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文档简介

1、第二节 正项级数及其审敛法,一、正项级数概念,二、正项级数比较审敛法,三、达朗贝尔比值审敛法,四、柯西根值审敛法,一、正项级数概念,1、定义,为正项级数,正项级数部分和数列 sn 为单调增加数列,2、正项级数收敛的充要条件: (基本定理,正项级数收敛 部分和数列 sn 有界,若,收敛,部分和数列 sn 单调递增,从而,又已知 sn 有界,故有界,故 sn 收敛,也收敛,二、正项级数比较审敛法 1、比较审敛法 1（一般形式,证明,即部分和数列有界,n 不是有界数列,证明,比较审敛法的不便,须有基本级数,解,由图可知,重要基本级数: 几何级数, P-级数, 调和级数,解,重要基本级数 几何级数,

2、p - 级数, 调和级数,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数,若存在,对一切,证明,推论 (比较审敛法1,设,且存在,对一切,有,1) 若级数,则级数,2) 若级数,则级数,收敛,也收敛,发散,也发散,是两个正项级数,常数 k 0,比较判别法的关键是找出基本级数,当级数一般项较复杂时, 不容易比较, 可用下列比较判别法的极限形式,2、比较审敛法2 (比较审敛法的极限形式,两个级数有相同的敛散性,1) 当 0 l 时,2) 当 l 0 时,3) 当 l 时,解,原级数发散,原级数收敛,原级数收敛,解,原级数发散,原级数收敛,3、比较审敛法3 (比阶审敛法,解,解,思考题,解,由比较审敛法2

3、知 收敛,反之不成立,例如,收敛,发散,三、比值审敛法 (DAlembert判别法,级数收敛,1) 当 0 1 时,2) 当 1 时,3) 当 1 时,级数发散,级数敛散性需另行判定,比值审敛法的优点,不必找基本级数,解,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,解,解,级数收敛,级数发散,解,原级数收敛,注：多种审敛法可结合应用,说明,说明,四、根值审敛法 (柯西判别法,级数收敛,1) 当 0 1 时,2) 当 1 时,3) 当 1 时,级数发散,级数敛散性需另行判定,五、正项级数的柯西积分审敛法,六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限,例：求数列的极限,判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用其他判别法,积分判别法,部分和极限,小结,判别正项级数 敛散性步骤,否,原级数发散,是,或无法求,4. 按定义,5. 利用性质,6. 基本定理,1. 比值审敛法,2. 根值审敛法,3. 比较审敛法,小结,判别正项级数 敛散性步骤,否,原级数发散,是,或无法求,1. 按定义,2. 利用性质

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