2班第8周训练题和答案

1、1（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列中， （1）求数列的通项公式；（2）若，求证： ；（3）是否存有正整数，使得对任意正整数均成立？若存有，求出的最大值，若不存有，说明理由2（12分）已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn （nN*），Snb1b2bn，是否存有最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存有，求出t；若不存有，请说明理由3已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明4已知数列中,（1）求证：

2、是等比数列,并求的通项公式;（2）数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围5已知数列的前项和为，且满足（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：6设数列的前项和为，已知，（），是数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大正整数的值7已知等差数列的前项和为，并且，数列满足：，记数列的前项和为（）求数列的通项公式及前项和公式；（）求数列的通项公式及前项和公式；（）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围。8（本小题满分15分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项（）证明：数列是等差数列；（）求数列的通项公

3、式； （）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有9（本题满分12分）数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有10.设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+参考答案1（1）（2）（3）的最大值为4【解析】试题分析：（1）设出等比数列的公比，使用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质即可得通项公式本题是求数列的前项和的范围，求和

4、方法有很多种，本题中使用累加法求得，再由错位相减法求和，即可得证（3）假设存有正整数，令，判断其单调性，进而得到最小值，解不等式即可得出的取值范围试题解析：（1）设数列的公比为，由题意有，（2），当时，相减整理得：故（3）令，数列单调递增，由不等式恒成立得：，故存有正整数，使不等式恒成立，的最大值为4考点：数列与不等式的综合2（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差是，按等差的通项表示，他们又是等比的连续三项，所以，得到公差，写出通项；（2）第一步，先得到数列的通项公式，并采用裂项相消法求和，第二步，若恒成立，所以，第三步，先做差，判定的单调性，再求数列的最小值，求试题解析：（1

5、）由题意得（a1d）（a113d）（a14d）2，整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d2an2n1（nN*）（2）Snb1b2bn假设存有整数t满足总成立，又，数列Sn是单调递增的S1，Sn的最小值，故，即又tN*，适合条件的t的最大值为8考点：1等差数列；2等比数列；3。裂项相消法求和；4数列的最值3（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据题意，构造数列为等比数列，求其通项，进而求出；（2）利用错位相减法求，进而求出，作差证明数列为递减数列，可求得最值，即得的范围；（3）求出，利用裂项抵消法求和，进而证明不等式成立试题解析：（1）由已知得，其中所以数列是公比为的等

6、比数列，首项，所以 4分由（1）知所以所以 7分所以，所以，当即，即所以是最大项所以 9分（3） 12分又令，显然在时单调递减，所以故而 13分考点：1数列的递推公式；2错位相减法；3裂项抵消法4（1）证明详见解析；（2）【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的定义、通过公式、错位相减法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先将已知转化为形式，证明为常数，即证明了数列是等比数列，再利用等比数列的通过公式计算出；第二问，将第一问的结果代入到中，得到的通项公式，结合规律知，用错位相减法求和，再利用恒成立，求的取值范围试题解析：（1）由，得，又，所以是以

7、为首项，3为公比的等比数列，（2） , 两式相减得 若n为偶数,则 若n为奇数,则 考点：等比数列的定义、通过公式、错位相减法、恒成立问题5（1）证明见解析，；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由，先令，得出的值，由， 两式相减，整理得，于是数列是首项为，公比为的等比数列，可得；（2）由于，所以可用“裂项求和”的方法求得前项和为，即证原式试题解析：（1），令，得， ，两式相减，得，整理 ， 数列是首项为，公比为的等比数列 ， （2） 考点：1、等比数列的通项；2、利用“裂项求和法”求数列前项和；3、不等式的证明6（1）；（2）1008.【解析】试题分析：（1）求数列通项公式，常常是基本量

8、运算或者是由递推公式求数列通项公式，因此通过已知条件得到，从而得到（），然后考虑n=1时是否满足上式，经验证此时满足，所以数列是等比数列，从而求出通项公式；(2)等比数列取对数后是等差数列，并其通项公式，然后求出Tn ,并求出，最后解关于n的不等式即可求解。试题解析：（1）当时，数列是以为首项，公比为4的等比数列，（2）由（1）得：，所以，令，解得故满足条件的最大正整数的值为1008考点：求数列通项公式；解数列不等式。【方法点睛】已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：（1）将和转化为项,即利用将和转化为项。如本题由得，从而得到，然后由递推公式求数列通项公式。应注意变量n的

9、范围。（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式。7（），；（），；（）【解析】试题分析：（）化求通项，然后直接利用求和公式求和即可；（）可化为，利用累乘法即可求得，由此通项公式可知求和适合用错位相减法；（）代入、并化简，构造函数，满足，由子集个数公式可知集合中共有4个元素，由此讨论的单调性和取值即可试题解析：（）设数列的公差为，由题意得，解得，；（）由题意得，叠乘得由题意得 得：（）由上面可得，令，则，下面研究数列的单调性，时，即单调递减。集合的子集个数为16，中的元素个数为4，不等式，解的个数为4，考点：1化求通项；2累乘法求通项；3错位

10、相减法求和；4构造函数解不等式8（）见解析；（）;（）见解析【解析】试题分析：（）由可求得，当时，求出数列递推公式，由累积法可求数列的通项公式，从而可证数列是等差数列；（）由基本量法，列出方程求出公比即可求数列的通项公式；（）先求出表达式，当时，由放缩，可证不等式成立试题解析：（）解：令可得，即所以 2分时，可得，当时，所以显然当时，满足上式所以，所以数列是等差数列，其通项公式是， 6分（）设等比数列的公比为,所以恰为与的等比中项，所以，解得，所以 10分（）时,而时, 所以当时。13分当时对任意，都有 15分考点：1差数列的定义与性质；2等比数列的定义、性质与求和；3放缩法证明不等式；9（1

11、）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）用分解因式法求解一元二次不等式，注意分清两根的大小关系；（2）对应一些特殊数列求和，掌握住方法，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）比较大小时，首项考虑作差法，作差、变形，由的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论试题解析：（1）等价于，解得其中有正整数个，于是 3分（2） 5分两式相减得故 7分（3） 9分由知于是故当且时为增函数 11分综上可知 12分考点：1、求数列的通项公式；2、错位相减求和；3、证明不等式2

12、1（）an=3n1 bn=2n1；（）Tn=（n2）2n+2；（）见解析【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论试题解析：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1 2bnb1=S1Sn，当n=1时，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1 （）cn=bnlog3