函数模型及其应用ppt课件

1、函数模型及其应用,基本初等函数,1.常见的函数模型 （1）一次函数模型：； （2）反比例函数模型：； （3）二次函数模型：；（4）正比与反比和函数模 型,y=kx+b（k0,y=ax2+bx+c（a0,5）指数函数模型：； （6）对数函数模型：. 2.应用函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）阅读题目，理解题意； （2）设置变量，建立； （3）应用函数知识和数学方法； （4）检验,y=kax+b（k0,y=klogax+b（k0,函数关系,解决问题,作答,1.已知f（x）是偶函数,且图象与x轴有4个交点,则方程f（x）=0的所有实根的和是（ ） A. 0B. 1 C. 2D. 4 偶函数的图

2、象关于y轴对称，所以四个交点的横坐标之和为0，故选A,2.若a,b是正常数，且ab，x,y（0,+），则当且仅当 时取等号.利用以上结论， 函数取得最小值时，x的值为（ ） A.1B.C.2D,由 得 当且仅当即x=时， f（x）取得最小值25,3.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（,A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5 由于f（1.4375）=0.1620,f（1.40625）=-0.0540,且|1.40625-1.4375|=0.031250.1，所以由

3、二分法可知其根在区间（1.40625，1.4375）上，故选C,4.设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的实数x1D，存在唯一的实数x2D，使 f（x1）+f（x2）2=C（C为常数）成立，则称 函数y=f（x）在D上的均值为C. 给出下列四个函数：f（x）=x3；f（x）=sinx；f（x）=lgx；f（x）=3x.则满足在其定义域内的均值为2的所有函数是,对于f（x）=sinx，任取x1R，则不存在x2R，使sinx1+sinx2=4成立；对于f（x）=3x，任取x1R，则不一定存在x2R，使3x1+3x2=4成立. 答案： 5.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的75%，则存留污垢y与

4、漂洗次数x的函数关系式为,y=0.25x（xN,1.函数方法 （1）A、B两地相距20公里，甲以每小时6公里的速度从A地前往B地，设t小时后，甲离B地的距离为y公里，写出y关于t的函数表达 式. （2）某人有一笔资金用于投资，第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.设x天后回报的总金额为y（元），写出y关于x的函数表达式,y=20-6t（0t,y=0.42x-1（xN*,3）某旅行社组团参加莲花山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x（人）与游客的消费总额y（元）之间近似地满足关系：y=-x2+240 x-10000.那么游客的人均消费额最高为元. （4）计算机成

5、本不断下降，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，则9年后的价格可降为元,40,2400,2.图象理解 （1）已知函数y1=x2,y2=2x，当y1y21时，x的取值范围是. （2）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的产量y可用图象表示为,2,4,B,3）已知函数f（x）=3ax+1-2a，在-1,1上存在x0，使f（x0）=0（x01），则实数a的取值范围是. （4）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示

6、.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是. A. h2h1h4B. h1h2h3 C. h3h2h4D. h2h4h1,-1）（15,A,题型1一次函数模型 某商人购货，进价已按原价a元扣去25%，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利20%后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式,设新价为b元，则售价为b（1-20%）元.因为原价为a元，所以进价为a（1-25%）元. 依题意得b（1-20%）-a（1-25%）=b（1-20%）25%， 化简得b=a，故y=20%b

7、x=x（xN*）. 【评注】本题关键是要理清原价、进价、新价之间的关系，为此，引进了参数b，建立新价与原价的关系，从而找出了y与x的函数关系,电信局为了配合客户的不同需要，设有方案A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图所示，折线PMN为方案A，折线CDE为方案B，MNDE. （1）若通话时间为x=2小时，按方案A、B各付话费多少元？ （2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3）当方案B比方案A优惠时，求x的取值范围,1）方案A：由M（60,98），N（500,230）. 方案B：由MNDE，得 当x=120时，fA（120）=120+

8、80=116,fB（120）=168,得,2）因为fB（n+1）-fB（n）=（n+1）+18-310n-18=0.3，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元. （3）由图可知，MN与CD的交点为（,168）， 所以，当0时，fAfB. 故所求x的取值范围是（,题型2二次函数模型 某型号的电视机每台降价x成（1成为10%），售出的数量就增加mx成，mR+. （1）若某商场现定价为每台a元，售出量是b台，试建立降价后的营业额y与x的函数关系.问当m=时，营业额增加1.25%，每台降价多少元？ （2）为使营业额增加，当x=x0（0 x010）时，求m应满足的条件,1）每台降价x成后的价格为

9、a（1-）元，降价后售出量为b（1+）台， 则y=a（1-）b（1+）=ab（x2+m-11x+1）. 当m=时，y=ab（+1）. 因为营业额增加1.25%， 所以1.25%ab=+1，即x2-2x+1=0，得x=1， 即每台降价1成（10,2）为使营业额ab增加，当x=x0时，y=ab（+1）. 依题意得y-ab0，即 解得m（0 x010），这就是m应满足的条件. 【评注】本题的关键是弄清关系式：销售额=销售量价格，建立降价前与降价后销售额的等量关系，找出未知的等量关系是解决函数应用题的基本思路和规律,某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（吨/元）之间的函数关

10、系为P=24200-x2，且生产x吨的成本为R=50000+200 x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 设生产x吨产品，利润为y元,则y=Px-R=（24200-x2）x-（50000+200 x） =-x3+24000 x-50000. 令y=-x2+24000=0，得x=200. 所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润是315万元,题型3分段函数模型 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于51元.

11、设销售商需要一次性订购这种零件x（0 x600）个，已知这种零件的实际出厂单价为P元. （1）写出函数P=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（3）当x为多少时，厂家获得的利润最大,1）当0 x100时，P=60. 当100 x550时，P=60-0.02（x-100）=62-; 当550 x600时，P=51. 所以,2）由（1）知，当销售商一次订购500个零件时，出厂价为52元， 获得的利润是（52-40）500=6000（元）. 故一次性订购600个时，利润最大,3）利润,评注】现实中这一类问题应用较多，如手机收费问题，上网收费问题，计程车收费

12、问题等优惠方案都与分段函数有关.正确理解题意，把握好对自变量的分段是解题的关键,某地居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨水1.8元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，又已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨和3x吨. （1）求y关于x的函数； （2）若甲、乙两户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费,1）甲户用水量不超过4吨时，自然乙的用水量也不超过4吨，即5x4，即x,则y=（5x+3x）1.8=14.4x; 当甲户用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨，即时,则y=（4+4）1.8+（5x-4+3x-4）3=24x-9

13、.6. 于是 （2）由于函数在各段上都是增函数,当x0,时，yf（）26.4； 当x（,时，ymax=f（）26.4; 当x（,+）时，由y=24x-9.6=26.4，得x=1.5. 所以，甲户：用水量为5x=7.5吨；付水费为41.8+3.53=17.7（元）； 乙户：用水量为3x=4.5（吨）；付水费为41.8+0.53=8.7（元,题型4分式函数模型 某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10 000平方米，该球场每座的建筑面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关.当该球场建n个时，每平方米的平均建筑费用记为 f（n），且f（n）=f（m）

14、（1+）（其中n m，nN），又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元.为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应建几个球场,设建成x个球场，则每平方米的购地费用为元，即元. 由题意知f（5）=400，f（x）=f（5）（1+）=400（1+），从而每平方米的综合费用为y=f（x）+，所以y=20（x+）+30020+300=620（元），当且仅当x=8时等号成立. 故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省,评注】本题是分式类型的函数应用题，其命题背景是基本不等式a+b（a,bR+）.本题的解答过程具有代表性，应当熟练操作和应用,2008湖北卷）

15、如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000 cm2,四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小,设广告的高、宽分别为x cm、y cm， 则每栏的高和宽分别为x-20，,其中x20，y25. 两栏面积之和为2（x-20）=18000, 由此得y=+25. 所以广告的面积S=xy=x（+25）=18000 xx-+25x, 整理得S=+25（x-20）+18500,因为x-200，所以S +18500=24500. 当且仅当25（x-20）时等号

16、成立， 此时有（x-20）214400（x20），解得x=140，代入y=+25,得y=175. 即当x=140，y175时，S取得最小值24500. 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小,题型5指数函数模型 某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%. （1）写出该城市人口总数y（万人）关于年份x（年）的函数关系； （2）计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1万人）； （3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万.（参考数据：lg10.12=1.005,lg1.127=0.05,lg1.2=0.079,1）分别令x等于1，2，3，归纳

17、后得知y=100（1+12%）x（xN*）. （2）10年以后该城市人口总数为y=1001.01210. 因为lgy=2+10lg1.012=2+10（lg10.12-1）=2.05, 所以lgy-2=0.05，即lg=0.05=lg1.127， 则y=112.7（万）. 即10年以后该城市人口总数为112.7万,3）由100（1+1.2%）x=120，得xlg1.012=lg1.2，所以x=16. 所以，大约15年以后该城市人口总数将达到120万. 【评注】指数函数模型一般与增长率有关.在建立函数关系时，应注意增长速度的意义，增长速度翻番（成倍增长）应考虑指数函数模型；增长速度快，可考虑幂函

18、数模型或二次函数模型；等速增长，则应考虑一次函数模型；增长速度缓慢，可考虑对数函数和幂函数模型,某工厂的产值连续三年持续增长，这三年的增长率分别为x1、x2、x3，求年平均增长率p. 设去年的产值为a，则从今年开始的第三年的产值为a（1+p）3. 又今年的产值为a（1+x1），第二年的产值为a（1+x1）（1+x2），第三年的产值为a（1+x1）（1+x2）（1+x3）, 于是a（1+p）3=a（1+x1）（1+x2）（1+x3）， 得,1.函数应用题的解法 解答数学应用题是在阅读文字材料，理解题意的基础上对实际问题进行抽象概括，再转化为数学符号语言，最后进行数学化处理的过程.其思维程序是：“将实际问题” “数学问题” “函数模型的解” “实际问题的结论,建模,审题，抽象，转化,解模,还原,等价，说明,推理，运算,函数的模型方法：“设变量” “找关系” “求结果”. 2.函数图象意义的理解 函数图象反映了两个变量间的特殊关系，在读题的过程中，还要仔细阅读文字语言提示，对照图象变化趋势按要求回答问题,自变量,函数的性质,函数的图