七年级新思维20-丰富的图形世界

1、主视图A 5个B. 6个 C 7个 D 8个【答案】D例3 （贵阳课改实验区中考题）由一些大小相同的小正 方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图（1 ）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n,求n的值主视图【答案】（1）左视图有以下5种情形:俯视图20.丰富的图形世界问题解决例1 （四川省中考题）如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x + y=【答案】2x =8, y =10, x y =14 例2 （成都市中考题）如图，由一些完全相同的小立方块搭成的几 何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）面露出的面

2、积和（正好是最下面正方体上底面的面积1）即是这些正方体露在外面的面积（2） n =8 , 9, 10, 11例4 （江苏省常州市中考题）如图是由若干个正方体形状木块堆成的， 平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体 上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过 8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去， 这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？【答案】4; 9提示：最下面正方体 1个面的面积是1,侧面露出的面积和 是4,每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下1面正方体1个面面积的-，所有正方体侧面面积之和加

3、上所有正方体的上2和.如:42个正方体露出的面积和是4* 1 = 7 ,2443个正方体露出的面积和是41=8 ,244个止方体露出的面积和是444+41 =8-,24825个正方体露出的面积和是444+44 + 1 =8?2481646个止方体露出的面积和是44+4十一4十一4 + 4 +17 =8,24816328”故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过9.例5 （江城国际数学竞赛题）要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示.分析与解 本例是一道图形分割问题， 解答本例需要较强的空间想象能 力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合.为方便起见

4、，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成 49个小正方体.设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，如果能 切出1个棱长为4的正方体， 则有f+8b+64 =216，解之得b=146，不合题意，所以切不出棱长为4的正方体.a b = 49 -17设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，棱长为3的正方体有c个，a 8b 27c =216则 a b c=49 ，解得 “36，9，4， 故可分割棱长分别为 1、2、3的正方体各有36个、9个、4个，分法如图所示.欧拉公式例6建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（

5、F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.四面体长方体正十二面体（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格:多面体顶点数（V）面数（F ）棱数（E ）四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 .（2） 一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 .（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x y

6、的值.解（1） 6; 6; V F _E =2（2） 20（3）这个多面体的面数为 x y，棱数为24 3 =36 （条）.2根据 V F _E =2，可得 24 （x y） _36 =2, x y =14 . 模型应用（宁波市中考题改编） 如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制 而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、 正六边形个数.解 设足球表面的正五边形有 x个，正六边形有y个，总面数F为x y 个因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为l（5x 6y），又因2为一个顶点上有二条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数12 1V（5x 亠 6y）（5x 亠 6y

7、）23 3由欧拉公式 V F -E =2得（x y） l（5x 6y） -丄（5x 6y） =2,32解得x =12 .所以正五边形只要 12个.又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着 3个正五边形，所以六边形个数 聖=20,即需20个正六边形.3数学冲浪知识技能广场则原正方体相对两个面上的数字之和的1. （山东省荷泽市中考题） 如图是正方体的展开图, 最小值是.【答案】62. （武汉市中考题）由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 .【答案】53. （山东省烟台市中考题）一个长方体的左视图，俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的

8、面积为.（第 3题）【答案】84.（山东省青岛市中考题）如图， 摆成的，若将露出的表面都涂上颜色下列几何体是由棱长为 1的小立方体按一定规律在地面上 （底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面 涂色的小立方体共有个.图图图（第 4题）【答案】4（2 n -1）5. （山东省烟台市中考题）一个画家有14个边长为他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜 色，那么被涂颜色的总面积为（）.2A . 19m2C . 33m 【答案】C6. （河南省中考题）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（A . 3 B . 4C

9、. 5 D . 61m的正方体,241m34m2（第 5题）)主视图 俯视图（第6题）【答案】B7.（河北省中考题） 一个如图所示的零件,A. 20 B. 22从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到则这个零件的表面积是（）.C . 24 D . 26【答案】C& （2012年温州市中考题）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部 分形成的几何体图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是X主视方向（第8题）D.（ ）少图少 图少图甲【答案】B（第 9题）9.

10、 （广州市中考题）5个棱长为1的正方体组成如图的几何体.（1） 该几何体的体积是 （立方单位），表面积是 （平方单位）；（2）画出该几何体的主视图和左视图.【答案】（1） 5; 22; （2）略10. （“创新杯”邀请赛试题）用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形如图所示.图（第10题）（1）如果搭建的几何体由 9个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所 有可能的平面图形.（2 ）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面 看到的所有可能的平面图形.【答案】（1）(2) 11;思维方法天地11. （时

11、代学习报数学文化节试题）如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填 上适当的数，使这个正方体相对两个面上标的数值相等.【答案】上空格填1 ,下空格填22（第11题）（第12题）12. （江苏省江阴市中考题）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n,则n的所有可能的值之和为 【答案】3813. （“华罗庚金杯赛”试题）如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为 立方厘米.【答案】2 n左视图俯视图（第13题）14. （江苏省常州市中考题）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正

12、方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1 ,如果塔形露在外面的面积超过 7,则正方体的个数至少是（）.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B15. （“创新杯”邀请赛试题）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（）.A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】D设大立方体的棱长为 n, n .3,若n=6 ,即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有43 =64个45，故n =4或5 .除掉已漆的单位立方体

13、后，剩下未漆的构成一个长方形，设其长、宽、高分别为a、b、c , abc=45，只能是3 3 5 =45，故n=5 .16. （浙江省竞赛题）小明把棱长为4的正方体分割成了 29个棱长为整数的小正方体，贝U其 中棱长为1的小正方体的个数是（）.A. 22 B. 23C. 24D. 25【答案】C 提示：若分割出棱长为 3的正方体，则棱长为 3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求.设棱长为 2的正方体有x个，棱长为1的正方体有y个，则X y =29得x=5x + y=64,y=24.（第17题）17. （江苏省竞赛题）墙角处有若干个大小相同的小正方体堆 成如图所示的

14、立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、 从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么 你最多可以搬走多少个小正方体？【答案】有不同的拿法为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该 行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体.如图 所示，20个方格中的数字，表示 5行6列共20摞中在搬完以 后最终留下的正方体个数照这样，各行可搬个数累计为9+9+5+4+0=27，即最多可搬走 27个小正方体.66 -555 -4425-464-353-2143 c42-2-3-1323-1-21（

15、第17题）（第18题）18. （江苏省竞赛题）一个长方体纸盒的长、宽、高分 别是a、b、c（a b . c）厘米.如图，将它展开成平面图， 那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少 厘米？【答案】要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长 就要尽量小，因此要选剪开四条高（因为c最小），再剪开一条长a厘米的棱（否则，不能展开成平面图）， 最后再剪开两条宽b厘米的棱（如图中所示表示的 这七条棱）.由此可得图甲，这时最c bcabbac b cb b acccc a图甲小周长是c 8 b 4 a 2a 4b 8c （厘米）.ba ac a cbbc a （bbca a b图乙（第18题）要使平面

16、展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱 （长a ）,再剪开两条次条的棱（宽 b ）,最后剪开一条最短的棱（高 c）,即得图乙，这时最大周长是 a 8 b 4 c 2 =8a 4b 2c （厘米）.应用探究乐园19. （世界数学团体锦标赛试题）王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问果汗可以倒满多少杯？（第19题）（第20题）（第19题）（第20题）【答案】如图，由题意知AB =10，CD =5，AC =12，BD =13，过点D作DE垂直于E，则DE =12，于是Rt BDE中BE =5 . 延长 A C B交于 F , 贝U由 CD : AB =5： 10=1： 2 知 CF =12, AF =24 .于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即12123V n 1024 n 512=700 Mem）.33而大容器内果汁的体积是