武汉理工大学线性代数试卷期末考试卷子

1、武汉理工大学考试试题5题号一二三四五六七八九十总分题分121236151510100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3分，共12分）1、已知是行列式的元素的代数余子式，则_；2、设矩阵，为的伴随矩阵，且，则_；3、设向量组，是空间的一组基，要使，可以构成空间的一组基，则必须满足 ；4、要使实二次型为正定的，则必有k的值满足 。二、单项选择题（每小题3分，共12分）1、设为3阶矩阵，若，则 ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) ； 2、设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，则下列命题正确的是 ；(A) 若的解均是的解，则；(B) 若，则的解均

2、是的解； (C) 若与同解，则； (D) 若，则与同解3、设P为n阶正交矩阵，x是一个n维列向量，且|x|=3，则|Px|=_；(A) 1； (B) 3； (C) 6； (D) 9；4、 设为维列向量，且；为阶单位矩阵；令，则下列说法错误的是 _。(A) 是对称矩阵； (B) 是可逆矩阵； (C) 是正交矩阵； (D) 是正定矩阵.三、计算题(每小题9分，共36分) 1、计算n阶行列式 2、设矩阵，求；3、设是3阶方阵，互换A的第一、第二列，得矩阵B；再将B的第二列加到第三列上得矩阵C；求满足 的可逆矩阵；4、设向量组求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示其余向量。四、(15分)已知线性方

3、程组 （1）为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分）五、（15分）已知实二次型； （1）写出对应的矩阵A；（3分）（2）求正交变换（必须写出相应的正交变换矩阵）将化为标准形（或法式）。（12分）六、证明题(每小题5分，共10分）1、设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不再是的特征向量。2、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，试证明线性无关。武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）

4、1、 2； 2、 1； 3、 ； 4、 二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ； 2、 C ； 3、 B ； 4、 D三、解答题（每小题9分，共36分）1、 .（4分）.（9分）2、记 ，则；.（4分）又，所以。.（9分）3、由题意有，.（4分）于是 ，所以。.（9分）4、.（4分）则，且线性无关，所以即为的一个极大无关组，（7分）且；.（9分）或者取，；还可以取，四、解 .（4分）所以当时，方程组有唯一解；.（6分）当时， ，所以方程组无解。.（8分）当时，；此时原方程组有无穷多解；.（10分）有，取得原方程组一个特解；.（12分）；得导出组的基础解系；所以原方程组的通解为：，其中为任意常数。.（15分）五、 .（3分）由求得的特征值为.（6分）对应，解方程，解方程，由，得基础解系。将其单位化得。.（9分）对应，解方程，由，得基础解系；.（12分）将正交化，取，；再将单位化，得.（14分）得正交矩阵，有.（15分）六、1、按题意，有，故.（1分）假设是的对应于特征值的特征向量，则；.（2分）于是 ；即.（3分）又因为和是矩阵的两个不同的特征值，所以与线性无关，故，即得这与题设矛盾，所以假设不成立，即不是的特征向量。.（5分）2、设，即 。 .（1分）以左乘该式两