向量的应用举例

1、1已知平面内四边形 ABCD 和点 O，若 OA a，OB b，OC c，OD d，且 a c bd，则四边形 ABCD 为 ()A菱形B梯形C矩形D平行四边形解析：由题意知 abdc， BACD ，四边形 ABCD 为平行四边形故选 D.答案： D2在 ABC 中，AB 3，AC 边上的中线BD 5，则 AC 的长，5AC AB为 ()A1 B2C3 D4 1 解析：因为 BD AD AB2ACAB，1 21 所以 BD2 2 AC AB2，2ACAB4ACAB1 即4AC21，所以 |AC|2，即 AC2.答案： B3在 ABC 中，有下列四个命题： ABACBC； ABBCCA0； ，则

2、为等腰三角形；若 (ABAC ACABC) (AB)0 ，则为锐角三角形若 ACABCAB0其中正确的命题有 ()ABCD 解析：因为 ABACCB BCBC，所以 错误 .ABBCCAACCA AC AC 0，所以 正确由(ABAC) (ABAC) AB2AC20，得|AB| |AC |，所以 ABC 为等腰三角形， 正确 .ACAB0? cosA0，所以 A 为锐角，但不能确定 B，C 的大小，所以不能判定 ABC 是否为锐角三角形，所以 错误故选 C.答案： C4点 P 在平面上做匀速直线运动 ，速度 v (4，3)(即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为 |v |个单位 )

3、设开始时点P0 的坐标为 ( 10,10)，则5 秒后点 P 的坐标为 _解析：由题意知， P0P 5v (20， 15)，x 1020设点 P 的坐标为 (x， y)，则y 10 15，解得点 P 的坐标为 (10， 5)答案： (10， 5)5已知在平行四边形ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点 ，且 AEFC1 4AC，试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形证明：设AD a，ABb，3则DEAEAD1a1，4AC4b4a 3 13FB AB AF b4AC4b4a， DEBF 是平行四边所以 DE FB，且 D，E，F， B 四点不共线，所以四边形形在中， ，为 ?AB

4、CDAD 1，61BAD60ECD 的中点，若 ACBE则 AB 的长为 ()1A1B.21 3 C.3 D. 2解析：设 AB 的长为 a(a0)，1 因为 AC ABAD， BEBCCEAD2AB， 1所以 AC (ABAD BE) AD2AB121由已知，得2a4a11.1 1 2 21 212ABAD2ABAD 2a 4a1.11又因为 a0，所以 a2，即 AB 的长为2.答案： B1 2 7已知 P 为 ABC 所在平面内一点 ，且满足 AP 5AC5AB，则 APB 的面积与 APC 的面积之比为 _解析： 5APAC2AB，2AP2ABACAP2AP， 2(PAPB)PC，如图

5、所示，以 PA，PB 为邻边作 ?PAEB， 则 C， P，E 三点共线，连接 PE 交 AB 于点 O，则 PC2EP4OP，S APB2S APO2|OP|1所以S APCSAPC|PC|2答案： 128.如图，已知直角梯形 ABCD，ADAB，AB2AD 2CD，过点 C 作 CEAB 于点 E，M 为 CE 的中点 ，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D， M，B 三点共线证明：以 E 为原点， AB 所在直线为 x 轴，EC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 令|AD|1，则 |DC|1， |AB|2.CEAB，而 ADDC，四边形 AECD 为正方形，可求得各点坐标分别为：E

6、(0,0)， B(1,0)，C(0,1)，D( 1,1)，A(1,0)(1) ED( 1,1)(0,0) (1,1)，BC(0,1) (1,0) (1,1)，EDBC， ED BC，即 DEBC.(2)连接 MD ， MB，M 为 EC 的中点，M0， 1， 0， 1 1， 1 ，2MD(1,1)2211MB(1,0) 0，2 1， 2 .MD MB，MD MB.又 MD 与 MB 有公共点 M，D，M ，B 三点共线9如图 ，在 ABC 中，BAC120， AB AC 3，点 D 在线段 BC 上，1且 BD2DC.求： (1)AD 的长；(2) DAC 的大小解析： (1)设 AB a， AC b， 1 1 2 1 2 1 则ADABBDAB3BC AB 3(AC AB)3AB 3AC3a3b.2212 42 22 12 49 22所以 | AD AD 23a b|39 a9 a b9 b991 3 3 cos120993.故