滤波器。以此为基础，人们已经研究出多种能够满足不同需要的，

20、性能优良的光子晶体滤波器4。 1.3 光子晶体的制备技术 光子晶体是一种人造微结构，它的晶格尺寸与光波的波长相当，是晶体晶格尺寸的1000倍。光子晶体的制备具有很大的难度，光子晶体适用的波长范围不同，制备技术也不同。另外还要引进缺陷态，因此制作光子晶体往往需要采用多种技术才能完成，半导体制备技术在光子晶体制备中起了很大的作用5。 1.3.1 精密机械加工技术 这种加工技术主要用于微波波段光子晶体的制作。微波波段光子晶体的晶格常数一般在厘米至毫米量级，用精密机械加工技术比较容易实现6, 9。长波长二维光子晶体多通过上下两个带孔的薄片将细小的介质柱或金属柱固定，而薄片孔的排列决定了光子晶体的晶格结

21、构。短波长光子晶体则多采用在半导体基片上打孔的方法来制造。在半导体基片上打孔时往往要用到激光刻蚀、电子柬刻蚀、离子束刻蚀等先进的半导体微加工制作技术。采用精密加工技术制作的第一块三维光子晶体结构是美国贝尔通讯研究所的EYablonovitch实现的7，是在一Al2O3基材上，按照面心立方的排列，用活性离子束钻出了约8000个球状空洞，而每一个 4 空洞就是一个“原子”。这个结构虽被证明没有完全带隙，但它却引起了科学界对光子晶体潜在应用的重视。 1.3.2 微机械技术 Noda发展了微机械技术13, 14，如干蚀(Dry-etching)、片粘合(Wafer bondering)、片熔(wafe

22、r fusion)、激光束衍射刻膜(Laser beamdiffraction patern)等，用以制作光波波段光子晶体，制作过程大致如下：在GaAs或Inp基底上生长一层半导体介质层。采用电子束刻蚀或光刻或千蚀技术形成周期性条形分布，将其熔接，再用湿化学侵蚀法对基底进行刻蚀，重复上进过程形成四层结构，共计两个周期8层即形成一个光子晶体。 1.3.3 胶体颗粒自组织法和反蛋白石结构 这种方法可用于红外波段到可见光波段光子晶体的制各。人们利用聚苯乙烯乳胶球在重力场的作用下在水中自组织生长的特性来制各光子品体14-20。利用这种方法可以生成胶体晶体或脱水蛋白右光子品体。 这种方法简单易行，但是由

23、于胶体球的折射率较低，无法产生完全带隙。研究人员在此基础上做了改进，以小球颗粒组成的紧密堆积结构为模板21, 22，向小球间隙填充高介电常数的Si、Ge、TiO2等材料，然后通过煅烧或化学腐蚀等方法将胶体颗粒除去而不改变其原有的晶格结构，这就形成了以空气球为“原子”的三维光子晶体。通过填充单晶硅，已成功制备了可见光及近红外波段的完全带隙的反蛋白石结构光子晶体22。 1.3.4 逐层叠加(Layer by Layer)法 逐层叠加法就是用多片二维周期性结构叠加在一起而构成三维光子晶体18, 22。Ho等人首先用此方法制备了光子晶体21, 22，用Al2O3介质棒制作了一种三维光子晶体的典型结构：

24、堆垛结构(Woodpile structure)。这种方法已经实现在红外波段光子晶体的制备22，但要制备可见光波段的光子晶体，在技术上还存在很大的挑战。 5 1.3.5 激光全息法 激光全息法22, 23就是多光束干涉法。让多束相干光交汇，在交汇区形成空间周期变化的干涉图样。让感光树脂在全息干涉图样中曝光，使光与物质相互作用，然后显影，就可以形成介质折射率在空间上周期性变化的有序微结构，如图15所示。直接得到的结构折射率比较低，不能产生完全带隙，可以将显影后形成的有序结构作为模板，填充高介电常数的材料来形成高折射率比的光子晶体结构。相对于其它方法，这种方法具有一次成形的优点，而且由于多光束干涉

25、形成图样的周期性与光的波长相当，所以这种方法特别适合制作光波范围内的光子晶体。 1.4 光子晶体光滤波器 1.4.1 滤波器简介 滤波器（filter），是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的直流电。对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器，其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率。 滤波器分为有源滤波器和无源滤波器。其中，从滤波器的模型结构来划分，通常有巴特沃斯响应，贝塞尔响应，切贝雪夫响应等等。滤波器的主要参数有中心频率，截止频率，通带带宽，插入损耗，回波损耗（return loss）8。 1.4.2 光子晶体滤波器的研究现状 光子晶体滤

26、波器已然成为光子晶体技术的重要表现手法之一，同时，它也是光子技术的基本元件之一，在光通信和光学信息处理方面有起着重要的作用。 由于光子晶体滤波器的广阔应用前景，在近几年来已经吸引了广大学者进行研究实验。纵观当前的研究领域，主要有以下几个大的研究方向：首先是以日本学者Yoshihiro Akahane为首的研究团队致力于高Q因子谐振腔滤波器的研究9, 13，已经使用硅基材料制成了二维光子晶体微腔谐振器，其Q值达到了45000。并且还设计了高Q值的光滤波器，其设计结构如图1.2所示。 6 图1.2 高Q值光滤波器结构图 在此研究的基础上，Bong Shik Song等人设计了通过改变不同段晶格常数

27、的办法实现了异质结构多信道光滤波器，其结构如图1.3所示，但该方法的不足之处是若想实现各信道间隔很小，那么器件各段晶格常数相差会很小，在光波波段实际的制作工艺上有一定的困难。 图1.3 光子晶体多信道滤波器结构图 目前研究最多是利用二维光子晶体波导和谐振腔之问的耦合作用，来实现滤波。主要有台湾Chih Wen Kuo等人，设计了六信道光子晶体滤波器。其结构如图 1.4所示。另外韩国Sangin Kim等人利用具有反射反馈的三端口结构设计了五信道光子晶体滤波器，其结构如图1.5所示，其滤波效率达到了9613, 14。 图1.4 六信道光子晶体滤波器示意图 7 图1.5 具有反射结构的光子晶体滤波

28、器 此外，还有用液晶作为光子晶体的缺陷13，利用液晶两端加上不同电压可以改变液晶的相对介电常数的特性，在液晶缺陷的两个端面加上可调电压，通过调整电压改变液晶分子的朝向，进而改变了液晶缺陷的相对介电常数，来实现可调多信道滤波的要求，结构如图1.6所示。 图1.6 液晶可调光滤波器结构 1.5 本文工作 本文针对已经展开的光子晶体滤波器的设计与优化这一课题的研究作出各个时期的工作简述。包括学习光子晶体的理论体系，光子晶体器件市场调研，国际光子晶体研究的前沿介绍，以及对常用于光子晶体研究的某些软件，尤其是中仿科技推出的comsol multiphysics这款软件的学习。当然包括对一些简单模型进行学

29、习，以及动手操作仿真，例如论文中，本人对光子晶体的直通道波导模型、光子晶体的弯曲波导模型等做了建模，并进行数值结果的分析，对传输率图形做了一些选取，最后设计出光子晶体滤波器，并和预期目标相互比较。论文各个章节的主要内容安排如下： 第一章 解释了光子晶体的基本含义，探究其分类方法，了解其应用领域以 8 及介绍了光子晶体的制备方法。另外还介绍了光子晶体器件在国内外的研究现状，并且点明了此次研究的主要意义和内容。 第二章 分析光子晶体的基础理论体系，学习并初步掌握光子晶体的涉及的专业知识，并在此基础上推算了光子晶体的理论方法即平面波展开法，对其进行了一些数值运算。 第三章 主要是在阅读了大量的相关论

30、文的同时，总结他人的经验，并尝试模仿一些较为经典的案例，对光子晶体器件做出了一系列的模拟仿真。这其中包括了光子晶体普通波导，光子晶体弯曲波导，光子晶体单向波导的模型设计以及对它们的结果分析。 第四章 本文重点章节，光子晶体滤波器的设计与优化，根据最初制定的设计要求大纲包括中心频率设定，器件材质选取，传输率要求，并通过反复的尝试与验证来得到光子晶体滤波器的晶格常数，从而得到四通道光子晶体滤波器模型，运行得到滤波结果，在此基础上对滤波器还进行了逐步的优化。其中滤波器的晶格常数的选取是技术核心部分，因此，本次设计的重心放在谐振腔和波导的结构优化。在结果分析中，本文添加了传输率的曲线图，传输率曲线能够

31、直观地反映出输入波和输出波的能量比，进一步能直观反映谐振腔滤波的效果。 9 第2章 光子晶体的基本理论和计算方法 2.1 光子晶体理论分析 麦克斯韦方程可以描述光在光子晶体器件中的运动行为： ?H?D?J (2.1.1) ?t ?E?B (2.1.2) ?t ?B?0 (2.1.3) ?D? (2.1.4) 考虑无源情况，并假定介质的磁导率为?0，对于时谐场，其时间因子为e ?iwt的，麦克斯韦方程(2.1.1)变为： ?H?i?0?(r)E (2.1.5) ?E?i?0H (2.1.6) 将(2.1.5)带入(2.1.6)整理可得: ?1?H?()2H (2.1.7) ?(r)c 其中c为真

32、空中的光速。公式(2.1.7)被称为光子晶体的主方程，这是一个电磁本征值问题。人们结合光子晶体的周期特性，提出了多种数值求解主方程本征值的方法，来分析电磁波在光子晶体中传播的基本特性，得到光子晶体能带结构9。 本文对光子晶体能带分析用的是平面波展开发，接下来将围绕这个主题来介绍。 平面波展开法(Plane-Wave Expansion Method)3, 7是光子晶体理论分析方法中应用最广的一种方法。其主要思路是：利用光子晶体结构的周期性，将麦克斯韦方程的各个参数进行傅立叶变化，进行平面波展开后，麦克斯韦方程转化为代数本征方程，解出不可约布里渊区边界点对应的各级本征值，就可得到光子晶体的能带结

33、构，也叫光子晶体的色散曲线，该方法的特点是：只需要在光子晶体的一个周期性单元中进行计算，可以高效、准确地计算完整周期性晶格结构的能带 10 结构，能够反映光子晶体能带结构形成的物理本质。以下是对算法的过程进行了详解4。 首先，将麦克斯韦方程(2.1.1)(2.1.2)化成如下的标量形式： ?Hz?Hy?Dx (2.1.8) ?y?z?t ?Hx?Hz?Dy (2.1.9) ?y?z?t ?Hy?Hx?Dz (2.1.10) ?y?z?t ?Hz?Hy?Dx (2.1.11) ?y?z?t ?Hx?Hz?Dy (2.1.12) ?y?z?t ?Hy?Hx?Dz (2.1.13) ?y?z?t 其

34、次，考虑二维光子晶体，它在xy平面是周期排布的，在z方向是无限长的均匀介质，即介电常数和磁导率随x，y周期变化，而不随z变化，此时磁场和电场的分布也是仅随x，y改变，而不随z改变的，所以对所有对z求偏导的项都等于0。并且对时谐场，麦克斯韦方程可化成如下形式： ?Hz?i?Dz (2.1.14a) ?y ?Hz?i?Dy (2.1.14b) ?x ?Hy?Hx?i?Dz (2.1.14c) ?x?y ?Ez?i?Bx (2.1.15a) ?y ?Ez?i?By (2.1.15b) ?x ?Ey?Ex?i?Bz (2.1.15c) ?x?y 由于各介质的相对介电常数 是各项同性的，为一标量，而相对

35、磁导率为张量且满足如下形式: 11 ?ik0? (2.1.16) ?r?ik?0?01?0? 由上式可得两组方程，即2.1.14a-c以及2.1.15a-c可以化为： ?Hz?i?0?rEx (2.1.17a) ?y ?Hz?i?0?rEy (2.1.17b) ?x ?Hy?Hx?i?0?rEz (2.1.17c) ?x?y ?Ez?i?0(?Hx?ikHy) (2.1.18a) ?y ?Ez?i?0(?ikHy?Hy) (2.1.18b) ?x ?Ey?Ex?i?0Hz (2.1.18c) ?x?y 对E的偏振模的公式2.1.18a和2.1.18b变换可以得到： ? ? 其中?Ez?Ez?i

36、?0Hx (2.1.19a) ?y?x?Ez?Ez?i?0Hy (2.1.19b) ?y?x? ?2?k2，?ik，然后，设二维光子晶体的晶格为方形晶格在x方22?k 向的周期常数为a，在y方向的周期常数为b，将其各分量作平面波展开可得： Ez? Hx? Hy?101?umnmnmnei(2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.20) ?01?v mnxmnei(i(2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.21) ?0?vymne2?n2?n?kx)xi(?ky)yabe (2.1.22) 最后通过傅里叶变换可以把上述公式变成矩阵方程： 12 ?Ax?Bx?y?kx

37、Cx?Dx?Ex?z?kxFx (2.1.23) ?Gz?Hy?Jx?kzx? 其中xi?umn，xyi?vmny，zi?vmn，i?m?M?1?(2M?1)(n?N)， namna?ky)，Aij?m?m,n?n(?ky)，Bij?m?m,n?n，Cij?m?m,n?n，Dij?m?m,n?n(?b?b Eij?m?m,n?nmmna?ky)，Jij?m?m,n?n，上述，Fij?m?m,n?n，Gij?，Hij?(?b 方程可化成如下关于x的本征方程： D?E?I?x?0?x?F?J?H(A?B)G?z?kx?HC?I?z? (2.1.24) ? 至此，我们可以发现从解2.1.24这个方程

38、的角度来说，若参数(即A,B,C.)已知，且频率给定时，可以求出kx的大小4。 通过平面波展开法，我们可以求得kx的大小与频率的关系，进而得到了光子晶体的色散曲线图，结合能量带隙图可以求出光子晶体器件的周期性晶格常数，具体计算晶格常数a的过程需要结合实际情况，带入上式即可。本文在第三章有计算金属氧化铝的晶格常数的过程。 2.2 谐振腔理论分析 由于本文的重点是进行光子晶体多信道滤波器的设计，所以经常涉及到谐振腔与谐振腔之间及谐振腔与波导之间的耦合问题。解决谐振腔与波导间相互作用的最有效的方法是耦合模理论(CMT：coupled mode theory)21。耦合模理论的核心是耦合模方程。 根据

39、麦克斯韦方程： ?2D(r,t)?E(r,t)?0 (2.2.1) ?t22 其中 D(r,t)?0E(r,t)?P(r,t) (2.2.2) 令 P(r,t)?P0(r,t)?P(r,t) (2.2.3) 13 式中P0(r,t)为未受干扰的相对介电常数分布为?r的波导中由E(r,t)引起的电极化强度，而P(r,t)则为受微扰后的电极化强度。P(r,t)与未受微扰的电极化强度P0(r,t)之间的偏离，即微扰电极化强度，将(2.2.3)式代入(2.2.2)式得到： D(r,t)?0E(r,t)?P0(r,t)?P(r,t)?D0(r,t)?P(r,t) (2.2.4) 式中D0(r,t)为末受

40、微扰的电位移矢量， D0(r,t)?0E(r,t)?P0(r,t)?0?E(r,t) (2.2.5) 因此(2.2.4)可以写成： D(r,t)?0?E(r,t)?P(r,t) (2.2.6) 上式代入(2.2.1)式有， ?2E(r,t)?2P(r,t)?E(r,t)?0?0?0 (2.2.7) 2?t?t22 其y分量形式为 ?2Ey(r,t)?0?0?2Ey(r,t)?t2?0?2Py(r,t)?t2 (2.2.8) 忽略辐射模而考虑导模，波导中的总电场的y分量Ey(r,t)可以展成为来受微扰的本征模， (m)Ey(r,t)?AmEy(x,y)expj(?t?mz) (2.2.9) ?

41、式中A(m,z)为展开式系数，是z的函数，亦即为各本征模沿z方向各点的振幅，m取正、负整数时分别代表沿z的正反方向传播的模式，本征模的横向场分 (m)布Ey(x,y)满足下述亥姆霍兹方程， (m)2(m)?t2Ey(x,y)?(?2?0?0?m)Ey(x,y)?0 (2.2.10) ?2?2 其中?2?2为横向微分运算符，将(2.2.9)带入(2.2.8)式，并利用?x?y2 t ?2?2?2?2，?j?m?，及?m?2有， ?t?z?z2 ?2Py(r,t) ?t2?exp(j?t)m?A(z)E2m?(m)y(m)(x,y)exp(?j?mz)?2?0?0?Am(z)Ey(x,y)exp(?jz?m) 14 ?exp(j?t) m? ?A(z)?E m 2t ? (m)y(x,y)?(?0?0?)E 2 2m(m)y d2Am(z)dAm(z) (x,y)?j2? m2 dzdz 由(2.2.10)可知，等式右侧第一项为0，还有，已设缓变条件成立，即 d2Am(z)dAm(z) ， ?2?m2 dzdz d2Am(z) 其中，项可以略去，所以(2.