拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。如果函数f(x)在(a，b)上可导，a,b上连续，则必有一(a,b)，使得f()*(b-a)=f(b)-f(a)拉格朗日中值定理的几何意义。在(a，b)上可导，a,b上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。理解这个定理说的是什么1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a)和(b,f(b)点的连线平行）。f()=f(b)-f(a)/（b-a），

2、等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。2.我们将f(x)函数求导，得到f(x)，众所周知f(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f(x2)的变化。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一

3、定在f(x)的某一点上出现过（即f()），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【】。即所谓的必有一，使f()*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。1其它形式拉格朗日中值定理的几何意义令f(x)为y，则该公式可写成y=f(x+x)*x (01)上式给出了自变量取得的有限增量x时，函数增量y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。f(b)-f(a)=f(a+(b-a)（b-a）,01.f(a+h)-f(a)=f(a+h

4、)h,01.定理内容若函数f(x)在区间a,b满足以下条件：(1)在a,b连续(2)在(a,b)可导当acb时，则在(a,b)中至少存在一点f(c)=f(b)-f(a)/(b-a)；或使公式f(b)-f(a)=f(c)(b-a) 成立，其中acb证明证明:如果函数f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一a,b使得f()*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成y=f(x+x)*x(01) 上式给出了自变量取得的有限增量x时，函数增量y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。定理内容若函数f(x)在区间a,b满足以下条件:(1)在a,b连续(2)在(a,b

5、)可导则在(a,b)中至少存在一点c使f(c)=f(b)-f(a)/(b-a)证明:把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)=f(b)-f(a)/(b-a)x.做辅助函数G(x)=f(x)-f(b)-f(a)/(b-a)(x-a).易证明此函数在该区间满足条件:1.g(a)=g(b)=0;2.g(x)在a,b连续;3.g(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证几何意义若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a),B(b,f(b)两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。物理意义对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。推论如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。证明：f(b)-f(