中点模型地构造、等积模型

1、实用标准文案几何综合题型一：中点模型的构造中点模型 中线（点）：倍长（类）中线 两中点：中位线 等腰三角形底边中点：三线合一 直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半 构造两等腰 中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线.典题精练【例1】 如图，在平行四边形 ABCD中，点M为边AD的中点，过点 C作AB的垂线交AB于点 E,若ZEMD = 3 ZMEA .求证：BC=2 AB .BC【解析】证法一：如右图（a）,延长EM交CD的长线于点E，连结CMAB /CD,dMED = ZMEA .又 AM = DM , ZAME = ZD

2、ME4FM =)E M .EM = E MAB /CD, CE丄AB,EC 丄 CD.CM是Rt AECE斜边EE的中线， ME = MC .ME D E CM , ZEMC = 2 ME D = 2 ZAEM . ZEMD =3 ZMEA ,ZCMD = ZDCM ,MD = CD .AD = 2 DM , AB = CD , AD = BC,BC = 2 AB .(b)B/ 一十一 M E证法二：过点M作如右图(b),过点M作MM / AB交BC于MM E / ME交AB的延长线于点 E，连接EMEAM ,点M是BC的中点，EE AB , E BMM E B MEA, M MD EAM E

3、 BM点M是Rt AEBC斜边BC的中点， M E BM , BEM M BE . E BM 180 BEM .E ZEMD = 3 ZMEA , M MD 2 MEA ,(a)M D E BM 2 M E B180 BEM 2 M E B1M E B 90 BEM .2 E EM E . EM EE ,.BM AB .BC = 2 AB.【例2】 如图所示，分别以厶ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点， 求证：AM丄EG ；(2)求证：EG = 2 AM .精彩文档E【解析】 如图所示，延长AM到N，使MN = AM，延长MA交EG 于点P

4、,连接BN、NC.BM = CM ,四边形ABNC是平行四边形.BN = AC = AG .tzEAG + ZBAC = 180 ,/ABN + ZBAC = 180 , zEAG = /ABN .AE = AB,ZEAGSBN . ZAEG = /BAN .又t/EAB =90 , ZEAP + /BAN = 90 . ZAEP + ZEAP = 90 .MA 丄 EG. 证明：EAGBABN ,.EG = AN = 2 AM .题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图，正方形 ABCD中，E是AB上一点，FG丄DE于点H .求证：FG = DE.求证：FD + BG 2FG .A

5、 FDA FD【解析】延长 GC到点P,使得GP = DF,连接EP, DP. vDF /GP, GP = DF四边形DFGP为平行四边形FG = DP, FG/DP又rFG丄 DE,.DP 丄DE zADE = ZCDP在ADE和CDP中DAE DCPDA DCADE CDP4ADE 也DPDE = DP = FG由知道 DEP为等腰直角三角形EP 2DE 2FG在AEGP 中，EG + DF = EG + GPPE =2 FG当EG/FD时，取到等号【例4】 如下图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线 EF、GH，若APBD的面积为8平方分米，求平行四边形 PHCF的面积比平行四

6、边形 PGAE的面积大多少平方分米？B HC【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形 BCFE的面积与平行四边形 ABHG的面积差.如右图,连接CP、AP.可得:Sa bcpSa adp1-ABCD2Sa abpSa bdpSa adp1Sabcd2所以Sa BCDSa abpSa bdp实用标准文案而Sa BCPSbcfe , Sa abp2Sabhg ,2所以SbcfeSabhg2 SabcpSaabp2 & BDP 16（平方分米）.题型三：旋转典题精练【例5】 已知AABC和AADE都是等腰直角三角形，/ABC= ZADE=9

7、0 ，点M是CE的中点，连接BM.如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与 BM的数量关系为. 如图，点D不在AB上，中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图1图2【解析】 BD = . 2BM结论成立，证明：连接 DM，过点C作CF/ED,与DM的延长线交于点 F,连接BF,可证得MDE BJMFC,DM = FM , DE = FC,AD = ED = FC,作AN丄EC于点N ,由已知/ ADE =90 ,ABC =90 ,可证得/ 1 = Z2,Z3 = Z4 ,CF/ED,/ = ZFCM ,/BCF = Z4 + ZFCM = Z3

8、 + Z1 = Z3 + /2 = /BAD. zbcfbaad,.BF = BD ,/5 = Z6,zDBF = Z5 + ZABF = Z6 + /ABF = /ABC = 90/DBF是等腰三角形，点M是DF的中点，则ABMD是等腰三角形，BD = 2BM【例6】 已知正方形 ABCD，在BC边上取一点 E，作EF AE交BCD的外角平分线于F，求证：AE EF .【解析】法一：如图，连接AC，过E作EG BC ,交AC于G . AEG 90 GEF , FEC 90 GEF , AEG FEC 又 GEC为等腰直角三角形， GE CE 又 ECF 9045135 , EGA 18045

9、135 , ECF EGA ,AEG 也/ FEC，故 AE EF 法二：如图，过E作EG BC，交FC的延长线于G ,连接AC ,则 ECG DCF 45 , EGF 45 , EG EC 而 ACE 45 , EGF ECA 又 FEG 90 FEC , AEC 90 FEC , FEG AEC，有 EFG EAC , AE EF 法三：在 AB上截取BN= BE，证明 ANE ECF即可;精彩文档思维拓展训练（选讲）训练1. 如图所示，等腰梯形 ABCD中，AB /CD, AD = BC, AC与BD交于点O,/AOB=60 , P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证： PQR是正

10、三角形.【解析】证明：如右图，连接 BP、CR.四边形ABCD是等腰梯形，AD = BC, OA = OB, OC = OD ./ZAOB = 60 ,KOB、ACOD都是正三角形.卩是OA的中点，R是OD的中点，BP丄 OA, CR丄 OD .PR是AODA的中位线，11PR =AD -BC .22PR = PQ = QR.ZPQR是正三角形.训练2.如图，四边形 EFGH中，若12，则 3必然等于4 .请运用结论证明下述问题:求证： 7如图，在平行四边形ABCD中取一点P，使得 56 ,AD48P7H2FBG(1)难点在于如何理解已知条件种方法CKBKADBKAP8CDABPKBK ADP

11、 BCKBKP65AADA81P5PPKBBBII CDII AP【分析】此题为信息题在四边形BKCP中P 作 BK II AP四边形PKCD为平行四边形（6不动移5）条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决而构造平AB II CDPK II AB5与6关系并不像PD CKPK CDAD BCPK II AB，交于点K，连接5 P【解析】分别过点 B788 BCKBPK BCK区时可得出3和4相等（本质为四点共圆）-图中PK AB,5BKP ,7 BPK行四边形，恰可以达到改变角位置作用， 为使 5与 6成：.形，我们可有如下四-C6一 CC6 - C、D8 D8 -

12、经观察我们发现，若 1和2 ,位置为6F CE(Z5 / 2（5不动移6）（25不动移2 6 ）训练3. 已知：在厶ABC中，BC = a, AC = b，以AB为边作等边三角形 ABD .探究下列问题： 如图（a），当点D与点C位于直线 AB的两侧时，a = b = 3，且/ACB =60。，则CD =;如图（b），当点D与点C位于直线 AB的同侧时，a = b = 6，且/ACB =90。，则CD =; 如图（c），当ZACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及(b)【解析】3 .3 ； 36 3.2 ; 如图（d）,以点D为中心，将 DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点 E,连接 AE、CE、DE.