线性连续系统的数学模型

1、第二章 线性连续系统的数学模型,描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。 线性系统的定义 系统可以用线性微分方程来描述（否则为非线性系统） 建立数学模型的方法： 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识,数学模型的定义,数学模型的形式 时间域： 微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统） 状态方程（连续、离散） 复数域：传递函数 结构图 频率域： 频率特性,例：电气系统三元件 1.在时域的表达,电阻,电容,电感,2.在复域的表达（拉氏变换

2、以后的表达形式,结构图,传递函数,或,或,或,3.在频域的表达,频率特性,幅频特性,相频特性,代入,1.1 动态微分方程的编写,一、绘制工作原理框图 二、列写出每个方框的数学表达 三、线性方程组的标准化 四、消去中间变量得数学模型,例1：角位置跟踪系统（随动系统,一、绘制工作原理框图,分析工作原理,工作原理框图,二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学表达,1.电位器桥,2.电压放大器,3.功率放大器,4.电枢控制直流伺服电动机,当电枢运动时电枢绕组中有反电势产生,电枢绕组的电势平衡方程,电枢电流与磁场相互作用而产生电磁转矩,电机转矩平衡方程,5.机械传动机构,两齿轮啮合点：

3、线速度相等 v1= v2；圆周力相等F1=F2,i 称为速比,因此，速比 i 为轴1和轴2之间互相折算的算子，齿轮系速比越大，负载的转动惯量和粘性摩擦系数折算到电机轴上的等效值就越小,多级齿轮系折算公式,角位置跟踪系统（随动系统）的线性方程组,三、线性方程组的标准化,输出量表达式=输入量表达式（降幂排列,四、消去中间变量得数学模型,例2：电阻、电容、电感串联网络,1.列写方程组,2.标准化,3.消去中间变量,系统的数学模型,或,输入,输出,输 出 响 应 曲 线,c(t,r(t,实验,小结：动态微分方程的编写方法,一、绘制工作原理框图 二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学

4、表达 三、线性方程组的标准化 四、消去中间变量得数学模型,1.2 传递函数,一、传递函数的定义 二、传递函数的意义,一、传递函数的定义,控制系统的微分方程式（上面得到的数学模型,初始条件为零情况下，对等式两边进行拉氏变换，得,写成：（输出量）=（系统函数)(输入量,传递函数定义,图形表达结构图,所以， s 域的系统数学模型表示为,传递函数的定义,零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比,传递函数是通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特点。若输入给定，系统的输出特性完全由传递函数G(S）决定,二、传递函数的意义,输入,输

5、出,例：电气元件,输入相同信号 u(t,输出信号 i(t,系统的固有特性决定了输入输出关系 输入输出关系描述了系统的固有特性,传递函数是复变量s的有理真分式。由于系统都具有惯性并且能源又是有限的缘故，必然 nm ；传递函数的各项系数均为实数，是因为各项系数都是由系统元件参数决定的，而元件参数只能是实数。 传递函数只取决于系统结构和元件参数，与外作用无关,传递函数是在初始条件为零情况下定义的。有两个含义，一是在 之前系统的系统的输入量及其各阶导数的值均为零；二是输入作用加入系统之前，系统是相对静止的，在 之前系统输出量及其各阶导数也为零,说明,传递函数是由线性定常微分方程的拉氏变换得来的，所以它

6、遵循线性系统的叠加性和齐次性,叠加性,齐次性,1.3 系统动态结构图的绘制,一、动态结构图的组成与绘制 二、结构图的等效变换和化简方法,原 理 图,结构图,动态微分方程,一、动态结构图的组成与绘制,定义：结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，是系统图解形式的动态数学模型,组成,信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的时间函数或象函数；函数的符号标记在箭头旁，正号可以省略。所以，信号线代表一个有大小、符号、量纲、方向的变量,相加点（求和点、比较点、综合点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减；有时“+”可以省略,方框：对信号进行

7、数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数之积， 即 C(s）= G(s）R(s,分支点（引出点、测量点）：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全一样。即 引用同一变量,例1,对该方程组进行拉氏变换并标准化：输出变量 = f (输入变量,画出各环节的结构图,联结各环节的结构图系统结构图,例2 角位置跟踪系统（随动系统,画出各环节的结构图,联结各环节的结构图系统结构图,小结：系统结构图绘制方法 对系统微分方程组进行拉氏变换并标准化； 按照信号传递方向画出各环节的结构图； 联结各环节的结构图得到系统结构图,例3 画出阻容网络

8、的结构图,说明,1.结构图是图解形式的数学模型，它脱离了物理系统的模型，形象直观地描述了各环节之间的关联关系,2.它更加明确描述了信号的传递方向（其方向与实际系统的物理量传递方向一致），并且把每一个元、部件的联接关系及互相作用的先后顺序及变换过程清晰的展现出来,4.系统结构图描述了系统中各元件之间的连接关系，即描述了系统的结构特点。所以，系统一旦被确定，系统的结构关系就被确定。通过对结构图的研究，便可了解具有相同结构图的各类系统的特点，从而简化了研究工作。 5.由于各元件之间存在着一定的关联关系，所以它们之间也存在着互相影响，即必须考虑负载影响,3.结构图的框并不能反映元、部件的结构特点（如：

9、电压放大器、功率放大器、直流伺服电机等），因此不同结构的元件可能具有相同形式的传递函数,不考虑负载影响的情况,按两元件串联关系没有考虑负载效应,考虑负载效应情况,二、结构图的等效变换和化简方法,结构图的等效变换对应于方程组的消元运算，它也有相应的等效变换规则（运算规则）；通过等效变换规则将系统结构图化简，得到系统的传递函数,1.结构图的运算规则1-方框的合并,串联结构的等效变换,并联结构的等效变换,反馈结构的等效变换,2.结构图的运算规则2-点的移动,相加点的移动,相加点后移,验证,应用线性系统的可叠加性,a）当B=0时，通道的传递函数相等,b）当R=0时，通道的传递函数相等,相加点前移,分支

10、点的移动,分支点后移,分支点前移,相邻的同类点之间可以互换位置,相加点之间可以互换、合并、分解,分之点之间可以互换、合并、分解,相邻的异类点之间互换位置要少用,结构图化简的基本方法：等效性 1.三种典型结构（并联、串联、反馈）可直接用公式； 2.同类点可以互换位置（如相加点向相加点方向移动）； 3.分支点与相加点相邻，尽量不要互换位置,例1】利用公式 用化简结构图法求系统传递函数Y(s)/R(s,G2 G3,H1+ H2,向同类移动,例2】相加点的移动,a,b,例3】同类点互换位置 分支点的移动与交换,例4】作用的分解,C(s,R(s,R(s,C(s,a,b,a,b,d,d,例5】求二阶低通滤

11、波器的传递函数Uc(s)/Ur(s,反馈,分支,相加,1.4 信号流程图,一、信号流程图的基本概念 二、常用术语 三、梅逊公式,信号流程图(简称信号流图)：它是用线来图解微分方程组的方法,设系统描述方程为,输入变量,输出变量,传递函数 及传递方向,一、基本概念,二、常用术语,节点：表示变量或信号的点，其值等于所有进入该节点的信号之和,支路：支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递,源点：只有输出没有输入的节点。它一般表示系统的输入变量，也称输入节点,汇点：只有输入的节点，代表系统的输出变量。也称输出节点,混合

12、节点：既有输入支路，又有输出支路的节点,前向通路:从源节点开始到汇节点终止，并且任何节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用Tk表示,闭通路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示,不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路,三、梅逊公式,系统传函,第k条前向通路传递函数,在中除去与Tk通路相接触的各回路传函，称为第Tk通路的余子式,例1】求图示信号流图的系统传递函数,一个前向通路：RabcdCC,三个单独回路,没有互不接触回路,特征式,各回路都与T1通路接触,例2】多条前向通道的情况,三条前向通道,四

13、个回路,1,af,bg,ch,ehgf,afch,abcd,ed,1bg,例3】直接 列写传递函数,用梅逊公式化简结构图,例 系统的动态结构图如图所示，求 闭环传递函数,解,系统有5个回路，各回路的传递函数为,L1,L1 = G1G2H1,L2,L2 = G2G3H2,L3,L3 = G1G2G3,L4,L4 = G1G4,L5,L5 = G4H2,= 1+ G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3 + G1G4 + G4H2,P1 = G1G2G3,1= 1,P2 = G1G4,2= 1,将 、Pk 、k代入梅逊公式得传递函数,L1,L2,L3,例 求系统的闭环传递函数,解,L1 = G3H1,L2 = G1H1,L3 = G1G2,P1 = G1G2,1= 1 G3H1,= 1 + G1G2 + G1H1 G3H1,L5