值域的求法典型习题及解析

1、值域的求法习题.解答题（共10小题）141.已知函数的定义域为集合A，函数 尸（丄）*+1的值域为集合B，求A re和（Cra）q（ Crb ）.22已知函数（1）求函数（2）求函数f (x) =x2- bx+3，且 f (0) =f ( 4). y=f y=f（X）（X）的零点，写出满足条件 f （X） 0的X的集合; 在区间（0, 3上的值域.3.求函数的值域:4.求下列函数的值域:(1) y=3x 2- x+2 ;（2）山-/ -6S-5；(3)莘;(65求下列函数的值域4x+x+1(1)尸 2，2 ；( 2 g-Jl-吕；(3)尸籍 xe 0 3且 X 詞；(4)叫讥钊 X-4 一壯-

2、钉 4.sin X cos XX 丄6 .求函数的值域：y=|x - 1|+|x+4| .7求下列函数的值域.(1) y= - x2+x+2 ;(2) y=3 - 2x, x e - 2, 9; (3) y=x2 - 2x- 3, xE (- 1, 2; ( 4) y=，8 .已知函数f （x） =22x+2x+1+3，求f （X）的值域.9.已知f （x）的值域为号，彳，求y=的值域.10设f （汎）二豎鱼的值域为-1, 4，求a b的值. X +2参考答案与试题解析.解答题(共10小题)1已知函数新的定义域为集合A，函数 尸(丄)*+1的值域为集合B，求A PB和(CrA )n( CrB

3、).2考点： 函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。1457182专题：计算题。分析:由$-2。可求a, 由尸(丄)1可求B可求 屮502解答:解：由题意可得PIk+501 *-A=2 , + -),尸(2)+1 12 B= (1, + 8), CrA= (8, 2), CrB= (8, 1( 4 分) ArB=2 , +)( CrA)n ( CrB) = ( 8, 1（6 分）点评： 本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2.已知函数 f (x) =x2- bx+3，且 f (0) =f ( 4).(1) 求函数y=f

4、(X)的零点，写出满足条件 f (x) 0的x的集合;(2) 求函数y=f (x)在区间(0, 3上的值域.考点：函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。专题计算题。1457182分析:(1 )从f (0) =f ( 4)可得函数图象关于直线 x=2对称，用公式可以求出 b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求 出满足条件f (x) 0的x的集合；(2)在(1)的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间(0, 3上的最值，从而可得函数在(0, 3上的值域.解答:解：(1)因为 f (0) =f(4),所以图象的对称轴为x=-=2,2点评: b=- 4，函数表达式为解f (x)

5、 =0,得X1=1，X2=3，因此函数的零点为：满足条件f (x)0恒成立，函数的定义域为R.(y- 2) x2+ ( y+i) x+y 2=0 当y- 2=0即y=2时， 当y- 2旳即y吃时，V x e R时方程(y- 2)即 3x+0=0，二 x=0 e Rx2+ = ( y+1) 2 - 4X (y-2) 原函数的值域为1，5.点评：判别式法：把x作为未知量，数是否为零加以讨论：(1 )当二次项系数为0时，(y+1 ) x+y - 2=0 恒有实根,22羽，. 1今詣且y吃，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系(2)当二次项系数不为0时，利

6、用V xe R， 去分母这一步是不是同解变形.将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个取值是否符合 x有实数解的要求.羽”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程4. 求下列函数的值域:(1) y=3x2- x+2; (2)F_6x-5 ； (3)2/-时2(4)尸垃+4寸1 - X； (5)尸时寸1 -(6)考点：函数的值域。1457182 专题：常规题型。分析:(1)(2)(3)(配方法)V y=3x2 - x+2=3 (x -1) 2+j6 12看作是复合函数先设 尸-x2 - 6x - 5 (卩閑，则原函数可化为丫=盯，再配方法求得 卩的范围，可得的范围.g=

7、3(X-2)+ F=3+_；_，再利用反比例函数求解.Z- 2可用分离变量法：将函数变形，y=丈-2(4)用换元法设t=JI _ X电则x=1 -12，原函数可化为y=i - t2+4t，再用配方法求解(5)由1 - x2%? - 1歿W1，可用三角换元法：设 x=cos aae 0， n，将函数转化为 y=cos a+sin aRsin ( a)用三角函4解答:数求解(6 )由x2+x+1 0恒成立，即函数的定义域为 R,用判别式法，将函数转化为二次方程(解：(1)(配方法) y=3x2 x+2=3 (X-i) 2县? y=3x2 x+2 的值域为 ，+ 呵 6 12 12 12y - 2)

8、 x2+ (y+l) x+y - 2=0 有根求解.(2)求复合函数的值域：设 尸-x2-6x - 5 (卩國，则原函数可化为 又 T 尸X2 6x - 5= -( x+3) 2+4 詔，二0 y手故孑讥0，2，-y=J -5的值域为0，2X-2(3)分离变量法：y=3Sl-3 &”X 一 2兰=3+丄丄旳， 3二色1-2Z-2Z-2函数y=3x+1的值域为y R|y刹k-2(4)换元法(代数换元法)：设t=# _ XS0，则x=1 - t2,、 2 2原函数可化为 y=1 - t +4t= -(t - 2) +5 (tS0) , /. y 詣,原函数值域为(-S, 5注：总结y=ax+b+U

9、cz+d型值域，变形：y=ax2+b+ 或y=ax2+b+Vcx+d(5)三角换元法：T 1 - X2羽？ -1強胡,设 x=cosa,a 0 , n ,贝Ll y=cos a+sinI Ia=Vsin ( +)4.C+ 2L44原函数的值域为-1, #2(6)判别式法： x2+x+1 0恒成立,函数的定义域为 R竽, sin (气) 豎，Wsin (吩) - 1 1 竝，由y=臂空得:(y- 2) x2+ (y+l ) x+y - 2=0当y- 2=0即y=2时,/ x=0 R即 3x+0=0 ,当y- 2旳即y吃时， T x R时方程(y- 2)= ( y+1) 2 - 4X( y- 2)

10、 2 羽, 1門詣且y老,原函数的值域为1 , 5点评：玉题主要考查求函数值域的一些常用的方法配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法x2+ (y+1 ) x+y - 2=0 恒有实根,5求下列函数的值域1,4尸T； sin X cos X(1)(2)(3)尸空巴X 0，3且x詢；X 一 1(4)尸丘+蚯-Q -心-町-Q.考点：分析:函数的值域。1457182(1) 把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域.(2) 令因为1 - X2羽，即-1 x胡，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值.（3）把原式变成(4 )令 t=x 4,解答：解：（1）

11、V尸.2+6 ，设t= 6 ，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数 y=2x+4的值域.1-1K - 1K一 1即x=t+4代入原函数.得出y关于t的函数，进而求出答案.，2 2sin X cos K2 2 . 2 2_ sin k+ cos / . 4 sin x +4 cos x=+2sin Xcos X=1r+4tanx+4tan X=5+-+4tan2x 瑩第tan XVtanx. 1J的值域为 9 , +K)*2 2Sin X cos X(2)令 x=sin a, ae 21, 2令）2 2.尸耳一寸_ 疋2 =sin a cosa=2sin ( a/ ae -2L /.

12、 a-2e 3兀，卫sin( a-2)e 1，迟2244442二尸X_寸-F的值域为【-丁, u(3) y=2x+4=2+_匚X 一 1 K 一 1令t=匚，则其函数图象如下丈一 1如图可知函数在区间0 , 1）单调减，在区间（1 , 3单调增 . t e(x, 6U 3 , + X4 U 5 , +X).y e( x, 4 u 5，+ X) 即函数yil的值域为(XX - 1(4 )设 t=x 4, x=4+t 则和计蚯-4 -寸X - M - 4珂尢+4+4五-&+4 - 4航=J (頁2=1 叭+2| -叭-2|/ t=x - 4初a 为-y=，4, (772 )2頁(0VT 0,无最大

13、值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域.解答？-2x- 3解：数形结合法：y=|x - 1|+|x+4|=(x-4)(-4kl) y S5,函数值域为5 , + ).点评：本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法.7求下列函数的值域.(1)(2)(3)2y= - x2+x+2 ；y=3- 2x, xe -2, 9； y=x2 - 2x - 3, xe (- 1, 2;(4)考点：函数的值域。1457182专题：计算题。分析： (1)求二次函数y= - x2+x+2的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域.(2)(3)求二次函数y=x2

14、 - 2x - 3在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域.求一次函数y=3 - 2x在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域.(4)求分段函数y的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域.解答： 解：(1) 二次函数y= - x2+x+2 ；其图象开口向下，对称轴 x=2，当2x=Jl时y有最大值224故函数y的值域为：(-8，吕；4(2 )一次函数 y=3 - 2x, xe - 2 , 在x= - 2时，y有最大值7 ;在x=9时, y有最小值-15 ；故函数y的值域为：-15, 7；(3)二次函数 y=x2-2x- 3, 图象开口向上，对称轴 x=1 ,

15、 当x= - 1时，y有最大值0； 所以函数y的值域为：-4,9;单调递减,Xe (- 1, 2；当x=1时，函数y有最小值-4;0)；(4)分段函数y=$lS 一 2x1当 X 海时，y=x - 10A 4 ；当-2 0 6 时，y=8 - 2x,/.- 4 y 0, f ( x) = (2x) 2+2?2x+3=t2+2t+3， 令g 则g 故f(t)(t)(X)点评:9.已知2=t +2t+3 (t 0)，在-1, +8)上单调递增,=g (t ) g (0) =3, 的值域为(3, +8).故f二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数而且采用 换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围.(X)f (x)的值域为吕，目,求y=(i - 2f ( X)的值域. Uh?考点： 专题：计算题。根据f (X)的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得函数的值域。1457182分析:y的值域.解答:解；T 夸(x)，S 9QQ W 2f (x) -，94.1 2f9丄32/ y的值域为:丄，丄3 2点评：本题考查不等式的性质.10.设f(X)-且x+b的值域为1 , 4，求a b的值. /+2考点：函数的值域