图形变换 (2)

1、解密热点 透视考点 -图形变换图形的变换是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”的一个主要内容，初中数学中的图形变换，一般指平移、旋转、轴对称，新的数学课程标准在课程目标中已明确指出：“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握平移、旋转、轴对称等基本性质” 。图形变换，能使分散的图形或条件集中起来，能够展现几何图形内在的性质与几何图形外在的美，让学生欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，使学生经历观察、操作、猜想、推理等过程，培养学生图形的识别能力和对图形性质内涵的深入认识。图形的运动变化、动静结合，能把图形中变与不变的关系在运动中给予揭示，培养学生“透过现象看本质”的洞察能力。

2、在2010各地的中考出现了不少设计新颖、灵活多变、背景活泼、内容丰富、精彩纷呈的图形变换题。下面举例分析说明，供参考。一平移把一个图形在平面内沿着一定方向移动一定距离而得到另一个图形，这种变换称为平移变换。平移变换有如下性质：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等。图形的形状与大小都没有发生变化。例1（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CD轴于D，问：为何值时

3、，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系分析：求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离因此需过点P作x轴或y轴的垂线然后探索运动过程中，点P的运动情况（2）中探索与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系这样所求问题就较简单了解：作PHOB于H 如图1，OB6，OA，OA图1B30PBt，BPH30，BH，HP ;OH，P，当P在左侧与直线OC相切时如图2，OB，BOC30BC图2PC ， 由，得 s，此时P与直线CD相割当P在左侧与直线OC相切时如图3，PC由，得s，此时P与直线CD图3相割综上，当或时，P与直线OC相切，P与直线CD相

4、割 【点评】本题是“双动”问题，动点在平移的动直线上运动涉及到圆与直线的位置关系 等知识点，情景简单，但思考力度较复杂在解题时应分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”这道试题虽然模型简单，但具有较高的区分度，是中考中难得一见的好题必然会对今后动点问题的命题有一定的指导、借鉴作用二旋转把一个图形在平面内沿着一点按一定的方向转动一定的角度而得到另一个图形，这种变换称为旋转变换。图形旋转后，图形中的每个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。图形的形状与大小都没有发生变化。图（1）ABCEFFB（D）GGACED图（2）例2（2010广东

5、汕头，22，12分）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点GCEFB90，EABC30，ABDE4（1）求证：EGB是等腰三角形；（2）若纸片DEF不动，问ABC绕点F逆时针旋转最小_度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2）求此梯形的高分析：易求得GBEE30，从而GBGE；由ACDE，ACBC得DEBC，从而DFB90EDF30，即旋转的最小角度是30；容易求得CF，设图（2）中CB交DE于点M，则FM，从而CM解：（1）证明：CEFB90，EABC30，EDF60，GBEE30，GBGEEGB是等腰三角形（2）解

6、：在RtBEF中，由E30得BFBE2，EFBC4，BC CF 四边形ACDE是以ED为底的梯形ACDE ACBCDEBCDFB90EDF30旋转的最小角是30设图（2）中CB交DE于点M，则FM CMCFFM，即此梯形的高为 【点评】本题以两个全等的特殊的直角三角形进行旋转变换，设计了综合考查平面几何知识的综合题，考查的知识点多、解题的方法也比较开放，能有效地培养学生分析问题、解决问题的能力，是几何变换考题的较为新颖的题型之一三翻折翻折是指把一个图形按某一直线翻折180后所形成的新的图形的变换(也指折叠)。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。翻折在三大图形运动中是比较

7、重要的，考查得较多。例3（2010河南，22，10分）（1）操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC2DF，求的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DCnDF，求的值分析：（1）连接EF，根据轴对称的性质，容易判断RtEGFRtEDF，所以GFDF（2）由（1）知，GFDF设DF，BC，则有GF，AD， 在RtBCF中，将各边表示出来，利用勾股定理找出，之间的关系即可（3）类比（2）可求解：（1）同意连接EF，则EGFD9

8、0，EGAEED，EFEF RtEGFRtEDFGFDF （2）由（1）知，GFDF设DF，BC，则有GF，AD DC2DF，CF，DCABBG2BFBG+GF3 在RtBCF中，即 （3）由（1）知，GFDF设DF，BC，则有GF，AD 、，在RtBCF中，即【点评】本题以“折纸活动”为素材，考查学生对轴对称，勾股定理等知识的认识和掌握情况第（3）小题是在第（2）小题基础上采用由特殊到一般的过程性方法，核心考查对图形的认识，3道小题由易到难，形成梯度，确保试题测试的稳定性，偏重过程和方法的考查四综合应用例4. （2010本溪，25，12分）在RtABC中，BAC=90，B=30，线段AD是B

9、C边上的中线，如图，将ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到FCE，如图，再将FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（090），连接AF、DE.（1）在旋转过程中，当ACE=150时，求旋转角的度数；（2）探究旋转过程中四边形ADEF能形成那些特殊四边形？请说明理由.ABCDEF图图ABDCFEABCD备用图ABCD备用图分析：（1）由题意分析可知此问需分两种情况讨论：当点E和点D在直线AC两侧；当点E和点D在直线AC同侧；（2）在旋转过程中，总是存在ACCE，DCCE由图形的对称性可知，将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形抓住平移和旋转的性质，较易证明解：（1）在图中，BAC

10、90，B30，ACEBACB120如图，当点E和点D在直线AC两侧时，由于ACE1150，15012030，当点E和点D在直线AC同侧时，由于ACB180BACB60，DCE2ACE2ACB1506090，180DCE290，旋转角为30或90（2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形证法一：BAC90，B30，ACBCABCD图EF又AD是BC边上的中线，ADDCBCAC，ADC为正三角形当60时，如图，ACE12060180CACECDCF，四边形ADEF为平行四边形，又AEDE，四边形ADEF为矩形当60时，ACF120，DCE3606060ACF120显然DEAFACCF，CDCE，2F

11、ACACF2CDEDCE180ACFDCE3606060240FACCDE60，DAFADE12060180，AFDE又DEAF，ADEF，四边形ADEF为等腰梯形证法二：ACDF，CDCE，2FACACF2CDEDCE180ACFDCE3606060240，FACCDE60DAFADE12060180，AFDE当60时，ACFDCE120，又ACCF，DCCE，ACFDCEAFDE，四边形ADEF为平行四边形，BAC90，B30，ACBC又AD是BC边上的中线，ADDCBCAC，ADC为正三角形即CAD60ACF中，CAF30，DAFCAFCAD90，四边形ADEF为矩形当60时，ACF120，DCE3606060ACF120显然DEAF又AFDE，四边形ADEF为梯形，又ADEF，四边形ADEF为等腰梯形【点评】本题融合平移旋转等动态问题为考生创建了一个探究的情景，一个思维的空间强调从“知识立意”向“能力立意”转变的新课改理念，注重基础与能力并重，综合考察了图形变换的知识。解答中考生需要分类讨论、自主探究、叙述推理，符合课改要求，是一道很好的探究型问题图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三