第2章导数与微分总结

1、1基础总结1、极限的实质是：动而不达limo导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是:2、导数的多种变式定义：lim -= limx 0 x x 0f(xX)f(x)xlimx xof(x)f (xo)Xo要注意细心观察发现,lim 丄一x)f )是描述趋近任意 x时的斜率。而x 0叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。3、I若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。4、可导与连续的关系:导数的实质是定义在某点的左右极限。 既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。

2、 不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义:lim f(x x) f(x)x 0xlim f(X X)f(0)。x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf(x)论)x 1 x x0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在!由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A旦主謎

3、IC mF左电鼓pg总生戟乞f ( x) f (x)定义解决时候一定要注意问。XXo-中的f(x)至u底是神马。比如求上图由此也可以知道，f (x)2x3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。5、反函数的导数与原函数的关系:有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。f (X)(f 1(y)但是注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。举例子:反函数的导数是x求y ex的导数。显然反函数(不要换元)是x in y反函数导数的倒数是y=ex，因

4、此，(y e)再如，求arcsin(x)的导数。解：令函数为y arcsin(x)，则其反函数为sin y ，导数的倒数为1(arcsin x)。但是必须消去y。因此变形得cos y一_-(注意到在定义域内1-si nycosy恒为正，因此舍掉负解)1_1.1-si ny2. 1-x26、复合函数求导法则:只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。7、高阶导数:如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低 于n阶的导数。sin(n)(x) sin(x ) ; cos(n) (x) cos(x );其余的也记不住，自己慢慢推导。2 2(u v)(n) u

5、(n) v(n);nnk n k k(u v)Cnu v二项式定理中有：n;类似的，乘法的n阶k 0(u* v)(n)k)v(k)这个是要熟练记忆的。导数也有:舟形式求解。8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用 只有这样才能准确，安全，方便。举例：求e xy e 0 （隐函数f（x,y）=O ）中y对x的导数 dx解：两 边 求 导，d xy e）竺dxdxd(ey xye) dxdey dxy de) dey dy dxdy dxdxydxey鱼ydx型(ey x)鱼y 0鱼dx dx dxdxdx解完以后发现效果还不错e x如果直接用

6、什么y神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。复合隐函数如何求导？如，如何求dex ydx?简单，dex ydex yd(x y)dx d(x y)dxy(1乎）。怎么样，就是层层剥香蕉的意思。dx参数方程同理，设x(t)y(t)，则简单,而且显然有dy詈dx嘅，二阶导dt dxd(緡dx岐捡述y“（t）x（t） y；（t）x”（t）。麻烦吗？根本不要记, dt dx连参数方程的公式都不要记，自己慢慢算，算到哪里推导到哪里，简单又方便。相关变化率问题，是说字佥之间的关系求dy时有一个技巧，如果函数含有幕指数，包括这一类(幕指数是-)dx2般都是对方程两边先求对数，再求解，这样

7、求解起来应该会简单。9、微分微分用dy表示。dy y .微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x后对应的近似的y 。实际上，y f (x x) f (x)，若可以化简成 y f (Xox) f(xo) k x o( x)形式，则称f(x)在该点x0处可微记作dy |x X。 k x，这部分称为线性部分。o( x)是x的高阶无穷小，因此 在计算时可以省去，这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y 了。y( k x o( x)0当 x 0 时，dy( k x) 0，经过计算 llxmo_dy =.=1，可见，dy与y在 x 0时是等价无穷小，即有y : dy可微与可导的关系：可微和可导是等价

8、的，互为充要条件。关系如图课本上的一些重要易错的题1 arccos(-)x的导数解：字dxpr*(1 x21_|x|X2 , X2|x| *一1要注意的就是 x2 x2、试从竺丄导出ddy yxdy2y(y)3解:吐盛dy2dy11d d -yy* dxdy dx dyy * 1(y)2 yy(y)33、设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是:1 ,lim h f (a ) f (a)存在 hh叫HhmoHh叫HhD4、f(x)sin x, x 0 ln(1 x), x 0在0处的单侧导数 f (0)解:注意，不能用讥垃严，应该用xiffJ才能算出来个要

9、注意。如果用讥心x) f(x)怎么算?13.甲弱以吐mb酌逹率向东行驶，乙賂以Ekmh的連率向南厅出在中午十二点此乙昵 醫于甲船之北1知处.问下牛一点正两寵相扈的速率为多少丁V设从中午十二点开給一经迂r小对商嚅之阖的磋离为工瓦有訪耍=-1罠16-朋牙，dS -16d6-&)+7 矿 25当Al时，E=gdS曲128t7220=-2 8 (km h).叩下竿一点正两嗚梅卷的連更为2.km h此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题2扩展部分第二章导数与微分第一节导数槪念知识要点与考点1导数概念【粤点】由瞬时速度与切线斜率等典型实例可引入导数定义”简记为 八!/（為+心/缶dfj C

10、-Tqz Lith *fgf。4ra工鼻窃或f S = lim器日im/U十2一八巳gFQAf Qifl要注意函数在一点轨处的导数是数值孑而在某区间I上的导（函） 数是函数并且rtxo）与 gj丁m rco）与/（Q）了（=o）具有不同的涵义.左、右导数分别为二/(氐+求x=xO处导数有两种定义:f(Xg)limx 0f(XX) f(Xp)x Xo而x处的导函数只有一种定义f(x)limx Xof(x) f(Xo)x Xof(x h) f(x)Am h3.曲线的切线方程与法线方程 切线半yy f （工JQ工i法线:y%= 尸（；抒&_齐匕可导与连续的关系: 可导指的是：存在左导数和右导数，且两

11、者相等。而左导数还是右导数的实质是单侧极限问 题。而若两侧（导函数的）极限都存在，那么必然该导函数存在极限，即该种极限的导函数 即导数存在。故可导的充要条件是存在左右极限且相等。单侧导数与单侧极限一样，光有一个说明不了导数（极限）存在 可导必然连续，连续未必可导。因为连续在公式上的表现是lim与=可导在公式上表现是存在lim f =sec ztan t. csc ,r) = esc xcot r3.其余基本初导函数的求导公式(arcsin tY -arccos 丁)=,-/l -r(arctan 上尸=( arccot x)J t； 十无1 反函数的导数若才=侃W在区间人内单调.可导且则其反函

12、数y 瘁八小在对应区间人内也可导，且2.复合函數求导法则I连锁规则)(考点】 dy _ dy du du dx du dv反函数存在的充要条件是原函数单调。要注意中自变量是什么。是 f(x)1(y)而不是f(x)1(x)，疋要注意Tan, cot , sec, esc, arctan , arcsin , arccos , arccot 导数都可以自己推倒出来。用的就 是反函数的导数公式。arcsinQ -1sin(y) cos(y) . 1 si n2(y)(logax)1ay In a1xln a如果哪个忘了，要能够自己推导。第五节高阶导数知识要点与考点1高阶异数的概念由加速度引入二阶导数

13、般地+_ 1)阶导数的导戲叫做匕墮曼婪，记为 豊仝2.计算离阶导数的公式 【考点】樹用如下公式计算高阶导数；ra为常数”芳(Tn)n * mN)；(#) s严一 1)(戸一挖 + )才i G R )；r (lo岳工=(一liG 1) J 工f loge*On 工) = (-工In (1+刃严=1厂心_1)! (1+jt)-j5 (sin r)E=$iii 工 +梵守;，(cos xf,lcos 工 +号)；6 (肚 士卍=t/讨 i/柿 9 (cu u=cu(- ；* =0n nk n k k【回忆】牛顿二项式展开(a b)Cna b与莱布尼茨高阶导形式类似。0这一节就是练习给出f(x)求 f

14、(x)(n) 。本节的题比较难。主要方法是：1归纳法。将f(x)，f(x)求出整理归纳出n阶导数莱布尼茨公式求UV乘积的高阶导数2遇到一些求分数函数的高阶导数的式子，一般就要先化简。最好是想办法化成和的形式,再分别求高阶导数。3遇到三角函数的高阶导数时，要把三角函数降阶到1阶再求。一般给出f(x)求f(X)(n)需要综合运用各种方法才能算出来。如先化简，再用归纳法，莱布尼茨公式等。还有题是变量替换题。d 2 yx鱼dx做变量代换证明:dydtd2yx=sint，证明一2y adtcost 勺 dxdy*dxdx dt2y 0d2y dt2d(costdt2“ d 2y(1-sin t)-dxc

15、ostdtsin t 型(1 x dxsint 鱼 dx2) d2y)dx2x d 2 y dx .丄 dy cost 2 sin t dx dtdxdyx -dx例：设y=y(x)定义在(-“)上且二阶可导，满足方程(1 x2/带入可证明结论。第六节 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率知识要点与老点1隐函数的导数【考点】求隐函数对x导数，要注意对y求导。例如x ey的导数为1 ey y3”参數式确定函数的导数 【考点】/算或宀予最好用dy方法做，而不是用 y因为常用的y是对x求导，如果现在对t求导，会不小心 dx弄混。用dy可以显见y对t还是x求导，不易出错。当然，如果只是

16、 F (x，y)=0对x求 dx导，无中间量，还好，不会乱。参数方程的导数应用先，有3个条件才可以: x (t)单调连续 反函数 x (t), y (t)可导 (t)0通过证明(需要自己会证明推倒)，显而易见这三个条件都要满足。(实际应用中似乎没啥用)本节题就是隐函数， 参数函数的求导数， 要在运算中时刻想着化简， 特别是求某点的导数值时，更要是定值就代入，以便于方便后续运算。在运算时，还要记住综合各种方法，如对数求导法2 对数求导法 【考点当函数式较复杂含乘除乘方开方幕揩两数舒时可先 取对数再求导解出y,这就是对数求导法*也可利用对数恒等式 将函数写成复合指数函数再求导，这是对数求导法的另一

17、书写形第七节函数的微分知识要点与爭点微分槪念【考点】若ijy=/x0 +Ar)f(r0 = A *r其中/!为不依赖于的常数次：称刃在丢可徽.dAAAr为 /Q)在班的微分，它是Aj的线性主部，有iydjj = w(Aj-) 或dy的几何意文是曲线的切线上点的纵坐标的增量*总结起来就是:dyf(xo) x一 定要注意有个x0 ,而不是x，这表示f (x0)是一个与厶x无关的常数。y f (Xox) f(Xo)f(xo) x也要注意的是xo,而不是x。这个公式常常用来估算和证明。/=dy+o(dy) =dx (严格来说，其实就是把 x写成了 dx ,好像比较统一一样，但/ 一定要注意工dy )具体如图:x0xO+A x如证明：sin(x)x,当|x|1 时。(其实即x0 t0)证明：(xO)=sin(xO+A()-sin(x0) sin (x0) sin(x0+ ) sin(xO)+cos(xO)令 x=x0+ sin(x) sin(xO)+cos(xO)(x-xO)(注意：目的就是去掉式子里的厶x)sin(x) sin(0)+cos(0)(x-0)=x即当 |x