2020届山东高三理科数学一轮复习课件第十一章§112二项式定理

1、高考数学,山东专用,11.2,二项式定理,A,组,山东省卷、课标卷题组,考点,二项式定理及应用,五年高考,1,2017,山东,11,5,分,已知,1+3,x,n,的展开式中含有,x,2,项的系数是,54,则,n,答案,4,解析,本题主要考查二项展开式,1+3,x,n,的展开式的通项,T,r,1,3,r,x,r,含有,x,2,项的系数为,3,2,54,n,4,C,r,n,2,C,n,2,2016,山东,12,5,分,若,的展开式中,x,5,的系数是,80,则实数,a,5,2,1,ax,x,答案,2,解析,T,r,1,a,5,r,令,10,r,5,解之得,r,2,所以,a,3,-80,所以,a,-

2、2,5,C,r,5,10,2,r,x,5,2,2,5,C,3,2014,山东,14,5,分,若,的展开式中,x,3,项的系数为,20,则,a,2,b,2,的最小值为,6,2,b,ax,x,答案,2,解析,T,r,1,ax,2,6,r,a,6,r,b,r,x,12-3,r,令,12-3,r,3,则,r,3,a,3,b,3,20,即,ab,1,a,2,b,2,2,ab,2,即,a,2,b,2,的最小值为,2,6,C,r,r,b,x,6,C,r,3,6,C,评析,本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用,考查学生推理论证及运算求解能力,B,组,课标卷、其他自主命题省,区、市,卷题组,考点,二项式定理

3、及应用,1,2019,课标全国理,4,5,分,(1+2,x,2,(1,x,4,的展开式中,x,3,的系数为,A.12,B.16,C.20,D.24,答案,A,本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公,式的运用能力,考查了数学运算的核心素养,1,x,4,的二项展开式的通项为,T,k,1,x,k,k,0,1,2,3,4,故,1+2,x,2,(1,x,4,的展开式中,x,3,的系数为,2,12,故选,A,4,C,k,3,4,C,1,4,C,解题关键,掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键,2,2018,课标全国,5,5,分,的展开式中,x,4,的系

4、数为,A.10,B.20,C.40,D.80,5,2,2,x,x,答案,C,本题考查二项式定理,的展开式的通项,T,r,1,x,2,5,r,2,x,1,r,2,r,x,10-3,r,令,10-3,r,4,得,r,2,所以,x,4,的系数为,2,2,4,0,故选,C,5,2,2,x,x,5,C,r,5,C,r,2,5,C,3,2017,课标全国,6,5,分,1,x,6,展开式中,x,2,的系数为,A.15,B.20,C.30,D.35,2,1,1,x,答案,C,本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数,有关问题的能力和运算求解能力,解法一,1,x,6,1,1,x,6

5、,1,x,6,1,x,6,的展开式中的,x,2,的系数为,15,1,x,6,的展,开式中的,x,2,的系数为,15,所以所求展开式中,x,2,的系数为,15+15=30,解法二,因为,1,x,6,所以,1,x,6,展开式中,x,2,的系数等于,1,x,2,(1,x,6,展开式中,x,4,的系数,而,1,x,2,(1,x,6,展开式中,x,4,的系数为,30,故,1,x,6,展开式中,x,2,的,系数为,30,解法三,因为,1,x,6,所以,1,x,6,展开,式中,x,2,的系数为,2,30,故选,C,2,1,1,x,2,1,x,2,6,C,2,1,x,4,6,C,2,1,1,x,2,6,2,1

6、,(1,x,x,x,2,1,1,x,4,6,C,2,6,C,2,1,1,x,2,1,1,x,2,6,6,2,1,2,(1,2,1,x,x,x,x,x,x,8,2,1,x,x,6,2(1,x,x,2,1,1,x,4,8,C,3,6,C,方法总结,对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏,4,2017,课标全国,4,5,分,x,y,(2,x,y,5,的展开式中,x,3,y,3,的系数为,A.-80,B.-40,C.40,D.80,答案,C,本题考查二项式定理,求特定项的系数,2,x,y,5,的展开式的通项为

7、,T,r,1,2,x,5,r,y,r,(-1,r,2,5,r,x,5,r,y,r,其中,x,2,y,3,项的系数为,1,3,2,2,-4,0,x,3,y,2,项的系数为,1,2,2,3,80,于是,x,y,(2,x,y,5,的展开式中,x,3,y,3,的系数为,40+80=40,5,C,r,5,C,r,3,5,C,2,5,C,5,2015,陕西,4,5,分,二项式,x,1,n,n,N,的展开式中,x,2,的系数为,15,则,n,A.4,B.5,C.6,D.7,答案,C,因为,x,1,n,的展开式中,x,2,的系数为,所以,15,即,15,亦即,n,2,n,30,解得,n,6,n,-5,舍,2,

8、C,n,n,2,C,n,n,2,C,n,6,2015,课标全国,10,5,分,x,2,x,y,5,的展开式中,x,5,y,2,的系数为,A.10,B.20,C.30,D.60,答案,C,x,2,x,y,5,x,2,x,y,5,的展开式中只有,x,2,x,3,y,2,中含,x,5,y,2,易知,x,5,y,2,的系数为,30,故选,C,2,5,C,2,5,C,1,3,C,7,2019,天津理,10,5,分,的展开式中的常数项为,8,3,1,2,8,x,x,答案,28,解析,本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从,而体现运算法则及运算对象选择的素养要素,二项展

9、开式的通项公式为,T,k,1,2,x,8,k,(-1,k,2,8,k,2,3,k,x,8-4,k,(-1,k,2,8-4,k,x,8-4,k,令,8-4,k,0,得,k,2,即,T,3,(-1,2,2,0,28,故常数项为,28,8,C,k,3,1,8,k,x,8,C,k,8,C,k,2,8,C,2,8,C,解题关键,熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键,8,2019,浙江,13,6,分,在二项式,x,9,的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个,数是,2,答案,16,5,2,解析,本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中,的特定项,以此考查学生数学运算

10、的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力,x,9,展开式的通项,T,r,1,9,r,x,r,x,r,r,0,1,2,9,令,r,0,得常数项,T,1,x,0,16,要使系数为有理数,则只需,Z,则,r,必为奇数,满足条件的,r,有,1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是,5,2,9,C,r,2,9,C,r,9,2,2,r,0,9,C,9,2,2,9,2,2,2,9,2,r,解后反思,二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特,点列方程确定,r,的值,进而可求解特定项,9,2018,浙江,14,4,分,二项式,的展开式的常数项是,8,3,1

11、,2,x,x,答案,7,解析,本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算,的展开式的通项,T,k,1,x,k,要使,T,k,1,为常数,则,0,k,2,此时,T,3,7,故展开式的常数项为,7,8,3,1,2,x,x,8,C,k,8,3,k,x,1,2,k,1,2,k,8,C,k,8,4,3,k,x,8,4,3,k,2,1,2,2,8,C,思路分析,1,求出二项展开式的通项,2,令通项中,x,的指数为,0,得,k,的值,3,计算此时的,T,k,1,10,2018,天津,10,5,分,在,的展开式中,x,2,的系数为,5,1,2,x,x,答案,5,2,解析,本题主要考查二项展开式特定项的系

12、数,由题意得,T,r,1,x,5,r,令,5,2,得,r,2,所以,故,x,2,的系数为,5,C,r,1,2,r,x,1,2,r,5,C,r,3,5,2,r,x,3,2,r,1,2,r,5,C,r,2,1,2,2,5,C,5,2,5,2,方法总结,求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项,T,r,1,a,n,r,b,r,进行求解,C,r,n,11,2017,浙江,13,6,分,已知多项式,x,1,3,x,2,2,x,5,a,1,x,4,a,2,x,3,a,3,x,2,a,4,x,a,5,则,a,4,a,5,答案,16;4,解析,本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算

13、求解能力,设,x,1,3,x,3,b,1,x,2,b,2,x,b,3,x,2,2,x,2,c,1,x,c,2,则,a,4,b,2,c,2,b,3,c,1,1,2,2,2,1,3,2=16,a,5,b,3,c,2,1,3,2,2,4,2,3,C,1,2,C,12,2016,天津,10,5,分,的展开式中,x,7,的系数为,用数字作答,8,2,1,x,x,答案,56,解析,T,r,1,x,16-2,r,x,r,(-1,r,x,16-3,r,令,16-3,r,7,得,r,3,所以,x,7,的系数为,1,3,-56,8,C,r,8,C,r,3,8,C,13,2016,课标全国,14,5,分,(2,x,

14、5,的展开式中,x,3,的系数是,用数字填写答案,x,答案,10,解析,T,r,1,2,x,5,r,r,2,5,r,令,5,3,得,r,4,T,5,10,x,3,x,3,的系数为,10,5,C,r,x,5,C,r,5,2,r,x,2,r,14,2015,课标全国,15,5,分,a,x,(1,x,4,的展开式中,x,的奇数次幂项的系数之和为,32,则,a,答案,3,解析,设,f,x,a,x,(1,x,4,则其展开式的所有项的系数和为,f,1),a,1,1+1,4,a,1,16,展开,式中,x,的奇数次幂项的系数之和为,f,1),f,1,又,f,1)=0,a,1,16=32,a,3,1,2,1,2

15、,方法总结,1,求展开式中项的系数之和关键是给字母赋值,所赋的值需根据待求展开式中项,的系数之和的特征来确定,2,若,f,x,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,n,x,n,则所有项的系数之和为,f,1,奇次项的系数之和为,f,1),f,1,偶,次项的系数之和为,f,1),f,1,1,2,1,2,15,2019,江苏,22,10,分,设,1,x,n,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,n,x,n,n,4,n,N,已知,2,a,2,a,4,1,求,n,的值,2,设,1,n,a,b,其中,a,b,N,求,a,2,3,b,2,的值,2,3,a,3,3,解析,本小题主要考查二项式定理、组合数等

16、基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,1,因为,1,x,n,x,x,2,x,n,n,4,所以,a,2,a,3,a,4,因为,2,a,2,a,4,所以,2,解得,n,5,2,由,1,知,n,5,1,n,(1,5,2,3,4,5,a,b,解法一,因为,a,b,N,所以,a,3,9,76,b,3,9,44,0,C,n,1,C,n,2,C,n,C,n,n,2,C,n,1,2,n,n,3,C,n,1,2,6,n,n,n,4,C,n,1,2,3,24,n,n,n,n,2,3,a,2,1,2,6,n,n,n,1,2,n,n,1,2,3,24,n,n,n,n,3,3,0,5,C,1,5,C,3,2,5,C

17、,3,3,5,C,3,4,5,C,3,5,5,C,3,3,0,5,C,2,5,C,4,5,C,1,5,C,3,5,C,5,5,C,从而,a,2,3,b,2,76,2,3,44,2,-32,解法二,1,5,2,3,4,5,2,3,4,5,因为,a,b,N,所以,1,5,a,b,因此,a,2,3,b,2,a,b,a,b,(1,5,1,5,(-2,5,-32,3,0,5,C,1,5,C,3,2,5,C,3,3,5,C,3,4,5,C,3,5,5,C,3,0,5,C,1,5,C,3,2,5,C,3,3,5,C,3,4,5,C,3,5,5,C,3,3,3,3,3,3,3,C,组,教师专用题组,考点,二项

18、式定理及应用,1,2015,湖南,6,5,分,已知,的展开式中含,的项的系数为,30,则,a,A,B.,C.6,D.-6,5,a,x,x,3,2,x,3,3,答案,D,的展开式的通项为,T,r,1,5,r,(,a,r,依题意,令,5-2,r,3,得,r,1,a,1,30,a,-6,故选,D,5,a,x,x,5,C,r,x,r,a,x,5,C,r,5,2,2,r,x,1,5,C,2,2014,湖南,4,5,分,的展开式中,x,2,y,3,的系数是,A.-20,B.-5,C.5,D.20,5,1,2,2,x,y,答案,A,展开式的通项为,T,k,1,2,y,k,(-1,k,2,2,k,5,x,5,

19、k,y,k,令,5,k,2,得,k,3,则展开式中,x,2,y,3,的系数为,1,3,2,2,3-5,-20,故选,A,5,C,k,5,1,2,k,x,5,C,k,3,5,C,3,2015,北京,9,5,分,在,2,x,5,的展开式中,x,3,的系数为,用数字作答,答案,40,解析,2,x,5,的展开式的通项为,T,r,1,2,5,r,x,r,r,0,1,5,则,x,3,的系数为,2,2,40,5,C,r,3,5,C,4,2015,安徽,11,5,分,的展开式中,x,5,的系数是,用数字填写答案,7,3,1,x,x,答案,35,解析,展开式的通项为,T,k,1,x,3,7,k,x,k,x,21

20、-4,k,令,21-4,k,5,得,k,4,则展开式中,x,5,的系数为,35,7,C,k,7,C,k,4,7,C,5,2015,四川,11,5,分,在,2,x,1,5,的展开式中,含,x,2,的项的系数是,用数字填写答案,答案,40,解析,T,r,1,2,x,5,r,1,r,(-1,r,2,5,r,x,5,r,令,5,r,2,则,r,3,所以含,x,2,的项的系数是,40,5,C,r,5,C,r,6,2015,福建,11,4,分,x,2,5,的展开式中,x,2,的系数等于,用数字作答,答案,80,解析,T,r,1,x,5,r,2,r,r,0,1,5,令,5,r,2,得,r,3,所以,x,2,

21、的系数为,2,3,80,5,C,r,3,5,C,7,2014,大纲全国,13,5,分,的展开式中,x,2,y,2,的系数为,用数字作答,8,x,y,y,x,答案,70,解析,T,r,1,(-1,r,令,得,r,4,所以展开式中,x,2,y,2,的系数为,1,4,70,8,C,r,8,r,x,y,r,y,x,8,C,r,16,3,2,r,x,3,8,2,r,y,16,3,2,2,3,8,2,2,r,r,4,8,C,8,2014,安徽,13,5,分,设,a,0,n,是大于,1,的自然数,的展开式为,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,n,x,n,若点,A,i,i,a,i,i,0,1,2,的位置

22、如图所示,则,a,1,n,x,a,答案,3,解析,根据题意知,a,0,1,a,1,3,a,2,4,结合二项式定理得,即,解得,a,3,1,2,2,1,C,3,1,C,4,n,n,a,a,3,8,1,3,n,a,n,a,A,组,2017,2019,年高考模拟考点基础题组,考点,二项式定理及应用,三年模拟,1,2018,广东肇庆三模,8,已知,1,ax,(1,x,5,的展开式中,x,2,的系数为,5,则,a,A.1,B.2,C.-1,D.-2,答案,A,1,ax,(1,x,5,(1,ax,(1+5,x,10,x,2,10,x,3,5,x,4,x,5,其展开式中,x,2,的系数为,10-5,a,5,

23、解得,a,1,故选,A,一题多解,展开式中含,x,2,的项为,x,2,(,ax,x,10,x,2,5,ax,2,(10-5,a,x,2,展开式中,x,2,的系数为,10-5,a,5,a,1,2,5,C,1,5,C,2,2018,河南信阳二模,7,x,2,1,的展开式中的常数项是,A.5,B.-10,C.-32,D.-42,5,1,2,x,答案,D,由于,的通项为,2,r,2,r,故,x,2,1,的展开式的常,数项为,2),2,5,-42,故选,D,5,1,2,x,5,C,r,5,1,r,x,5,C,r,5,2,r,x,5,1,2,x,1,5,C,5,5,C,3,2019,山东日照模拟,13,若

24、,的展开式中第,5,项为常数,则,n,等于,2,n,x,x,答案,12,解析,的展开式的通项为,T,k,1,因为第五项为常数项,所以,4=0,解得,n,12,2,n,x,x,C,k,n,n,k,x,2,k,x,4,2,n,4,2019,山东济南外国语学校模拟,13,已知,1,x,n,的展开式中各项系数之和为,256,则展开式中,含,x,2,项的系数为,答案,28,解析,由题意,令,x,1,得展开式中各项系数之和为,2,n,256,解得,n,8,所以,1,x,n,(1,x,8,其展开式的通项为,T,r,1,x,r,取,r,2,得展开式中含,x,2,项的系数为,28,8,C,r,2,8,C,名师点

25、睛,本题考查二项式的通项和各项系数之和,其中熟记二项展开式的通项是解答的,关键,5,2017,山东德州一模,14,在,的展开式中二项式系数之和为,128,则展开式中含,x,项的系,数为,3,2,n,x,x,答案,14,解析,由题意得,2,n,128,解得,n,7,其展开式的通项为,T,r,1,7,r,2,r,令,1,得,r,1,展开式中含,x,项的系数为,2,-14,3,2,n,x,x,7,3,2,x,x,7,C,r,3,x,2,r,x,7,C,r,7,4,3,r,x,7,4,3,r,1,7,C,6,2017,山东日照一模,14,设,a,0,a,1,x,2,a,2,x,4,a,5,x,10,则

26、,a,3,的值为,2,5,2,1,x,答案,80,解析,由题意可得,a,3,的值即为,x,6,的系数,故在,a,0,a,1,x,2,a,2,x,4,a,5,x,10,的通项中,令,r,2,即,可求得,a,3,2,3,80,2,5,2,1,x,2,5,C,7,2019,山东临沂质检,14)(2,x,y,x,2,y,5,的展开式中,x,3,y,3,的系数为,答案,120,解析,由题意可得,2,x,y,x,2,y,5,2,x,x,2,y,5,y,x,2,y,5,所以展开式中,x,3,y,3,的系数为,2,2,3,2,2,-120,所以,2,x,y,x,2,y,5,的展开式中,x,3,y,3,的系数为

27、,120,3,5,C,2,5,C,B,组,2017,2019,年高考模拟专题综合题组,时间,15,分钟,分值,35,分,一、选择题,每小题,5,分,共,20,分,1,2018,广东广州一模,8,已知二项式,的展开式中所有二项式系数之和等于,128,则其,展开式中含,项的系数是,A.-84,B.-14,C.14,D.84,2,1,2,n,x,x,1,x,答案,A,由二项式,的展开式中所有二项式系数之和是,128,得,2,n,128,即,n,7,其展开式的通项为,T,r,1,2,x,2,7,r,(-1,r,2,7,r,x,14-3,r,令,14-3,r,-1,得,r,5,展开式中含,项的系数是,4

28、,-84,故选,A,2,1,2,n,x,x,2,1,2,n,x,x,7,2,1,2,x,x,7,C,r,1,r,x,7,C,r,1,x,5,7,C,思路分析,先求出,n,的值,进而写出二项展开式的通项,令,x,的指数为,1,得,r,的值,则答案可求,2,2018,安徽马鞍山二模,10,二项式,的展开式中只有第,11,项的二项式系数最大,则,展开式中,x,的指数为整数的项的个数为,A.3,B.5,C.6,D.7,3,1,3,n,x,x,答案,D,根据,的展开式中只有第,11,项的二项式系数最大,得,n,20,的展开式的通项为,T,r,1,x,20,r,20,r,要使,x,的指数是整数,需,r,是

29、,3,的倍,数,r,0,3,6,9,12,15,18,x,的指数是整数的项共有,7,项,故选,D,3,1,3,n,x,x,3,1,3,n,x,x,20,C,r,3,3,1,r,x,3,20,C,r,4,20,3,r,x,思路分析,根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出,n,的值,再利用展开式的通项求得,x,的指数是整数的项数,规律总结,a,b,n,的展开式中二项式系数最大问题的处理依据,若,n,为偶数,则第,项的二,项式系数最大,为,若,n,为奇数,则第,项的二项式系数最大,为,1,2,n,2,C,n,n,1,2,n,3,2,n,1,2,C,n,n,1,2,C,n,n,3,2019,山东桓

30、台一中诊断,9,x,3,2,的展开式中,x,3,的系数是,A.90,B.-90,C.15,D.-15,6,1,x,x,答案,B,x,3,2,x,2,6,x,9,而,展开式的通项为,T,r,1,x,6,r,(-1,r,x,6-2,r,因而,x,3,的系数为,6,1,2,-90,故选,B,6,1,x,x,6,C,r,1,r,x,6,C,r,2,6,C,4,2019,山东省实验中学二诊,9,的展开式中,x,2,的系数为,A.-45,B.-15,C.15,D.45,6,2,1,1,x,x,答案,B,由题得,则展开式的通项为,T,r,1,1,r,1,r,对于二项式,设其通项为,U,k,1,x,6,r,k,x,6,r,3,k,令,6,r,3,k,2,得,r,3,k,4,又,r,k,N,所以方程的解为,r,1,k,1,或,r,4,k,0,所以,的展开式中,x,2,的系数为,1,1,1,4,-15,故选,B,6,2,1,1,x,x,6,2,1,1,x,x,6,C,r,6,2,1,r,x,x,6,C,r,6,2,1,r,x,x,6,2,1,r,x,x,6,C,k,