一道美国数学奥赛试题的几个推广定理

1、一道美国数学奥赛试题的几个推广定理美国数学奥赛试题第五题为：设a、b、c为正实数，证明(a5-a2+3)( b5-b2+3)( c5-c2+3)(a+b+c)3日前，关于这道第33届美奥数学试题虽有种种推广，但是对于如下问题：1 (a6-a2+4) (b6-b2+4) (c6-c2+4) (d6-d2+4) (a+b+c)4 2 (a7-a3+4) (b7-b3+4) (c7-c3+4) (d7-d3+4) (a+b+c+d)4 等等。它们都显得很无力解决，本文旨在借助均值不等式及一类不等式，对美奥赛数学试题（*）证明其几个推广定理，同时将指出：（*）、 1、2乃是本文的特殊情形，颇为新颖和有

2、趣。引理1：设ai0,(i=1.2.3n)则a1n+(n-1)a2n+(n-1)ann+(n-1)(a1+a2+an)n证明：因ai0 (i=1.2.3n)，由均位不等式可知： a1n a1n+(n-1) + 1 a2n+(n-1) + 1 ann+(n-1) na1 ann+(n-1) 1 a1n+(n-1) + a2n a2n+(n-1) + 1 ann+(n-1) na2 ann+(n-1) 1 a1n+(n-1) + 1 a2n+(n-1) + an ann+(n-1) na1 ann+(n-1) (n) 由上面 至 共n 个不等式相加即得。 ann+(n-1) a1+a2+an 将其

3、两边同乘以n次方即得 ain+(n-1)(a1+a2+an)n即a1n+(n-1)a2n+(n-1)ann+(n-1)(a1+a2+an)n引理2：设ai0,(i=1.2.3n)则( ain+2- ai2+n) ain+(n-1)证明：因a:0 (i=1、2、3n)又因（ain+2- ai2+n）-(ain+n-1) = ain+2- ai2-ain +1 = ai2(ain-1)-( ain-1) =( ai2-1)( ain-1)=( ai-1)2(ai+1)( ain-1+ ain-2+1) 0 故 ain+2- ai2+nain +(n-1) 由可知 ( ain+2- ai2+n) a

4、in +(n-1) 定理1：设ai0,(i=1.2.3n)则 ( ain+2- ai2+n) (a1+a2+an)n证明：因 ai0,(i=1.2.3n)由引理1可知：ain+(n-1)(a1+a2+an)n 由引理2可知：( ain+2- ai2+n) ain +(n-1) 由、可知：( ain+2- ai2+n) (a1+a2+an)n特别是当n=3.4.5时，应用定理1可得如下结果，即：推论一：设ai0,(i=1.2.3n)，当n=3时，则(a15-a12+3) (a25-a22+3) (a35-a32+3) (a1+a2+a3)3推论二：设ai0,(i=1.2.3n)，当n=4时，则(

5、a16-a12+4) (a26-a22+4) (a36-a32+4) (a46-a42+4) (a1+a2+a3+a4)4推论三：设ai0,(i=1.2.3n)，当n=5时，则 (a17-a12+5) (a27-a22+5) (a37-a32+5) (a47-a42+5) (a57-a52+5) (a1+a2+a3+a4+a5)4应当指出的是，这里推论一即是美奥数学试题（*），可见本文定理乃是其推广定理。这里推论二即是本文开头提出问题(1)之解答引理3：设ai0,(i=1.2.3n)( ai2n-1- ain-1+n) ain +(n-1) 证明：因ai0,(i=1.2.3n) 又因( ai2

6、n-1- ain-1+n)ain+(n-1) = ai2n-1- ain-1- ain +1= ain-1(ain-1)-( ain-1) =( ain-1-1)( ain-1) =( ai-1)2( ain-2+ ain-3+1) ( ain-1+ ain-2+1) 0 所以 ai2n-1- ain-1+nain+(n-1) 由可知：( ai2n-1- ain-1+n) ain +(n-1) 定理2：设ai0,(i=1.2.3n)则 ( ai2n-1- ain-1+n) (a1+a2+an)n证明：因ai0,(i=1.2.3n)由引理3可知：( ai2n-1- ain-1+n) ain +(

7、n-1) 由引理1可知：ain +(n-1) (a1+a2+an)n 再由、得：( ai2n-1- ain-1+n)(a1+a2+an)n 特别是当n=3.4.5时，应用定理2可得如下结果即推论一：设a1,a2,a30则(a15-a12+3) (a25-a22+3) (a35-a32+3) (a1+a2+a3)3推论二：设a1,a2,a3 ,a4 0则(a17-a13+4) (a27-a23+4) (a37-a33+4) (a47-a43+4) (a1+a2+a3+a4)4推论三：设a1,a2,a3 ,a4 ，a50则 (a19-a14+5) (a29-a24+5) (a39-a34+5) (

8、a49-a44+5) (a59-a54+5) (a1+a2+a3+a4+a5)5应当指出的是，这里推论一即是美奥数学试题（*），可见本文定理乃是（*）推广定理。这里推论二即是本文开头提出问题(2)的解答定理3：设ai0,(i=1.23m)则 ( ai6m-1- ai3m-1+3m) (a1+a2+a3m)3m证明：因ai0,(i=1.2.3n)由定理2可知：( ai2n-1- ain-1+n)(a1+a2+an)n 令n=3m,则有：( ai6m-1- ai3m-1+3m) (a1+a2+a3m)3m需要指出的是，定理3亦可视为定理2的一个推论。定理4：设ai0,(i=1.23m) 则 ( a

9、i5m- ai2m+3m) (a1+a2+a3m)3m证明：因ai0,(i=1.2.3n)由引理1可知：( ain+n-1)(a1+a2+an)n 令n=3m,则有：( ai3m +3m-1) (a1+a2+a3m)3m 再则，由于 ( ai5m- ai2m+3m)( ai3m +3m-1)ai5m- ai2m - ai3m+1ai2m(ai3m-1)-( ai3m-1) ( ai3m-1)( ai2m-1) (aim-1)2(ai2m+aim+1)( aim+1) 0 由可知：ai5m- ai2m+3mai3m +3m-1 由可知：( ai5m- ai2m+3m)( ai3m +3m-1)由、可得( ai5m- ai2m+3m)(a1+a2+a3m)3m于是定理4获证。 尚需指出的是，定理4在数学通讯2006（13）曾有过证明，不过其证明在分解因式方面存在一定的缺点，仅此而已，这里本文给出了定理4的新的证明，更为有趣。 综上所述，本文中定理1至定理4这四个定理即是美国第33届数学奥林匹克第5题的四个推广定理，尚需指出的是，这里所用到的三个引理亦可作为公式应用后