第3课椭圆的几何性质

1、第3课椭圆的几何性质教学目标1. 掌握椭圆的简单的几何性质：2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；3. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.教学亟点椭圆的几何性质及其应用教学过程一、建构数学 椭圆的几何性质1. 范围由方程密洛=1（QQO）可知，椭圆上的点的坐标（x,刃满足牙=1 -辛W1,即民“2,故 同理可得lylWb.这说明椭圆位于A=iz/和）=切所用成的矩形内.（基本矩形）注意：画椭圆先画基本矩形！2. 对称性在椭圆的标准方程中，把x换成一x,或把y换成一y,或同时把x, y分別换成一x, y时方程 不变.所以椭圆关于y轴，x轴和原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，

2、原点是椭圆的对称中心.椭圆 的对称中心叫做椭圆的中心.3. 顶点在椭圆的标准方程中，令*0,得尸土，说明点（0, 一b）, B2（0, b）是椭圆与y轴的两个交点. 同理，点儿（一“，0）,出（“，0）是椭圆与x轴的两个交点.这四个点是椭圆与对称轴的交点，成为椭 圆的顶点.线段A/?，SB?分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分別为加和2b, “和b分别为椭圆的长 半轴长和短半轴长.思考：已知椭圆的长轴AS?和短轴BB2,怎样确左椭圆的焦点位置？4. 离心率我们把焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率用幺表示.即=且 用（0, 1）.aa分析离心率是用来刻画椭圆扁平程度的依据的道理（略）.对于焦点在

3、X轴上的椭圆的性质，可类比研究.二、数学应用例1求椭圆吉+=1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.例2（1）设P为椭圆订+荒=l（b0）上任意一点，戸为貝左焦点，求PF】的最大值和最小值. （课本练习题变式）（2）在椭圆壬+字1上求一点，使这点与两焦点的连线互相垂直.所求点的坐标为（誓，輕）.提示:（1）设 Pg yi）9 则 PF = - = a+x = a+ex:（2）设 P（x, yi）,贝IJ（+）2+（“一和）2=4,，练习：椭圆罟+亍=1的焦点分别为戸，F2,点P在椭圆上运动.（1）求证：当点P横坐标为0时，ZF,P F2最大.（2）当ZF、PF2为钝

4、角时，点P横坐标的变化范围为（一萼，翠） 例3我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）鬥为一个焦点的 椭圆.已知它的近地点A （离地而最近的点）距地面439km,远地点B （离地而最远的点）距地而2384km, AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨 道方程（课本33页例2）例4设动点P到点F（l, 0）的距离与到直线*9的距离的比为扌，求点P的轨迹方程. 答案：令+卜 说明：（1）本题的椭圆中，a=3, b=2逸,el,从而F（l, 0）恰为椭圆的右焦点，而直线x=9这条直线称为椭圆的（相应于右焦点的右）准线.（2）本题说明，椭圆上的点到焦点距

5、离与到相应的准线距离之比为离心率.（3）般地，椭圆条*=1 （ab0）准线方程为x=#.椭圆治乍=1 （t/b0）准线方（4）动点到泄点的距离与到启直线的距离之比为常数f（0eb0）的第一象限内的弧AB点的坐标是提示：设 P（cos0, bsin,且 OVX号，则 Se刖巧“b（ cos外sin,例8已知P在椭圆4F+9y2=36上，求点P到直线/： x+2v+15=O的距离的最大值和最小值. 答案：min=2 迈0）上的任意一点（非短轴端点），若M与短轴的两个端点B,夕的 连线分別交X轴与P，Q，求证：OP OQ为泄值.提示：设 M（“cosG bsin,狞*科% 例10在椭圆彳+亍=1上求

6、一点P,使它到定点0（0, 1）的距离最大.例11已知椭圆召祷=1的上顶点为C,右顶点为A,点B, D分别是椭圆上第一象限和非第一象限 的动点，求四边形ABCD积的最大值.提示：（两种方法：参数法，平行线间距离）例12 （组求离心率题）（1）已知戸，尺是椭圆的两个焦点，满足= 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是V22（2）在平而直角坐标系中，椭圆4 + 4 = 1（ab0）的焦距为2,以O为圆心，d为半径的 CT X圆，过点（,0）作圆的两切线互相垂直，则离心率=C% y*（3）已知椭圆+ = 1 b0）的左焦点为F.右顶点为A,点B在椭圆上，且肿丄x轴, cr直线AB交y轴于点P

7、若丽=2PB.则椭圆的离心率是解：对于椭圆，因为耳2两，则W20F,冷.（4）过椭圆二+匚=1（。0）的左焦点闩作x轴的垂线交椭圆于点只尺为右焦点，若ZFiPFz= 60%则椭圆的离心率为-y解：因为P（一g ）,再由ZF1PF2=60g有比=2从而可得幺=哲aa32 2（5）已知椭圆乂 +二=1 b0）的左.右焦点分别为F|（-c, 0）, F2（c, 0）,若椭圆上存在一点P使=二，则该椭圆的离心率的取值范国为sin斥佗smZPEjF；解：因为在F|PF2中，由正弦立理得一sinZP/7%PRsinZP/s?；胡二命，即册十甩设点 P (x 艸)由焦点半径公式，得 PF=a+exi)f P

8、F2=a ex 则 a(a+exo)=c(a exo)9.5=11e(e + 1)储-“，3l0, M-lVeVl.牙- yt（6）如图，在平面直角坐标系xOy中，Ai,出，Bi,血为椭圆+ - = 1（6/?0）的四个顶 cr lr点，F为其右焦点，直线和血与直线bF相交于点7；线段0厂与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为解：直线A02的方程为：+ - = H直线5F的方程为：-+ = 1.二者联立解得r（ d_C叱),则M(旦 ci_ca-c鋼）在椭略+卜心上,-a bc _b。、+ +)、= ,即 c2+0ac-3a2=09 :.e2+0e3=0. :.e=2/l -5.

9、 (a _ cy 4(t/-c)例13设椭圆C：卡+糸=1（Qb0）的长轴两端点为川，A,若椭圆上存在一点M,使ZAfMA =120%试求椭圆的离心率的取值范围.分析：本题即为存在椭圆与AAfMA外接圆。C有交点解：根据对称性不妨设M在；v轴上方设ZLVMA外接圆OC与y轴交点为D,则ZA7M=120。,2羽23c2Wb,A AACD为正三角形.0C： *+（尸亍）2=丁， 与椭圆方程联立，消去X得+学）2 2y2=g“2b223ah2/ crkr W 3c4，即：4 a2(a2c2) W 3c,.4(1K)W3e, .%豪，.0曰誓，1).法二：椭圆与44MA外接圆0C有交点，当且仅当ZA矽

10、A2120。（B为短轴的一端点）, /31）.例14已知椭圆十尸=1,求：（1）斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程：（2）过A（2, 1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;（3）过点P&, *）且被P平分的弦所在的直线方程.*22=2,x+xz=2x9y+yi=2y,V2- yI X2- XI解：设弦的两端点为Mg yj）, Ng y2）. MN的中点Pg y）则有$(1) 由一得(X2xi) (x2+x)+2(v2yi) (y2+yi)=0* 由、得三1 =一*由得所求轨迹方程为x+4y=0 （椭圆内部分）. 入2入I/（2）b.-XZZll=nl 乂 L=nl2J X2-X1 x-r

11、 乂T2-M 2y 2y x-2-.所求轨迹方程为a+2,22a2v=0 （椭圆内部分）.（3）由题意：；=,代入得 一=一*. ：所求的直线方程为厂芬一* （%|）.即 2v+4v-3=0.例15若椭圆3a-W=12上有不同的两点关于直线y=4x+?对称，求加的取值范用.3Ai2+4yr=12. xpFv2=2ao 12， y+y2=2yo,一得，3（Mf2）（xi+x2）+4（yiy2）（yi+y2）=0,、代入得一扌晋又由的中垂线y=4x+m 知，k.B= _ ：.yo=3xo代入 yo=4x（+加得：_ _；,又P（m, 3加）在椭圆内部，.3（沪+4（ 3?）212,合导V加V含导.

12、解法二：设椭圆上关于直线_y=4x+”?对称的两点分别为A（x, yi）, Bg, yi）.1 1则可设初的方程为尸一由尸得13加+16148=0,l3+4r=1214.=（一&）24x13x（16/248）0,即 12FV39，且 x+x2）=t.* （刃+$2）=（犷1 +一犷2+，）=一（X1+X2）=yjf,TAB的中点（扣1+X2）,如1+）吩）即诘/，特）在直线y=4x+m , ：.,t=4xt+m 即 尸一寻.代入得12（孕”）239,解得”八春，即含导?V台导课堂练习：一组课本习题1. 求下列椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标：(1) 16.r2+25y2=400；

13、(2) 4.r2+y2=16.2. 根据下列条件，求椭圆的方程：(1) 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6；(2) 中心在原点，一个焦点的坐标为(0, 5),短轴长为4：(3) 对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10,离心率为0.6：(4) 中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1；3. 下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？,2=36： (4)青4. 若椭圆和+荒=1 (ab0)过点(3, 2),离心率为習，求，b的值.5. 设F是椭圆的一个焦点，bB是短轴，ZBiFB=60。,求椭圆的离心率.6. 讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形： 1):(2)

14、.7. 判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴，y轴或原点对称：0)的离心率为丄，一个焦点恰好是抛物线y2 = 8x的焦点，则椭圆的m n2标准方程为.善+首=1X2 V219椭圆初祜=1 (ah0)的离心率右焦点F(c 0),方程ax2+bx+c=0的两个根分别为小X2，则点P(X|, *2)与圆+2 = 2的位置关系是点P在圆内丫2 y22、伍10. 椭圆R+淨=1(“方0)过点(1,且=3b,贝I =: b=. 3； 111. a丘(0,号)，方程sinaF+cosay? = 1表示焦点在a轴上的椭圆,则a的取值范I羽为(0, J)12. 如果椭圆的两个焦点为F】(-1, 0), F2(l

15、, 0), P是椭圆上的一点，且PR, F1F2, PF成等差数列，则椭圆的方程为 +=113. 若椭圆+=l(“b0)中的基本量b,c是方程a-2-7x+12=0的两根，则该椭圆方程为.諾=1或諾T14. 设P是椭闘争圭=1上的一点，Fi, F2是椭圆的两个焦点，若PFPFa则PF】与阳的差的绝对值是. 2岛15. 已知点P(3, 4)在椭圆牙+=1 (ab0)上，则以P为顶点的椭圆的内接矩形刊BC的而积为. 4816. 已知椭圆的两个焦点为Fi(-2g 0), (2辺，0),过尺且不与坐标轴平行的直线/与椭圆交于M, N点，如果ZJMNF2的周长为12,求这个椭圆的方程.17. 设点M(加

16、，0)在椭圆話+=1的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当MP的模最小时，点P恰 好落在椭圆的右顶点，求实数加的取值范囤.第3课第7页共11页解：设Pg y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为話+令二1，故一40W4.V MP =（xmt y）t2 A/P = （x）2+y2=（x加）2+12x（l 話）=x2 -Inix + , +12 = （x-4/27）2 +12-.44依题意可知，当x = 4时，MP?取得最小值.而xwT,4, 故有4/w 4，解得m 1.又点M在椭圆的长轴上,即一4m,求过B, D两点，且以AD为切线的圆的方程;（3）过点A作直线/交椭圆C于P, 0两点，过点P作人轴的垂线

17、交椭圆C于另一点S.AP=tAQ （rl）,求证：SB=tBQ .C = l,2c = 2,（1）设椭圆的标准方程为亲+荒=1 （“b0）.依题意得：2tr _w，得与AD垂直的直线与X轴交于点E,直线DE的方程是y坦=G（X-1）, /.E（ 0）,5所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为（兀一-尸+（ y逆）2=弓5525一一 =V42由方程组（*）可知方程组（1）成立，（2）显然成立.:.SB=tBQ.19. 设椭圆若+菁=1 (“b0)的上顶点为A,椭圆C上两点P, 0在x轴上的射影分別为左焦点3戸和右焦点凡，直线P0的斜率为二，过点A且与AC垂直的直线与x轴交于点B, AF/的外接

18、2圆为圆M.(1) 求椭圆的离心率；(2 )直线与圆M相交于E, F两点,且ME =求椭圆方程：2(3) 设点N(0, 3)在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于6竝，求椭圆C 的短轴长的取值范围.解：(1)由条件可知P(-c, - Q(c,),因为所以2丄.aa22(2) 由(1)可知，u = 2c,b = c,所以 A(0. V3c) F.(-c,0),B(3c,0),从而M(c,O).半径为“, 因为ME MF =-a2,所以ZEMF=120。，可得：M到直线距离为纟.2 2.c=2,所以椭圆方程为：y|+|= 1:(3) 因为点N在椭圆内部，所以b3,设椭圆上任意一点为K(

19、x, y).则 KN2=x2+(y3)2 W(6血尸.由条件可得：尸+18.，4/AH8920对任意y-b, h (b3)恒成立，.-9 -b,(一方)2 +18(-/?) 一 4, +189 n o (-9)2 +18(-9) 一 4, +189 n 0解之得 2/?e(6. 12/2-6X2 y2120. 如图，F是椭圆庐惊=1(ab0)的一个焦点M启是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为点C在x轴上，BC丄BF, B, C, F三点确定的圆M恰好与直线/】：x + 3y + 3 = 0相切.(1) 求椭圆的方程；(2) 过点A的直线h与圆M交于PQ两点，且MP MQ = 2 ,求直线b的方程.

20、解：(1)F(y, 0), B(0,低)，.血戶 J5, kg二,C(3c, 0),且圆 M 的方程为(A -c)2+y2=4c2,lxc +圆M与直线/： x+yf3u+3=0相切，71+3) 2所求的椭圆方程为+=143(2)的坐标为(-2, 0),圆M的方程为(x-l)2+=4,过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线/2的方程为y=k(x2),第3课第9页共II页AZPM/F+T4所求直线的方程为xx2岳 +2=0.21 平而直角坐标系xOy中，已知点A(1, 0)、3(1,0)动点(7满足条件aBC的周长为2+2辺动 点C的轨迹为曲线W(1) W的方程；(2) (0,血)且斜率为k的

21、直线/与曲线W有两个不同的交点P和Q,求斤的取值范围；(3) M( 0), N (0. 1),在(2)的条件下，是否存在常数匕使得向量帀+宛与mN共线？如果存在，求岀*的值：如果不存在，请说明理由解： 设 C(x,y), V AC + BC+AB = 2 + 22, AB = 2, A AC + BC = 2y/2 2 由上义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2也的椭圆除去与X轴的两个交点.2:a=迄,c=l, :. b2=a2-c2=. W： -+v2=l (yHO).(2)设直线/的方程为y=kx+d 代入椭圆方程，得y + ( + V2)2 = l.整理，得(丄+0F+2迄化y+1=0.2因为直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 = 8疋一4(g + Q = 4R 一20