2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数课件文北师大版.pptx

1、2.4二次函数与幂函数,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x) . 顶点式：f(x) . 零点式：f(x),1.二次函数,知识梳理,ax2bxc(a0,a(xh)2k(a0,a(xx1)(xx2)(a0,2)二次函数的图像和性质,1)定义：形如函数 (R)叫作幂函数，其中x是自变量，是常量. (2)幂函数的图像比较,2.幂函数,yx,几何画板展示,3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 幂函数的图像过定点(1,1)； 当0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，幂函

2、数的图像都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减,1.若f(x)ax2bxc(a0)，则当 时恒有f(x)0，当 时，恒有f(x)0. 2.幂函数的图像和性质 (1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .() (2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数.() (3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中

3、的开口大小.() (4)函数 是幂函数.() (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.() (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.(,1.(教材改编)已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a3 D.a3,考点自测,答案,解析,函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a， 由函数在区间(，6)内单调递减可知， 区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，解得a3，故选D,几何画板展示,2.幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是,答案,解析,设f(x)x，则42，,f(x

4、) ，对照各选项中的图像可知C正确,3.已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是,答案,解析,4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_,答案,解析,1,2,如图，由图像可知m的取值范围是1,2,几何画板展示,5.若幂函数 的图像不经过原点，则实数m的值为_,答案,解析,由m23m31，得m1或m2， 又当m1时，m2m20， 当m2时，m2m20，图像均不过原点， 所以m1或m2,1或2,题型分类深度剖析,题型一求二次函数的解析式,例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值

5、1，则f(x)_,答案,解析,x22x,设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax,所以f(x)x22x,2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式,解答,f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x)的对称轴为x2. 又f(x)的图像被x轴截得的线段长为2， f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图像过点(4,3)， 3a3，a1， 所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)， 即f(x)x24x3,思维升华,求二次

6、函数解析式的方法,跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_,答案,解析,x22x1,设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa， 由已知f(x)ax2bx1，a1， 故f(x)x22x1,2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_,答案,解析,2x24,由f(x)是偶函数知f(x)的图像关于y轴对称,a( )，即b2,f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 2a24，故f(x)2x24,题型二二次函数的图像和性质,命题点1二

7、次函数的单调性 例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 A.3,0) B.(，3C.2,0 D.3,0,答案,解析,当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0,几何画板展示,引申探究,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_,答案,解析,3,由题意知a0,又 1，a3,命题点2二次函数的最值 例3已知函数f(x)ax22x(0 x1)，求函数f(x)的最小值,解答,几何画板展示,1)当a0时，f(x)2x在0,1上是减少的， f(x)minf(1)2,2)当a0时，f(x)ax22x的图像

8、开口向上且对称轴为x,当0 1，即a1时，f(x)ax22x的对称轴在0,1内,f(x)在0,1上是减少的.f(x)minf(1)a2,3)当a0时，f(x)ax22x的图像开口向下且对称轴x 0，在y轴的左侧,f(x)ax22x在0,1上是减少的， f(x)minf(1)a2,命题点3二次函数中的恒成立问题 例4(1)已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_,答案,解析,，1,f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0， 令g(x)x23x1m， 要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立， 只需使函数g(x)x23x1m在1,1上

9、的最小值大于0即可. g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g(x)ming(1)m1. 由m10，得m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1,2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_,答案,解析,2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，30，成立,几何画板展示,思维升华,1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. 两种思路

10、都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min,跟踪训练2(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的取值范围为_,答案,解析,2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值,解答,函数f(x)x22x(x1)21， 对称轴为直线x1， x1不一定在区间2，a内， 应进行讨论，当21时，函数在2，1上是减少的，在1，a上是增加的， 则当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min1. 综上，当21时，ymin1,几何画板展示,题型三幂函数的图像和性质,例5(

11、1)(2016济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图像过点 ，则k等于,答案,解析,由幂函数的定义知k1,2)若 则实数m的取值范围是,答案,解析,因为函数 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数,解2m1m2m1，得1m2,思维升华,1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴,跟踪训练3(2016昆明模拟)幂函数的图像经过点(4,2)，若0ab1，则下列各式正确的是,答案,解析,设幂函数为f(x)x，将(4,2

12、)代入得,所以 该函数在(0，)上为增函数,典例(10分)已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值,分类讨论思想在二次函数最值中的应用,思想与方法系列3,已知函数f(x)的最值，而f(x)图像的对称轴确定，要讨论a的符号,规范解答,思想方法指导,几何画板展示,解f(x)a(x1)21a. 1分 (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； 3分,2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数,最大值为f(2)8a14，解得a ； 6分,3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数， 最大值为f(1)1a4，解得a3. 9分,综上可

13、知，a的值为 或3. 10分,课时作业,1.函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为 A.3 B.13 C.7 D.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,函数f(x)的图像关于直线x2对称， m8，f(1)28313,2.函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是 A.m2 B.m2 C.m1 D.m1,答案,解析,已知函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则m2； 反之也成立. 所以函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是 m2,1,2,3,4,5,6

14、,7,8,9,10,11,12,13,3.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是 A.0，) B.(，0 C.0,4 D.(，04，,答案,解析,由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图,若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为 ，4，则m的取值范围是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若函数f

15、(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于 A.1 B.1C.2 D.2,答案,解析,函数f(x)x2axa的图像为开口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点处取得， f(0)a，f(2)43a,6.已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是 A.(3,1) B.(0,1)C.(2,2) D.(0，,答案,解析,由函数f(x) 的图像可知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,要使关于x的方程f(x)k有三个不等的实根， 则需直线yk与函数f(x)的图像有三个不同的交点， 所以有0k1，所以实数k的取值范围是(0,1,

16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016烟台模拟)已知幂函数 若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_,答案,解析,3,5,幂函数 是减函数，定义域为(0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.当0 x1时，函数f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_,答案,解析,h(x)g(x)f(x,如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像， 由此可知，h(x)g(x)f(x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范

17、围是_,答案,解析,，5,方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立， mxx24对x(1,2)恒成立,方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内递增”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”,答案,解析,充要,当a0时，函数f(x)|(ax1)x|在(0，)内是增加的； 当a0时，f(x)|x|，f(x)在区间(0，)内是增加的,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

18、11,12,13,故“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内递增”的充要条件,11.已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值,解答,当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5. f(x)的对称轴为x1， 当x1时，f(x)取最小值1； 当x5时，f(x)取最大值37,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数,解答,f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa， f(x)在5,5上是单调函数， a5或a5，即a5或a5. 故实数a的取值范围为a5或a5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知幂函数 (mN). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性,解答,因为m2mm(m1)(mN)， 而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数,所以函数 (mN)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2)若函数f(x)的图像经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围,解答,1,2,3,4,5,6,7