第四节二项式定理、概率、数学归纳法

1、数学奥林匹克题解第二章 代 数第四节 二项式定理、概率、数学归纳法 B4-001 求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2展开式里的x2的系数【题说】1963年北京市赛高三一试题3【解】因为（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2所以展开式中x2的系数为【别解】x2的系数为B4-002 设f是具有下列性质的函数：（1）f（n）对每个正整数n有定义；（2）f（n）是正整数；（3）f（2）=2；（4）f（mn）=f（m）f（n），对一切m，n成立；（5）f（m）f（n），当mn时试证：f（n）=n【题说】第一届（1969年）加拿大数学奥林匹克题8【证】先用数学

2、归纳法证明f（2k）=2k（k=1，2，）事实上，由（3），k=1时，f（2）=2成立假设k=j成立，则由（4）f（2j+1）=f（22j）=f（2）f（2j）=22j=2j+1故对所有自然数k，f（2k）=2k现考虑自然数n=1由（5）函数f的严格递增性知：f（2）=2f（1）由（2），f（1）=1再考虑自然数n：2kn2k+1由（5）有2k=f（2k）f（2k+1）f（2k+2）f（2k+1-1）f（2k+1）=2k+1，故必有f（2k+1）=2k+1，f（2k+2）=2k+2，f（2k+1-1）=2k+1-1综上所述，对任何正整数n，都有f（n）=nB4-003 证明：对任何自然数n，一

3、定存在一个由1和2组成的n位数，能被2n整除【题说】第五届（1971年）全苏数学奥林匹克八年级题1【证】用归纳法（1）当n=1时，取该数为2即可；（2）设A=2nB是一个能被2n整除的n位数，则210n+A和110n+A中必有一个能被2n+1整除从而，命题得证B4-004 假设一个随机数选择器只能从1，2，9这九个数字中选一个，并且以等概率作这些选择，试确定在n次选择（n1）后，选出的n个数的乘积能被10整除的概率【题说】第一届（1972年）美国数学奥林匹克题3【解】要使n个数之积被10整除，必须有一个数是5，有一个数是偶数n次选择的方法总共有9n种，其中A每一次均不取5的取法，有8n种；B每

4、一次均不取偶数的取法，有5n种；C每一次均在1，3，7，9中取数的方法有4n种，显然C中的取法既包含于A，也包含于B，所以，取n个数之积能被10整除的概率是B4-005 一副纸牌共有N张，其中有三张A，现随机地洗牌（假定纸牌一切可能的分布都有相等机会）然后从顶上开始一张接一张地翻牌，直至翻到第二张A出现为止求证：翻过的纸牌数的期望（平均）值是（N+1）/2【题说】第四届（1975年）美国数学奥林匹克题5【证】设三张A的序号分别是x1、x2、x3若将牌序颠倒过来，则第二张A的序号为N+1-x2在这两副纸牌中，第二张A的平均位置（即翻过的纸牌数的期望值）为x2+（N+1）-x2/2=（N+1）/2

5、【别证】由题设，除了第1张和最后一张外，其余各张皆可能是第2张A，且是等可能的因此第2张A所在序号的平均期望值是2+3+（N1）/（N-2）=（N+1）/2B4-006 某艘渔船未经允许在A国领海上捕鱼每撒一次网将使A国的捕鱼量蒙受一个价值固定并且相同的损失在每次撒网期间渔船被A国海岸巡逻队拘留的概率等于1/k，这里k是某个固定的正整数假定在每次撒网期间由渔船被拘留或不被拘留所组成的事件是与其前的捕鱼过程无关的若渔船被巡逻队拘留，则原先捕获的鱼全被没收，并且今后不能再来捕鱼船长打算捕完第n网后离开A国领海因为不能排除渔船被巡逻队拘留的可能性，所以捕鱼所得的收益是一个随机变量求n，使捕鱼收益的期

6、望值达到最大【题说】1975年1976年波兰数学奥林匹克三试题5这里是撒一次网的收益由（1）可知f（n）达到最大值B4-007 大于7公斤的任何一种整公斤数的重量都可以用3公斤和5公斤的两种砝码来称，而用不着增添其他不同重量的砝码试用数学归纳法加以证明【题说】1978年重庆市赛二试选作题1（3）数a，b，使得n=3a+5b事实上（1）当n=8，9，10，11时，不难验证命题成立（2）设k11并且当8nk时，命题成立，则当n=k时，由归纳假设k-3=3l+5m，m，n为非负整数所以 k=（k-3）+3=3l+5m+3=3（l+1）+5m故命题对k成立B4-008 给定三只相同的n面骰子，它们的对

7、应面标上同样的任意整数证明：如果随机投掷它们，那么向上的三个面上的数的和被3整除的概率大于或等于1/4【题说】第八届（1979年）美国数学奥林匹克题3【证】因为问题只涉及和是否被3整除，所以不妨假定，每个面上的数是被3除后的余数；0、1、2设每个骰子上标“0”的有a个，标“1”的有b个，标“2”的有c个这里a，b，c是适合下列条件的整数：0a，b，cn， a+b+c=n （1）随机地投掷三只骰子，总共有n3种等可能情形其中朝上三个数的和被3整除的情形有以下四种类型：0，0，0；1，1，1； 2，2，2；0，1，2第一类共有a3种，第二类共有b3种，第三类有c3种，第四类有3！abc=6abc种

8、因此，原问题转化为在条件（1）下，证明不等式即 4（a3+b3+c3+6abc）（a+b+c）3上式可化简为等价的不等式a3+b3+c3+6abca2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b （2）不妨设abc，则a3+b3+2abc-a2b-ab2-a2c-b2c=a2（a-b）+b2（b-a）+ac（b-a）+bc（a-b）=（a-b）（a2-b2-ac+bc）=（a-b）2（a+b-c）0， （3）c3+abc-c2a-c2b=bc（a-c）+c2（c-a）=c（a-c）（b-c）0 （4）（3）、（4）相加得a3+b3+c3+3abca2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b从而

9、（2）成立 B4-009 抛掷一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分试【题说】第十二届（1980年）加拿大数学奥林匹克题4【证】令得到n分的概率为Pn因为得不到n分的情况只可能是：先得n-1分，再掷出一次反面所以有由于 P1=1/2B4-010 某个国王的25位骑士围坐在一张圆桌旁他们中的三位被选派去杀一条恶龙（设三次挑选都是等可能的），令P是被挑到的三人中至少有两人是邻座的概率若P写成一个既约分数，其分子与分母之和是多少？【题说】第一届（1983年）美国数学邀请赛题7【解】选二相邻的骑士有25种方法再随着选第三位，有23种，故共有2523种方法但其中三者相邻的25种情况重复，应减去故因

10、此，所求之分子、分母之和为57【别解】所选3人分两种情况：3人皆相邻，或2人相邻、1人不邻，故有25+25（25-4）种B4-011 在给定的圆周上随机地选择A、B、C、D、E、F六点，这些点的选择是独立的，对于弧长而言是等可能的求ABC、DEF这两个三角形不相交（即没有公共点）的概率【题说】第十二届（1983年）美国数学奥林匹克题1【解】设圆周上给定6个点，从这6点中取3个点作为ABC的顶B4-012 一个园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵白桦树种成一行十二棵树的排列次序是随机的，每一种排列都是等可能的把没有两棵白桦树相邻的概率写成既约分数m/n试求m+n【题说】第二届（1984年）美国数学邀请

11、赛题11【解】先把三棵枫树和四棵橡树排好，有7！种排法，中间6个空所以，m+n=106为所求B4-013 设A、B、C、D是一个正四面体的顶点，每条棱长1米一只小虫从顶点A出发，遵照下列规则爬行：在每一个顶点相交的三条棱中选一条（三条棱选到的可能性相等），然后从这条棱爬到另一个点设小虫爬了7米路之后，又回到顶点A的概率为P=m/729，求m的值【题说】第三届（1985年）美国数学邀请赛题12【解】设从A出发走过n米回到A点的走法为an种由于从A出发走n-1米的走法共3n-1种，其中an-1种走到A的，下一步一定离开A除去这an-1种，其余的每一种都可以再走1米到达A点因此有an=3n-1-an

12、-1B4014 某商店有10台电视机，排成一排已知其中有三台是次品，如果我们对这批电视机作一次随机抽查，那么在前5台电视机中出现所有次品的概率是多少？【题说】1988年新加坡数学奥林匹克（A组）题9原题为选择题品的概率是B4015 把一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面朝上恰为一次的可能性不为0，而且与正面朝上恰为二次的概率相同令既约分数i/j为硬币在5次抛掷中有3次正面朝上的概率求i+j【题说】第七届（1989年）美国数学邀请赛题5【解】令r是掷一次硬币正面朝上的概率，则在n次投掷中k次正面朝上的概率为由已知，有由此得r=0，1或1/3但r=0，1都不可能，故r=1/3于是5次投掷3次正面朝上

13、的概率为因此 i+j=283B4016 n（n+1）/2个不同的数随机排成一个三角阵：设Mk是从上往下数第k行中的最大数，求M1M2Mn的概率【题说】第二十二届（1990年）加拿大数学奥林匹克题2【解】设所求概率为pn，显然p1=1，p2=2/3假设 pk=2k/（k+1）！对于n=k+1，最大数在最下一行的概率为因此，对所有自然数n，都有pn=2n/（n+1）！B4017 在吐姆巴利亚仅有总统与发言人两名诚实的人其它人均以概率p（0P1）说谎总统决定再次竞选，并告诉他身边的第一个人，这个人再告诉他身边的人，如此继续下去，直到这链上第n个人将总统的决定告诉发言人发言人在这以前未听到有关总统的决

14、定的信息，在n=19与n=20中，哪一种情况，发言人宣布的结果与总统决定相符的可能性较大？【题说】1990年匈牙利数学奥林匹克第二轮较高水平题1【解】设发言人宣布结果与总统决定相符的概率为Qn，则有递推公式Qn+1=P（1-Qn）+（1-P）Qn=P+（1-2P）Qn将n+1换为n得Qn=P+（1-2P）Qn-1所以Qn+1-Qn=（1-2P）（Qn-Qn-1）由于Q0=1，Q1=1-P，所以Qn+1-Qn=（1-2P）n（-P）时，Q20Q19B4018 某生物学家想要计算湖中鱼的数目，在5月1日他随机地捞出60条鱼并给它们做了记号，然后放回湖中在9月1日他又随机捞出70条鱼，发现其中有3条

15、有标记他假定5月1日时湖中的鱼有25在9月1日时已不在湖中了（由于死亡或移居），9月1日湖中40的鱼在5月1日时不在湖里（由于新出生或刚刚迁入湖中），并且在9月1日捞的鱼能代表整个湖中鱼的情况问5月1日湖中有多少条鱼？【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题6【解】设5月1日湖中有x条鱼因此x=840【注】题中条件25可改为任一百分数，不影响结果B4019 用二项式定理展开（1+0.2）1000，有（1+0.2）1000=A0+A1+A1000【题说】第九届（1991年）美国数学邀请赛题3比较Ak-1与AkB4020 有两串字母aaa与bbb要在电讯线上传送每一串都是一个一个字母地传送由于

16、设备的毛病，这些字母的每一个都以1/3的概率被错误地接收到，即该收到a的都收到b，该收到b的都收到a但每一个字母是否被正确收到与接收其他字母的状况互相独立以Sa记传送aaa时收到的一串3个字母，以Sb记传送bbb时收到的一串3个字母，按词典顺序，Sa在Sb之前的概率记为P，将P写成既约分数，它的分子是多少？【题说】第九届（1991年）美国数学邀请赛题10【解】设Sa=x1x2x3，Sb=y1y2y3因此所求的数是532B4021 一只抽屉内装有红袜子和蓝袜子，袜子至多有1991只现在的情况是：不放回地随机取两只袜子，它们都是红色或都是蓝色的概率恰为1/2，按此情况，抽屉中红袜子的数目最多可能是

17、几只？【题说】第九届（1991年）美国数学邀请赛题13【解】设红、蓝袜子数分别为x和y由已知，任取两只袜子其颜色不同的概率是1/2故有即 （x-y）2=x+y令n=x-y，则 n2=x+y1991B4022 一位网球选手的“赢率”是她赢的场数比参赛的场数在一个周末开始时，她的赢率恰好是0.500在这个周末期间她比赛了四场，赢了三场，输了一场，到这个周末结束时，她的赢率大于0.503在这个周末开始之前，她最多可能赢几场？【题说】第十届（1992年）美国数学邀请赛题3【解】设W是这网球运动员在周末开始时已赢的局数，M是她已若W=164，M=328，则W/M=0.500而（W+3）/（M+4）0.5

18、03因此，在周末开始前，这运动员最多可赢164场B4023 在贾宪-杨辉三角形中，每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形开头几行如下：在贾宪-杨辉三角形中的哪一行中会出现三个相邻的数，它们的比是345？【题说】第十届（1992年）美国数学邀请赛题4n组成如果第n行中有那么 3n-7k=-3，4n-9k=5解这个联立方程组，得k=27，n=62即第62行有三个相邻的数B4024 从集合1，2，3，1000中随机地、不放回地取出3个数a1、a2、a3，然后再从剩下的997个数中同样随机地、不放回地取出3个数b1、b2、b3令p为a1a2a3的砖能放在b1b2b3的盒子中的概率若将p写成既约分数

19、，那么分子和分母的和是多少？【题说】第十一届（1993年）美国数学邀请赛题7【解】不妨设a1a2a3，b1b2b3，当且仅当a1b1，a2b2，a3b3时砖可放入盒中设c1c2c3c4c5c6是从1，2，1000中选出的6个数，再从中选出3个有种方法这3个作为a1、a2、a3，剩下3个作为b1、b2、b3符合要求的a1只能是c1a2若为c2，则a3可为c3或c4或c5；a2若为c3，则求分子、分母的和为1+4=5B4024 从集合1，2，3，1000中随机地、不放回地取出3个数a1、a2、a3，然后再从剩下的997个数中同样随机地、不放回地取出3个数b1、b2、b3令p为a1a2a3的砖能放在

20、b1b2b3的盒子中的概率若将p写成既约分数，那么分子和分母的和是多少？【题说】第十一届（1993年）美国数学邀请赛题7【解】不妨设a1a2a3，b1b2b3，当且仅当a1b1，a2b2，a3b3时砖可放入盒中设c1c2c3c4c5c6是从1，2，1000中选出的6个数，再从中选出3个有种方法这3个作为a1、a2、a3，剩下3个作为b1、b2、b3符合要求的a1只能是c1a2若为c2，则a3可为c3或c4或c5；a2若为c3，则求分子、分母的和为1+4=5B4025 A和B轮流掷一个均匀的硬币，谁先掷出人头的一面谁获胜，他们玩了n次，而且前一场的输家下一场先掷若A第一场先掷，数码是什么？【题说

21、】第十一届（1993年）美国数学邀请赛题11【解】任一场比赛，先掷的人赢的概率为令Pk为A赢第k场比赛的概率，则P1=对k2，有所以，m+n=1093，其最后三个数码为093B4026 一种单人纸牌游戏，其规则如下：将6对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中抽牌并放回，不过当抽到成对的牌时，就将其放到一边，如果游戏者每次总取三张牌，若抽到的三张牌中两两互不成对，游戏就结束，否则抽牌继续进行直到书包中没【题说】第十二届（1994年）美国数学邀请赛题9【解】设书包中有n（2）对互不相同的牌，p（n）为按所说规则抽牌使书包空的概率则P（2）=1由于前三张牌中有两张成对的概率为所以，对n3，有反复利用这个递推公式，得当n=6时，有所以，p+q=9+385=394B4027 质点x按下列规则（1），（2）在p、q两点之间移动：（1）x在q处时，1秒后必移到p处；（2）x在p处时，1秒p处的概率【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题5【解】设n秒后x在p处的概率为pn，x在q处的概率为qn则B4028 在重复掷一枚均匀硬币的过程