东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程

1、一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数xf(,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点 M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程 而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程(2) 如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t

2、),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹 问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程 的形式也不同。3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为 r,点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设 M(x,y)，贝V X rcS (为参数)。y rsi n这就是圆心在原点 0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM0转过的角度。圆心为(

3、a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2 ,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。y b r sin4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2x2a2b21(axb 0）,其参数方程为yacosbsin（为参数），其中参数 称为离心角;焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2y2a2x21(a b 0),其参数方程为bbcosasin为参数）,其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为 0 ,2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0

4、到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。 但当0相应地也有02，在其他象限内类似。5.双曲线的参数方程 以坐标原点（不要求掌握） O为中心，焦占八、轴上的双曲线的标准方程为2x2 2a b匸1(a0,b0）,其参数x asec (为参数),其中 y bta n0,2 )且2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2y2a2xb21（a0,b0）,其参数方程为x bCOt (为参数，其中 (0,2 )e且 y acsc以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6.抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2 2px（p 0）的参数方程为7.直线的参数方程经过点M0(Xo,y。)，倾

5、斜角为 (丿的直线1的普通方程是y y tan (x Xo),而过Mo(X0,yo),倾斜角为 的直线I的参数方程为X X t cos y yo tsin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x),y0)，倾斜角为X x0 t cos的直线I的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线I上以y yo tsin定点叫为起点，任一点 M(x,y)为终点的有向线段的数量，当点在 M上方时，t 0；当点M在凶0下方时，t v 0；当点M与Mo重合时，t =0。我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 、题型探究探

6、究一：把参数方程化为普通方程例1 :已知曲线C:W嚟化为參数)C2：fx = BcosO（y = SinO为參数)(1 )化G, C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(2)若Ci上的点P对应的参数为Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线的距离的最小值。解答：（I） C1+ =1,C2 :2 2x y + 649G为圆心是(-4 , 3),半径是1的圆。G为中心是坐标原点，焦点在上轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆。W3I = 丿 m- 6M(-2 十十一sin 的(H)当 2时，尸(-44)一0隔匚帖&3过刃，故2C3为直线x-2y-7=0 , M到G的距离30 二 L0 =

7、r5 ,sin5从而cos时,d取得最小值探究二：椭圆参数方程的应用上的一个动点，求s=x+y例2:在平面直角坐标系xoy中，点p(x,y)是椭圆3十歹 1的最大值解答:2X 2 + y = 1 因椭圆的参数方程为工盘叫0於数)故可设动点 P的坐标为(：；一.川匸)，其中-1 -匚：因此，s=x+y=C：g环:+ 0 +=2si n()所以，当探究三：直线参数方程的应用的值。例3:过点”. 作倾斜角为上的直线与曲线亠甘 丄交于点M,N, 求|PM|PN|的最小值及相应的*買=冷2 y%仙药逾解析：设直线为 卜-门血业，代入曲线并整理得3n咖 + (V10 tPsaX + -=0|磁| 犁=|花

8、 | 二一3u =-4，此时2O，|PM| |PN|的最小值为尸戈，则 l-Fsm3所以当川二1时，即探究四：圆的参数方程的应用X = 2 4- -/2 eoj H V Vi siTk it*例4:已知曲线C的参数方程是 相交于两点A B(1) 求曲线C的普通方程；(2) 求弦AB的垂直平分线的方程(3)求弦AB的长Jt - 2 = -J2 GMi1_f- , qno-纣十h =m3tn 存为参数)，且曲线C与直线 =0解答：(1)由L所以，曲线C的普通方程为(x 2) 2+y2=2, 梧-(2 )因为-，所以AB的垂直平分线斜率为:.又垂直平分线过圆心(2, 0),所以其方程为(3) 圆心到

9、直线 AB的距离-一二三一；，圆的半径为r=所以 T - I - 二二一探究五：参数方程的综合应用已知点P( x，y)是圆x2 y2 6x 4y 120 上动点,(1)2 2x y的最值,x+y的最值，(3)P到直线x+y-仁0的距离d的最值。x2 y2 6x 4y 120 即(x2 23) (y 2)1 ,用参数方程表示为:3 cos2 sin由于点P在圆上，所以可设P (3+cos 0,2+sin 0),(1) x2y2(3 cos )2(2 sin )2144 si n 6 cos14 2.13 sin()(其中tan=1.5) x2y 2的最大值为14+2 5 -,最小值为14- 2

10、x+y= 3+cos 值为5 - J：0 + 2+s in 0 =5+ 2 sin () x+y的最大值为 5+-，最小显然当sin (3)时，d取最大值，最小值，分别为 1 2 2 , 1 2 2 .例6: 过点(2,1)的直线被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是;截得的最短弦所在的直线方程是 ;例7:若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0 ,则x-2y的最大值为四、反思感悟五、课时作业一、选择题1若直线的参数方程为x 1 2ty 2列为参数），则直线的斜率为（D）223A .B .CD3322.下列在曲线3.将参数方程A.4、A.方程一个定点二、填空题x5.直线y

11、x si n2y cos（为参数）上的点是（B ）sin2 sin2.2sin2(24tx3)2ty5t2C . (2, . 3) D . (13)为参数）化为普通方程为（C 一个椭圆2(0 y 1)0 （t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）C.一条抛物线D .一条直线4t（t为参数）的斜率为5tttx e e6 参数方程t t仇为参数）的普通方程为。y 2（et e t）x 1 3t7 已知直线 h：（t为参数）与直线l2 ：2x 4y 5相交于点 B，又点y 2 4tA（1,2），则 AB _0.5_x 2 cos.,丁8、已知.（为参数），则（x 5） （y 4）的最大值是6。y

12、sin-9.曲线x210 .直线xx cosy2 2y的一个参数方程为（为参数）y 1 sin2%会癞被圆x2y24截得的弦长为 両2（t为参数）1 S2三、解答题11. （ 2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4 4;坐标系与参数方程x= 2cos 6已知曲线C的参数方程是y = 3sm（ 6为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 p =2.正方形ABCD的顶点都n在C上，且A B、C、D以逆时针次序排列，点 A的极坐标为（2 ,）.（I ）求点A B C、D的直角坐标;（n ）设P为G上任意一点，求|PA| 2+ |PB| 2 + |PC| 2+ |PD| 2的取值范围。54（23）解：（I）依题意，点A, B , C , D的极坐标分别为（2,）、（2, 5 ）、（2, 4 ）、363116).所以点A, B , C , D的直角坐标分别为（1, 3）、（3,1）、（ 1,3）、（ 3, 1）；2 2 2 2(n)设 P