相似三角形典型综合题

1、一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 RtKBC 中，/ACB=90 ,AC=3 , BC=4 ,过点B作射线BB1 /AC .动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿求 CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函 数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角 形时，求出t的值.射线AC方向以每秒3个单位的 速度运动.过点D作DH丄AB于H，过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接DG .设 点D运动的时间为t秒.(1 )当t为何值时，AD=AB，并求出此时 DE的长度;(2)当厶DEG与AACB相似时，求t的值.3.如

2、图 1，在 RtABC 中，一ACB = 90 ,AC = 6 ,BC= 8，点D在边AB上运动，DE平分二CDB交边BC于点E, EM丄BD，垂足为M , EN丄CD，垂足为N .2.如图，在AABC 中，一ABC = 90 ,AB=6m , BC=8m ,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同(1 )当 AD = CD 时，求证：DE /AC ;(2)探究：AD为何值时， BME与CNE相似?71时，动点Q以1m/s的速度从C 点出发，沿CB向点B移动.当 其中有一点到达终点时， 它们都 停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求 CPQ的面积;4.如图所示，

3、在ABC 中，BA = BC= 20cm , AC = 30cm , 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向 A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设 运动的时间为X.(1 )当x为何值时，PQ /BC?双垂直模型(2 )MPQ与CQB能否相似？若能，求出 AP的长； 若不能说明理由.、构造相似辅助线点A的坐标为(2 ,1),6.在平面直角坐标系 xOy中,正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45 求这个正比例函数的表达式.5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm , BC=6cm，点 P沿AB边从A开始向点B

4、以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t ( s)表示移动的时间(0 v t v 6 )。(1 )当t为何值时， QAP为等腰直角三角形?(2)当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边0A在x 轴上，边 0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将 矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为（）广4 1DA.B.I用1巧、(3 12C.I门丿pl心丿8.在ABC 中，AC=BC，/ACB=90。，点M 是 AC 上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线 M

5、N折叠，使得点C恰好落在边 AB上的P点求证：MC : NC=AP :PB.10.已知，如图，直线 y= - 2x + 2与坐标轴交于 A、 B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD , 使得矩形的两边之比为 1 : 2。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线A、X字型7.在ABC 中，AB= ： . , AC=4 , BC=2，以 AB 为边在C点的异侧作 ABD，使AABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.=211.如图：AABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC , BC 边DE(1)当-二时，EF=-(2)当时，上的中线AE交CD于F。AL CF求证：工二EF=-DE它=3当

6、-匚时参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明.DC12.四边形 ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC 平分/ DAB。14.已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、13.在梯形 ABCD 中，AB /CD , AB = b , CD = a , E 为 AD边上的任意一点，EF/AB，且EF交BC于点F,某同学在F是BC上的两点，且 BE= EF= FC。研究这一问题时，发现如下事实:求 BN : NQ : QM .四、相似类定值问题16.如图，在等边厶ABC中，M、N分别是边AB , AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、

7、AB于点E、F.113十=求证：-上15.证明：（1 ）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于2该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分 对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD交于 0,过0作EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F。1 1 _ 1求证：丄19.已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF，设菱形的边J=丄长为a .求证：T T-.18.如图，在 ABC中，已知 CD为边 AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在 ABC上。1 1 _ 1求证：営一二一齐

8、.五、相似之共线线段的比例问题20. (1)如图1，点厂在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA, BC的延长线于点Q, S,交匸，二于点儿一.求证：亠(2)如图2，图3，当点在平行四边形 ABCD的 对角线-V或二三的延长线上时, 二 二 二是否 仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明 理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)ElE 221.已知：如图， ABC中，AB = AC , AD是中线，P是AD上一点，过C作CF /AB ,延长BP交AC于E,交 CF 于 F.求证：BP2= PE PF .22.如图，已知ΔABC 中，AD , BF分别为B

9、C,AC边上的高，过D作AB的垂线交 AB于E,交BF于G,交AC 延长线于 H 。求证:de2=eg ?eh且ZBPC为直角.求证：PD2 =AD丄BC于D , H为;在AD上有一点P,AD DH 。24.已知，如图，锐角 ABC中,垂心（三角形三条高线的交点）23已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.PE _PH六、相似之等积式类型综合求证：卜25.已知如图，CD是Rt KBC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：A7 - 75= S? Z527.如图， ABC 是直角三角形

10、，/ACB=90 ,CD 丄 AB 于D , E是AC的中点，ED的延长线与 CB的延长线交于点F.(1 )求证：-：-(2)若G是BC的中点，连接 GD , GD与EF垂直吗？并说明理由26如图，在RtABC中,CD是斜边AB上的高，点在CD上，DH丄BM且与AC的延长线交于点 E.求证：(1 )MED s/cbm ； (2 )心 -=-_-LD28.如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点 M ,CG与AD相交于点 N .求证: 一二匸=二1沁七、相似基本模型应用30. ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A= / D=90 ，/DEF的顶点E

11、位于边BC的中点上.(1 )如图1，设DE与AB交于点M , EF与AC交 于点N，求证： BEM sNE ;(2)如图2，将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC交于点N，于是，除(1 )中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.29.如图，BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DG丄BC于G,分别交CE及BA的延长线于 F、H。求证：(1) DG2 = BG CG; (2) BG CG= GF GH32.如图，在ABC中，AD丄BC于D , DE丄AB于E,DF丄AC于 F。求证：AE _ AC31.如图，四边形ABCD和四边形A

12、CED都是平行四边形, 点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q .（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1除外）； （2 ）求 BP: PQ : QR .答案：1.答案：解：(1 ) 厶CB=90 ,AC=3 , BC=4 AB=5又AD=AB , AD=5t=1，此时 CE=3 ,DE=3+3-5=1如图当点D在点E左侧，即：0 Wt鼻时，DE=3t+3-5t=3-2t若ADEG与AACB相似，有两种情况:DE _ EGADEG s念CB，此时止-:3-2i 23二即：4 ,求得：匸；DE _ SGADEG s/BCA，此时二-，zACD= ZCDEDE /AC(2)/NCE=

13、 ZMBE3-2i 2EM 丄 BD , EN 丄 CD ,t=-;z.ZBME sCNE，如图c如图，当点D在点E右侧，即：t二时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若3EG与ACB相似，有两种情况:DS_ EG QEGsCB，此时，工二,2U-3 29二即：-4 ,求得：t= ；DE _ EG ADEGs/BCA，此时丄-,2i-3_217即：，求得：t= .3917综上，t的值为或匚或或.3.答案：解：(1)证明：T AD=CDzA= ZACDDE平分二CDB交边BC于点EzCDE= ZBDE zCDB为ACDB的一个外角zCDB= ZA+ ZACD=2 ZACD zCDB= ZCDE+

14、 ZBDE=2 ZCDE ZICE= ZMBEBD=CD又ZNCE+ ZACD= ZMBE+ ZA=90 zACD= ZAAD=CD1AD=BD=二 AB 在 RtKBC 中，一ACB = 90 ,AC = 6 , BC= 8AB=10AD=5ZNCE= ZMEBEM 丄 BD , EN 丄 CD ,z.ZBME s/ENC，如图行于y轴的直线交x轴于点C ,过点B作BD丄ACJNCE= ZMEBEM /CDCD 丄 AB在 Rt KBC 中，二 ACB = 90 ,AC = 6 , BC= 8 AB=10 vzA= /A，/ADC= /ACB 公CD s公bcAD _ ACe18AD 二二一

15、=18综上：AD=5 或-时，ABME 与ACNE相似.4.答案：解（1）由题意：AP=4x , CQ=3x , AQ=30-3x0x -ED.4十二_ S.iC-D= 90 r 49(V 二4亠亠妙卩:厶QdD空：PD灰:、AS、DQ=EP方法二：如图,过M 作MD丄AB于D，过N作NE丄AB于E由双垂直模型，可以推知APMD s NPE ,则MD _PD _PM茁_丽_而根据等比性质可知NE=EB , PM=CM9.答案：A8.答案：证明：方法连接PC,过点P作PD丄AC于D，贝U PD/BC解题思路:如图MD + PD PM广匸二 -_，而 MD=DA,PN=CN ,.MC : CN=P

16、A : PB/2+ /PCN=90。，启CN+ /CNM=90/2= ZCNMvzCDP= ZNCM=90 ZPDC sMCNMC : CN=PD : DCPD=DAMC : CN=DA : DC根据折叠可知MN丄CP过点D作AB的平行线交BC的延长线于点 M，交x轴于点 N，则 ZM= ZDNA=90 ,由于折叠，可以得到 ABC zADC ,又由B (1 , 3)BC=DC=1 , AB=AD=MN=3，/CDA= ZB=90 Z1+ Z2=90 / ZDNA=90 Z3+ Z2=90PD/BC/仁Z3 DMC “伽。,CM _DM _CD而二丽二乔飞设 CM=x，贝U DN=3x,AN=

17、1 + x, DM =*3x +- = 3OA GB 1二二二二 2GB=2 , GC=4GO=4C （4,4 ）同理可得厶ADF s/BAO，得OA _DF-厂-DF=2 , AF=4 OF=5 /-D （5,2 ）过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平11.答案：证明：（方法一）如图A/行线交x轴于F,交GC的延长线于E。直线y= - 2x + 2与坐标轴交于 A、B两点 A（ 1,0），B（ 0,2）OA=1,OB=2 , AB=广AB : BC=1:2BC=AD= zABO+ /CBG=90 ,jABO+ /BAO=90zCBG= ZBAO延长AE到M使得EM=AE，连接CM

18、BE=CE，/AEB= ZMEC 3EA 也zCEMCM=AB，/仁 ZBAB /CMZ/l= /MAD , ZMCF= ZADFICF sadfCF _ CMCM=AB , AD=ACCF _ CM _ AB又 vZCGB= ZBOA=90 ）AB sBCAC为AB、AD的比例中项（方法二）一二AD _ AC即亠1-一 k又/1= Z2过D作DG /BC交AE于G kCD s公bc贝ABEs念DG , CEFs/DGFAB BE CF _ CE 盂丽 DF15d ?AD=AC , BE=CECP _ BE _ AB二二二BC2 AB-AC ABCD2 AC-AD ADBC2 _ BE77三4

19、12.答案：证明：-J13.答案：解:过点D作DF /AB交AC的延长线于点 F,则/2= /3证明:AC 平分/ DAB/l= Z2/l= Z3AD=DF JDEF= /BEA ,/2= Z3z.ZBEA s/DEFAD=DFBS _ ABEF =a + bkt+1过点E作PQ /BC分别交BA延长线和DC于点P和点QAB /CD , PQ /BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PB = EF= CQ ,DQ_ DE又AB = b, CD = aAP = PB-AB = EF-b , DQ = DC-QC = a-EFD 为 BC 的中点，/ ODB =ZFDCZBOD 也zCFD

20、BO = CFEO _ 1二 1SO 2连接MFM是AC的中点，EF= FCMF /AE 且 MF =二 AE AZBEN ZBFM /.BN : BM = BE: BF= NE : MF VBE= EFBN : BM = NE : MF = 1:2BN : NM = 1:1 设 NE = x，贝U MF = 2x , AE = 4x /-AN = 3x MF /AE/.ZNAQ ZMFQ /-NQ : QM = AN : MF = 3:2 /同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长 的二过点C作CF/BE,交AD的延长线于点 F(2)血CF /BE且E为AC中点 z

21、AEO =ZACF ,/OBD =ZFCD , AC = 2AE zEAO =ZCAF如图2 , AD为ZABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于 E贝UZ BAD= ZEAD为ZABC的角平分线ZBAD= /CADzE= /CADAC = CECE /AB/BAD sed公EO sZcfEO AE _ .CF1C2.CE CD公OE s/ACD , ADOE s/DBA16.答案：证明EO _ AE SQ _ DE.二匸-,，二 二EQ EQ AE DB d+ + 18.答案：证明： EF/CD, EH /AB2匸二二一一二二 一：三戸=上 ?女口图，作 DP /AB, DQ

22、 /AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且公FEsADC , ACEHs/caBDPQ是等边三角形BP+CQ = MN , DP = DQ = PQM、N分别是边AB, AC的中点MN = J BC= PQDP /AB, DQ /ACJCDP s/cfb , ABDQ s/becDP _ CP DQ _ BQ乔丽西旋 ,DP DQ_CP BQ _BC+PQ _3.LF1 丄DP = DQ = PQ = L BC = L AB11 I 3二 AB （匸）= 1I 1 _ 3AE _ EF CS _ EH ACcfi ACEF= EHEH EF EF EF CS AE . + + I

23、 .AB CD AB CD AC AC19.答案：证明： EF/AC , DE /BC一壬* 5ZBFEsZBCA , AAED sabcBE EFDE AEFCABEF + DE_BEAE_AEBE_X .AC BC AB AS AB17.答案：证明： EF/AB , AB/DCEF/DCEF= DE = a1 1 1+二.AC BC a20.答案：(1)证明：在平行四边形 ABCD中，AD /BC,JDRP= ZS，/RDB= /DBSZDRP s/bspPR DP二同理由AB /CD可证 PTDs/pqb21.答案:证明PT DP PQ BPAB = AC , AD 是中线,AD 丄 B

24、C,BP=CP /= Z2PQPR = PSPT(2)证明：成立，理由如下： 在平行四边形 ABCD中，AD /BC,zPRD= ZS，/RDP= /DBS又ZABC= ZACB /3= /4z.ZDRP s/bspPR _ DP二同理由AB /CD可证 PTDs/pqbFT DP.PQ BPPR PTCF /ABZ3= ZF,Z4= ZF又ZEPC= /CPF/.ZEPCs:pfP_=PC_ J/.BP2= PE PF 即证所求22.答案：证明： DE丄AB.二三七丄.；+丄二 j_.；_ = 90 上三七二+_：二 一 = 90 ,PQPR = PSPT BED=DEA公DE s/dBEA

25、E _ DS厉五DE2=AE-BE 四边形ABCD为平行四边形H为垂心24.答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E, zF= ZFBF 丄 AC一上匚90 ?= 90 且-F:-J _三巧.占三了=一_亍 ZBEG s/HEABE _ EG.二 J2W 三=三上-.dE2=EG•EHAB /CD , AD /BC/= Z2,ZG= ZH ,/5= /6 ZPAH s/pcGPH PA.八=ZV又 vZ3= Z4 PE scpfPE PA.ir 二 WPE PHBE 丄 AC/EBC+ ZBCA=90 AD 丄 BC 于 D ZDAC+ ZBCA=90 zEBC= ZDAC又ZBDH

26、= ZADC=90 .ZBDH s/DCED _AD.页一云,即BDDC=AD-DH ./BPC为直角，AD 丄 BC /.PD2 = BD·DC /-PD2 =AD·DH25.答案：证明：CD是Rt /ABC斜边AB上的高，E为BC的中点CE=EB=DEzB= ZBDE= /FDA zB+ ZCAB=90 ，/ACD+ ZCAB=90 zB= ZACDzFDA= ZACDDA s/FCDFD_AD二vzADC= /CDB=90。，启=ZACD CD sJcbdAD _ ACFD_AC二匚即二匚二二二白m匸26.答案：证明：（1 ）v/ACB = ZADC = 90

27、:./A + /ACD = 90 FD_FB_27.答案：（1 ）将结论写成比例的形式，丁匚 ：匚, 可以考虑证明 FDBs/FCD （已经有一个公共角/ F）RtXCD中，E是AC的中点DE=AEZA= /ADEvzADE= /FDBZA= /FDB而/A+ ZACD=90 ZFCD+ ZACD=90 /A= ZFCDzFCD= /FDB而/F= ZF/BCM +/ACD = 90 /A = /BCM同理可得：/ MDH =/MBD/DMB =/CDB +/MBD = 90 +JMBD/ADE =/ADC +/MDH = 90 + /IDH /ADE =ZCMB公ED s/cbmAE AD(2)由上问可知:CB CM，即 AE CM=AD-CB故只需证明土二二-即可 BD s/fDCFD _ FB5 7 二-C 亠匕（2）判断:GD与EF垂直Rt/CDB中，G 是 BC 的中点，/-GD = GB 4DB= /GBD 而/GBD+ /FCD=90。又/ FCD= /FDB （ 1 的结论）/GDB+ /FDB=