江苏省九年级上学期期末数学试卷

1、江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1.（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情 况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些 41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）A.平均数B.众数 C.方差 D.中位数2. （2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（）姓名：小明得分:练习题（每小题2分）（冷方程X2曰的解罡g（2）sm30c= 0-5 卩翻的半径_相等占A. 0分B. 2分C. 4分D. 6分将厶ABC缩小后得到 A B,已知OB=3OB,3 （

2、2 分）如图，以点O为位似中心, 则厶A B与ABC的面积比为（1: 54.D. 1: 9A.（2分）1B .在厶ABC中,Vs! C./ C=90,D.AC=1, BC=2 贝U cosA 的值是（）5.（2分）已知圆锥的底面半径为A.6cm,高为8cm，则圆锥的侧面积为（2 2 2 236 n cm B . 48 n cm C. 60 n cm D . 80 n cm6. （2分）已知关于x的方程x2+x- a=0的一个根为2,则另一个根是（）A. 3 B. 2 C. 3D. 67. （2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）3rA. 2r B. - C. D.8. （2分）如图，在

3、ABC中，/ B=60, BA=3, BC=5,将厶ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（BD.第5页（共24页）、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9. （2 分）tan60 =.10. （2 分）已知 -，则 xy=.11. （2分）一组数据6，2，- 1, 5的极差为12. （2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概13. （2 分）如图， ABC内接于OO,若/ OAB=32，则/ C=14. （2分）某超市今年I月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元, 从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 .15. （

4、2分）如图，在RtAABC中，/ A=90, AD丄BC,垂足为D.给出下列四个 结论：sin a =sin；sin B =sinCsinB=cosCsin a =cosB其中正确的结论16. （2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0, 2）、（4, 0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与 AOB的一条 边所在直线相切时，点P的坐标为.三、解答题（共9小题，满分68分）17. （8 分）（1 ）解方程：x （x+3） =-2;（2）计算:sin45+3cos60 4tan45 18. （8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各 10名女生 立定跳

5、远”项目进行 了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班 12 1313 131113 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生 立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？19. （8分）校园歌手大赛中甲乙丙 3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签 确定表演顺序.（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率.20. （6分）如图， ABC和厶DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上 ABC 和厶DEF相似吗？为什么？AB丄KD21. （6分）已知关于x的方程（x- 1） （x-4） =k2, k是实数.（1）求证：方程

6、有两个不相等的实数根：（2） 当k的值取时，方程有整数解.（直接写出3个k的值）22. （6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD, 测得旗杆顶点A的仰角为45再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰 角为60求旗杆AB的高度.D CB23. （8 分）如图，在等腰 RtAABC中，/ C=90, AC=4,矩形 DEFG的顶点 D、G 分别在AC BC上，边EF在AB上.（1）求证： AED DCQ（2）若矩形DEFG的面积为4,求AE的长.c24. (8分)如图，AB为。O的直径，点E在。O, C为的中点，过点C作直线CD丄AE于D,连接AC BC.(1)试

7、判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由(2)若 AD=2, AC=二，求O O 的半径.25. (10分)如图，平面直角坐标系中有4 个点：A (0，2)，B (- 2，- 2)，C第7页（共24页）(-2, 2)，D (3, 3).(1) 在正方形网格中画出 ABC的外接圆。M，圆心M的坐标是;(2) 若EF是。M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；(3) 点P在直线MB上，若。M上存在一点Q,使得P、Q两点间距离小于1, 直接写出点P横坐标的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. （2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不

8、同尺码的衬衫销售情 况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些 41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）A.平均数B.众数 C.方差 D.中位数【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.销量大的尺码就是这组数据的众数.【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数， 故影响该店主决策的统计量 是众数.故选：B.【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差 的意义.2. （2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（）嚴：小明得分:_ 绕习题每

9、小题2分）（1）方程曰的解是：史（2）sm30o= 0-5卩時园的半径_帝等.A. 0分B. 2分C. 4分D. 6分【分析】根据开平方法解一元二次方程求解判断（1）错误；可根据特殊角的三 角函数值对（2）进行判断；可根据等圆的定义判断对（3）角线判断，从而根据 每题的分值求解.【解答】解：（1） x2=1， x= 1 ,方程x2=1的解为土 1,所以（1）错误；（2）sin30=0.5,所以（2）正确；（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2X2= （4分）.故选：C.【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m） 2=p（p 0）的

10、一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.3. （2分）如图，以点O为位似中心，将厶ABC缩小后得到 A B,已知OB=3OB, 则厶A B与ABC的面积比为（）A. 1: 3B. 1: 4C. 1: 5D. 1: 9【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于 相似比的平方即可.【解答】解：t OB=3OB,.丨，以点O为位似中心，将 ABC缩小后得到 A B,C A Bc/CBABC, 二时 15AAz Bz Cz _ 声扩、2 故选：D.【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质.

11、4. （2 分）在厶 ABC中，/ C=90, AC=1, BC=2 则 cosA的值是（）_1Vs 2VsA.B.匚 C. D. !【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可.【解答】解：在 RtAACB中，/ C=90, AC=1, BC=2ABVW=* = 一，AC 1/. cosA= =、； 2，故选：C.【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义， 解决此类题时，要注意前提条件是 在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义.5. （2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，贝U圆锥的侧面积为（）2 2 2 2A. 36 n cm B. 48 n cm C. 6

12、0 n cm D. 80 n cm【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积.【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长=厂:=10,圆锥的底面周长为 2n r=2氷6=12n，圆锥的侧面展开扇形的弧长为12 n,圆锥的侧面积为：:X 12 nX 10=60n故选：C.【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法， 解决本题的关键是根据已知条件 求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇 形的面积.6. （2分）已知关于x的方程x2+x- a=0的一个根为2,则另一个根是（）A.-

13、3 B.- 2 C. 3 D. 6【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到 2+t= - 1,然后解一 第8页（共24页）元一次方程即可.【解答】解：设方程的另一个根为t,根据题意得2+t= - 1，解得t= - 3,即方程的另一个根是-3.故选：A.【点评】本题考查了根与系数的关系：若 xi, X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （ab _c工 0）的两根时，Xi+X2= , XlX2=.7. （2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）3工A. 2r B.C. D.【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可.【解答】解：如图所示，OB=OA=;

14、ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是/ ABC的平分线；/ OBD=60x : =30,V3BD=r?cos30 =r?;根据垂径定理，BC=2 r= . r.故选：B.【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形 的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距 离，可求出内接正三角形的边长.8. （2分）如图，在 ABC中，/ B=60, BA=3, BC=5,将厶ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（BA.【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【解答】

15、解：A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项错误；B阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错 误；C. 两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误.D. 两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.故选：D.【点评】此题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此 题的关键.根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9. （2 分）tan60 =_ -.【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可.【解答】解：tan60 的值为一.故答案

16、为：二第13页（共24页）【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值， 熟记各特殊角的三角函数值是解答 此题的关键.10. （2 分）已知 一，则 xy= 6.【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可.兰 _2【解答】解：-,xy=6.故答案为：6.【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解.11. （2分）一组数据6, 2,- 1, 5的极差为 7 .【分析】根据极差的概念求解.【解答】解：极差=6-（ - 1） =7.故答案为7.【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.12. （2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的

17、概2率是.【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积， 即可求出 停止后指针都落在阴影区域内的概率.360-1202【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：一厂 =;2故答案为：.【点评】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械 计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、 甚至娱乐中的运用，体现了数学学 第11页（共24页）科的基础性.两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的 积.13. （2 分）如图， ABC内接于OO,若/ OAB=32,则/ C= 58【分析】由题意可知 OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出/ AOB,

18、 再利用圆周角定理确定/ C.【解答】解：如图，连接OB, OA=OB AOB是等腰三角形，/ OAB=/ OBA,vZ OAB=32,/ OAB=/ OBA=32 ,/ AOB=116,/ C=58.故答案为58.C【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目， 题目难度不大，正确添加辅助 线是解题关键，在解决和圆有关的题目时往往要添加圆的半径.14. (2分)某超市今年I月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元， 从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是20% .【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为 x,则二月份销售额为2 (1+x)万 元，三月份销售额为2 (1+x)

19、 2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出 关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为 x,则二月份销售额为2 （1+x） 万元，三月份销售额为2（ 1+x）2万元，根据题意得：2（ 1+x）2=2.88,解得：Xi=0.2=20% x2=- 2.2 （不合题意，舍去）.答：该超市销售额平均每月的增长率是 20%.故答案为：20%.【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键.15. （2分）如图，在RtAABC中，/ A=90, AD丄BC,垂足为D.给出下列四个 结论：sin a =sin

20、；sin B =sinCsinB=cosCsin a =cos f其中正确的结论有【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据/ A=90，AD丄BC,可得/ a = / B,Z f = C,再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断.【解答】解：I/ A=90, AD丄BC,/ a+/ B=0,/ B+/ B =90；/ B+/C=90, l/ a= B,/ B = C, sin a =siqB故正确；sin B =sinC故正确；ACAC在 RtAABC中 sinB= , cosC=, sinB=cosC故正确；sin a =siqBcos/ B =cosC sin a =c/ B,故正确

21、；故答案为.【点评】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角 函数间的关系.16. （2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0, 2）、（4, 0）, 点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与 AOB的一条_1边所在直线相切时，点 P的坐标为（0，2），（- 1, 0 ），（-方，1）.【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边 AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可.【解答】解：点A、B的坐标分别是（0, 2）、（ 4，0），_1直线AB的解析式为目=-x+2，点P是直线y=2x+2上的一

22、动点，两直线互相垂直，即 PA!AB,且C （- 1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO PA=PC即P为AC的中点, P （ - X 1 ）；当圆P与边AO相切时，PO丄AO, 即卩P点在x轴上， P点与C重合，坐标为（-1, 0）;当圆P与边BO相切时，PO丄BO,即P点在y轴上， P点与A重合，坐标为（0, 2）;故符合条件的P点坐标为（0, 2）, （- 1, 0）, （-, 1）,1故答案为（0, 2）, （- 1, 0）, （-, 1）【点评】本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直 角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与 AOB的三边分别

23、 相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标.三、解答题（共9小题，满分68分）17. （8 分）（1 ）解方程：x （x+3） =-2;（2）计算： 二 sin45+3cos60 4tan45 【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案.【解答】解：（1）方程整理，得x2+3x+2=0,因式分解，得（x+2）（x+1） =0,于是，得x+2=0, x+1=0,解得 X1=- 2, X2=- 1;V2 1（2）原式=X +3X - 4X 1=1+1.5 - 4=-1.5.【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键.18. （8分）体育老师对九年级甲、

24、乙两个班级各 10名女生 立定跳远”项目进行 了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班 12 1313 131113 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生 立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案.一【解答】 解：（1）门卩=（13+11+10+12+11 +13+13+12+13+12） =12 （分），一=（12+13+13+13+11 +13+6+13+13+13） =12 （分）.故两个班女生 立定跳远”项目的平

25、均成绩均为12分；第19页（共24页）(2) S 甲 2=一 X 4 X( 13- 12) 2+3X( 12- 12) 2+2X( 11 - 12) 2+ (10- 12) 2=1.2,丄S乙 2=一X 7X( 13 -12)2+ (12- 12)2+(11-12)2+(6 - 12)2 =4.4, S 甲2v S 乙 2,甲班的成绩比较整齐.【点评】本题主要考查平均数和方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量.熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题 的关键.19. (8分)校园歌手大赛中甲乙丙 3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签 确定表演顺序.(1) 求甲

26、第一个出场的概率；(2) 求甲比乙先出场的概率.【分析】(1)找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求 出所求的概率.【解答】解：(1)v甲、乙、丙三位学生进入决赛,- P(甲第一位出场)=;(2)画出树状图得:甲乙丙/ Z、/乙丙甲丙甲乙1 1 11 1丙乙丙甲 乙田共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有 3种情况,3 t- P(甲比乙先出场)=.【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比.20. （6分）如图， ABC和厶DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上 ABC

27、和厶DEF相似吗？为什么？丄K、D【分析】利用格点三角形的知识求出 AB, BC及EF, DE的长度，继而可作出判断.【解答】解：DEF相似.理由如下: 由勾股定理，得 AB=2, AC=2 ! , BC=2 , DE= , DF= , EF=2AB _2_ AC_2_ BC2五二“，而=顶二逅，丽=2 2 ,AB AC AC ABCA DEF【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系.21. （6分）已知关于x的方程（x- 1） （x-4） =k2, k是实数.（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）

28、 当k的值取 -2、0、2时，方程有整数解.（直接写出3个k的值）【分析】（1）将原方程变形为一般式，再根据方程的系数结合根的判别式，即可 得出 =4+9 0,此题得证；（2）将原方程变形为一般式，利用求根公式找出方程的解，由方程的解为整数, 即可求出k值.【解答】（1）证明：原方程可变形为x2- 5x+4 - k2=0.= （- 5） 2 -4X 1X（4 - k2） =4k2+90,第仃页（共24页）不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2-5x+4-k2=0.方程有整数解， 寸业* x= 二为整数， k取0, 2,- 2时，方程有整数解.【点评】本题考查了

29、根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记当厶 0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用求根公式找出方程的 解.22. （6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD, 测得旗杆顶点A的仰角为45再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰 角为60求旗杆AB的高度.A【分析】设AG=x,分别在RtAAFG和RtAACG中，表示出CG和GF的长度，然 后根据DE=10m列出方程即可解决问题.【解答】解：设AG=x在 RtAAFG 中，AG tan/ AFG=， FG=，在 RtA ACG中，I / GCA=45， CG=AG=x DE=1Qz x-

30、=10,解得：x=15+5 :_, AB=1決5 二+1=16+5 二.答：电视塔的高度AB约为（16+5二）米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.23. （8分）如图，在等腰 RtAABC中，/ C=90, AC=4,矩形DEFG的顶点D、G 分别在AC BC上，边EF在AB上.（1）求证： AED DCG【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得/ A=Z CDG / DEA= / C,则可证得厶AEMA DCG（2）设AE=x利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得 BF=FG=DE=AE=（从 而可表示

31、出EF,结合矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求 得AE的长.【解答】（1）证明： ABC是等腰直角三角形，/ C=90，/Z B=Z A=45，四边形DEFG是正方形，Z AED=/ DEF=90，DG/ AB,第23页（共24页）/ CDGK A,vZ C=90,/ AED=Z C, AED DCG(2)解：设AE的长为x,v等腰 RtAABC中，Z C=90, AC=4,.Z A=Z B=45, AB=4 ,v矩形DEFG的面积为4,.DE?FE=4 Z AED=Z DEF=Z BFG=90,bf=FG=DE=AE=x.EF=4 - 2x,即 x (4X 2 - 2x)

32、=4,解得 Xi=X2=.AE的长为7.【点评】本题主要考查相似三角形的判定、性质及矩形的性质，熟练掌握相似三 角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用.24. (8分)如图，AB为。O的直径，点E在。O, C为L的中点，过点C作直 线CD丄AE于D,连接AC BC.(1) 试判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由(2) 若AD=2, AC=八，求O O的半径.【分析】(1)相切，连接0C,想办法证明0C丄CD即可;(2)求出AC BC利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：(1)相切，连接0C,v C为的中点，/ 仁/ 2,v OA=OC/ 仁/ ACO/ 2=Z ACO AD/ OC,vCD丄 AD,/ OCX CD,直线CD与。O相切；(2)连接