暑假专题-多边形

1、暑假专题一一多边形（一）知识整理1. 知识结构三角形的三边关系2. 主要知识内容：通过本章的学习，我们应掌握以下知识内容：（1）瓷砖的铺设：1密铺的特征：相邻几个多边形中，在同一顶点的几个角的和等于3602常见的地砖形状：三角形、四边形和正六边形（2 ）三角形：1三角形的分类 三角形按边分类：不等边三角形三角形仁腰和底不相等的等腰三角形等腰三角形2等边三角形 三角形按角分类：”锐角三角形三角形（直角三角形钝角三角形锐角三角形斜三角形三角形$、钝角三角形或直角三角形注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等 边三角形三类。2三角形各角之间的关系： 三

2、角形的内角和等于180 三角形的外角和等于 360 （每个顶点处只取一个外角） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3三角形的三边关系： 三角形的任何两边的和大于第三边 判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便 方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。（3）多边形的内角和与外角和n边形的内角和等于（n- 2） 180，n边形的外角和等于 360 正n边形的每个内角都等于 （n -2） 180，每个外角都等于 360nn n边形从一个顶点出发有（n - 3）条对角线，n边形共有 垃 可条

3、对角线2（4）用正多边形拼地板： 正多边形拼地板的必要条件：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 一种正多边形能密铺平面的只有：正三角形、正方形和正六边形 两种或两种以上正多边形组合密铺平面的设计。【例题分析】例 1.（ 1）如图（a），求证：/BDC=NA+NB+NC（2）如图（b），若 NBGC =130。，求 NA +NB +NC 中艺D +NE +NF的度数。FC分析：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，这里是求证一个角等于三个角的 和，这就启示我们要将此图化为三角形进行研究。解：（1）法一：如图1,延长BD交AC于E图1BDCDEC CDE

4、CABBDCAB C法二：如图2，连结AD并延长至E则 BDE B BAECDE =/C CAEBDE CDE = B C BAE CAE 即 BDC =/B C BAC法三：如图3，连结BCAABC ACB = D DBC DCB = 180即 A ABD DBC ACD DCB D DBCDCBD = A ABD ACD(2)BGC A B CEGF D E FA B C D E F二/BGCEGF=2 BGC =2 130-260Ah，角平分线BE、CF相交于O,如图所示,BOCA.190B.190 -22心1C.180D.180 -2例2.（辽宁省03年中考）已知 ABC中, 的度数应

5、为（）A分析：.BOC与已知角.A不在一个三角形中, 定理，通过.OBC与.OCB建立它们之间的联系。要建立.BOC和.A的联系，需应用三角形内角和解：；BE, CF分别是角平分线1 1OBC ABC， OCB ACB 221BOC =180( ABC ACB)ABC ACB =180A1 BOC =180 -尹80 -. A)1= 180 -90 A21 =90 A21 =902（拓展延伸）（1） 本题是近几年全国各省市中考题的热点之一，陕西省、山西省、辽宁省几省市近三年的中考题都 考了本题的特例。（2）如图，角平分线 AD BE、CF交于0,类似的有1AOC = 90 ABC21AOB 二

6、 90 ACB2A（3）由上述结果，11.EOC =180 -. BOC =180 -（90 BAC） = 90 BAC2 21故乙EOC与 ZBAC互余，图中还有其它互余的角吗？2例3.（山东省03年中考题）已知一个等腰三角形的三边长分别为x, 2x -1 , 5x-3，其周长为 分析：从等腰三角形的两腰相等入手，根据题意，设其中两边为腰，列出关于x的方程，进而可求各边长，同时应考虑到应分三种情况讨论。解：（1）若x = 2x - 1，则x = 1，三边分别为1，1，22 112（2 ）若2x -53 -，则x二一，三边长分别为，3 3333 3 13（3 ）若x = 5x - 3，则x，三

7、边长分别为，一，一4 4 2 4 （ 1）（ 2）两种情况不符三边关系定理，故舍去3 13其周长为24 24易错分析：解本题除注意分类讨论外，还应注意到等腰三角形三边也应满足三角形三边关系这一隐含 条件。例4.如果多边形的边数增加 1，那么这个多边形的内角和增加多少度？将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？上述两种情况下外角和怎样变化？解：设这个多边形的边数为 n，当边数增加1后，多边形的边数变为（n +1），则两个多边形的内角和之 差为（n1）-2 180 （n -2） 180 =180当多边形的边数增加1倍时，边数变化为2n，则此时两个多边形的内角和之差为（2n 2） 180 （

8、n 2） 180 =n 180上述两种变化情况下，多边形的外角和保持不变，都是360例5. （ 1）已知如图（a），在也ABC中，N CaNBA D丄BC于D，AE平分N BAC，则N EAD与B， C有何数量关系?（a）（2）如图（b）, AE平分N BAC , F为其上一点，且 FDB C于D,这时N EFD与三B、艺C又有何数量关系？(b)（3）如图（c），AE平分.BAC，F为AE延长线上一点，FDB C于D，这时.AFD与.B、 C又有何数量关系?分析：在（1）问中，要找出 EAD与B C的数量关系，可考虑利用三角形内角和定理及三角形的外角性质转化，同时应注意灵活运用图中隐含的角与角

9、的和差关系，在解决第（2）、（3）问时，应注意把它转化为第（1 ）问的情形，运用第（1）问的结论，过点 A作AG_2C，则有.EFD EAG解：（1） AD_BCADC = 90CAD =180 - CA DCCAD =180/C -909二 0 - CAE平分 BAC1EAC BAC2.BAC =180 B - . C111.EAC (180-ZB-/C) =90B C22211/EAC -/CAD =90BC-(90 )2211=90BC - 90 C221c C - B)21即.EAD ( . C- . B)21(2)如图(b)，过 A作 AGB C于 6,由(1)知 NEAG = (N

10、C ZB)2AG_BCAGC =90FD_BCFDG =90AGC =/FDG.FD /AG . EFD EAG/ 1 / /EFD ( C- /B)21(3)如图(c),过点 A 作 AGB C于 6由(1)知 NEAG =2(CB)AG_BCDF_BCAGB = /FDCAFD 二 EAGAGB =90FDC =90FD/AB1AFD ( C - B)2说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线 使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在 联系。例6.如图，点A、0、B在同一直线上，点 C、0、

11、D在同一直线上， ADO的平分线交 CBO的平分 线于点P(1 )若 A =50， C =40，求.P 的度数;（2）试归纳.A、. C与.P之间的关系B分析：本题图形较复杂，涉及的三角形较多,虽然.A与.C的度数是已知的，但 AOD和 COB的 形状是可以改变的，因此图中许多角的度数在变化，为什么 P是不变量呢？解：（1）在 BCF和 PDF中，有三P 三3 = C 在PBE和ADE中，有 P 2A 4 .2 P 23 =/AC 14BP平分 CBO，DP平分 ADOP = * A C)弓(50 40 ) = 45(2 )由(1 )知 A C与P之间的关系为 P=l(. A C)2【模拟试题

12、】（答题时间：60分钟）1. 已知等腰三角形两边长分别为 4和9,则第三边的长为 2. 两个木棒的长分别为 3cm和5cm，要选择第三根木棒， 将它们钉成一个三角架，若第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长 cm。3. 已知a、b、c为三角形三边的长，且|a-b（3a-2bc ）2 = 0，则这个三角形的形状为 4. 如图，已知NA8 0，（ 1）若点O为两角平分线的交点，贝U BOC=；（2）若点O为两条高的交点，BOC=。A5.女口图，在四边形 ABCD 中1=2, 3=4,5=6,78 ,则NE +NF=6. 等腰三角形的周长为 20cm, （1）若其中一边长为6cm,则腰长为 ; （2）若

13、其中一边长为5cm,则腰长为7. 过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(n _km =28.如图，ABC的面积等于12cm , D为AB的中点，E是AC边上一点，且 AE=2EC, O为DC与BE交点，若也DBO的面积为acm2, N CEO的面积为bcm2，则a-b=A9. 三角形中，最大角:的取值范围是（）A. 0- - 90B. 60 ： ： : 180C. 60 岂：:：90D. 60 乞：18010. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和1997,则满足条件的三角形的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 能铺满地面的正多边形

14、组合是（）A.正三角形和正八边形B.正五边形和正十边形C.正三角形和正十二边形D.正六边形和正八边形12如图，在厶ABC中，D是BC上一点，若 B= /C, 1 =/3，则 1与2的关系为（ ）A. 1 =22B. 12 =180C. Z1 - 3/2 =180D. 3/1/2 =180A13. 一个多边形除去一个内角之外，其余各内角的和为2570，则这个内角的度数为（）A. 90 B. 105 C. 130 D. 12014如图，已知在 ABC 中，.C=90 , B=34 ,1 = /2, AEB=104，问 AD 平分 BAC吗？请说明理由。15.已知：如图是不规则的六边形地砖，在六边形

15、 ABCDEF中，每个内角为120 ，且AB=BC=3，AF=DE=2，求该六边形地砖的周长。16.如图中的几个图形是五角星和它的变形（1 ）图（1 ）中是一个五角星，求A：BC：D：E（2 ）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即 CAD B C D E）如图（2）,说明你的结论的正确性。（3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即.CAD . B . ACE . D E ）有 无变化？如图（3），说明你的结论的正确性。【试题答案】一.1. 92. 4 或 63. 等边三角形（提示： ab =03 a-2b-c = 0）4. （ 1）130（2）100 （点拨：此题

16、中，.BOC=/A . ABO . ACO）5. 180(点拨： E F 二(180 -. 2 - . 3)(1806 -. 7)=360 -( 2 3. 6. 7)1= 360( BAC ABC BCD ADC)1=3603602-180把.E与.F的和当作一个整体去考虑）6. （ 1） 6cm 或 7cm（ 2） 7.5cm7. 12（点拨：m=3，有 n3 = 2m，即 n 3= 6* 9，又企尹5是(n - k) m =(9 -5)3 =12 )c28. 2cm11(a - b = SBDC - S .Bec = 2SABC - 3S ABC = 6 - 4 = 2 )239. D11. C10. B( 1994，1996，1998，2000 四种情况)12. D13. C14. AD 平分