北师大版高中数学导数应用中的高考热点问题名师精编检测卷

1、名校名 推荐热点探究训练 (一)导数应用中的高考热点问题1(2015 庆高考重)设函数 f (x)3x2 axx(aR)e(1)若 f (x)在 x 0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y f (x) 在点 (1，f (1)处的切线方程；(2)若 f (x)在 3， )上为减函数，求a 的取值范围解 (1)对 f (x)求导得 f (x)6xa ex 3x2 ax exex 2 3x2 6a xax.2 分e因为 f (x)在 x 0 处取得极值，所以 f (0)0，即 a 0.当 a 0 时，f (x)3x23x26x3(1)3x， (x)x，f ，从而 f (x)efe，故 f (1

2、)ee33在点 (1，f (1)处的切线方程为y e e(x1)，化简得 3x ey0.5 分 3x2 6a xa(2)由 (1)知 f (x)ex，令 g(x) 3x2(6 a)x a，由 g(x)0 解得 x16a a2 36 236，x26 aa.7 分66当 xx1 时， g(x)0，即 f (x)0，故 f (x)为减函数；当 x1x0，即 f (x)0，故 f (x)为增函数；当 xx2 时， g(x)0，即 f (x)0，故 f (x)为减函数 .9 分6a a2 369由 f (x)在3， )上为减函数，知 x263，解得 a2.故a 的取值范围为 9， .12 分22已知函数

3、 f (x)ex(x2 axa)，其中 a 是常数1名校名 推荐(1)当 a1 时，求曲线 y f (x)在点 (1，f (1)处的切线方程；(2)若存在实数 k，使得关于 x 的方程 f (x)k 在 0， )上有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围【导学号 ：66482129】解 (1)由 f (x)ex(x2 axa)可得f (x) exx2(a 2)x.2 分当 a 1 时， f (1) e， f (1)4e.所以曲线 yf (x)在点 (1， f (1)处的切线方程为：y e 4e(x1)，即 y4ex3e.5 分(2)令 f (x)exx2 (a2)x0，解得 x (a2)或 x

4、0.6 分当 (a2)0，即 a2 时，在区间 0， )上， f (x) 0，所以 f (x)是0， )上的增函数，所以方程 f (x)k 在0， )上不可能有两个不相等的实数根 .8 分当 (a2)0，即 a 2时， f (x)， f (x)随 x 的变化情况如下表：x0(0， (a 2) (a2)(a 2)， )f (x)00f (x)aa 4a2e由上表可知函数 f (x)在0 ， )上的最小值为a 4f (a 2) ea 2 .因为函数 f (x)是(0， (a2)上的减函数，是 (a2)， )上的增函数，且当 x a 时，有 f (x)ea(a) a，又 f (0) a.所以要使方程

5、 f (x) k 在 0， )上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是a412 分a2 ， a .e3(2016 国卷全)已知函数 f (x)(x2)ex a(x 1)2.(1)讨论 f (x)的单调性；(2)若 f (x)有两个零点，求a 的取值范围2名校名 推荐xx解 (1)f (x) (x1)e 2a(x1)(x 1)(e 2a).1 分当 x(1， )时， f (x)0.所以 f (x)在(， 1)上递减，在 (1， )上递增 .3 分( )设 a 0，由 f (x)0 得 x 1 或 xln( 2a)ex若 a 2，则 f (x) (x1)(e e)，所以 f (x)在(， )上递

6、增e若 a 2，则 ln( 2a) 1，故当 x ( ，ln( 2a)(1， )时， f (x)0；当 x(ln( 2a)， 1)时， f (x)0.所以 f (x)在(，ln( 2a)，(1，)上递增，在 (ln(2a)，1)上递减 .5分e若 a 2，则 ln( 2a) 1，故当 x ( ，1) (ln( 2a)， )时， f (x)0；当 x(1，ln( 2a)时， f (x)0.所以 f (x)在(，1)，(ln( 2a)，)上递增，在(1，ln( 2a)上递减 .7分(2)()设 a0，则由 (1)知，f (x)在(，1)上递减，在 (1， )上递增又aa2f(1) e，f (2)a

7、，取 b 满足 b0且 b ln2，则 f(b) 2(b2) a(b1)23有两个零点分abb ，所以f (x).920( )设 a 0，则 f (x) (x2)ex，所以 f (x)只有一个零点e( )设 a 0，若 a2，则由 (1)知， f (x)在 (1， )上递增又当 x1 时ef (x) 0，故 f (x)不存在两个零点；若a 2，则由 (1)知， f (x)在(1，ln( 2a)上递减，在 (ln( 2a)， )上递增又当 x1 时， f (x)0，故 f (x)不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0， ).12 分3名校名 推荐ex4(2017 州二次质量预测郑)已知函数

8、 f (x) xm.(1)讨论函数 yf (x)在 x (m， )上的单调性；(2)若 m 0，1 ，则当 xm， m1 时，函数 y f (x)的图像是否总在函数2g(x) x2x 图像上方？请写出判断过程 .【导学号 ：66482130】解 (1)f (x)ex xm exex xm 1，2 分xm2x m2当 x(m，m1)时， f (x)0；当 x(m1， )时， f (x)0，所以函数 f (x)在(m， m1)上递减，在 (m1， )上递增 .4 分(2)由 (1)知 f (x)在(m，m1)上递减，所以其最小值为 f (m1)em 1.5 分12因为 m 0， 2 ，g(x)在 x m，m 1最大值为 (m 1)m 1.所以下面判断 f (m1)与(m 1)2m 1 的大小，即判断 ex 与 (1x)x 的大小，3其中 xm1 1，2 .令 m(x)ex (1x)x，m(x)ex2x 1，令 h(x)m(x)，则 h (x)ex 2，3，所以 h (x) ex20，m(x)递增 .因为 x m1 1，28 分所以 m(1)e30，m3340，故存在 x0 1，3，使得 m (x0 e222) ex02x0 1 0，3所以 m(x)在 (1，x0)上递减，在x0，2 上递增，