向量知识点归纳

1、向量知识点的归纳一、知识梳理：（1）本章要点梳理：1向量加法的几何意义：起点相同时适用 平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”1 T T特别注意：2（ab+ac）表示 ABC的边Be的中线向量。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|AB|表示A、B两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a + b、a b （或 b-a ）。2、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。与非零向量a同向的单位向量*O-a0 = 二，叫做a的单位向量。而 a0都与a共线（与a反向 |a|的单位向量为-a7=-旦）。|a|3、两向量所成

2、的角指的是两向量方向所成的角；两向量TT TTrI b |cos c a, b可视为向量b在向量a上的投影。数量积a七=1 a II b |cosv a,b ；其中4、向量运算中特别注意弓3|2的应用。研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算。 另外，有关向量的运算也可以利用 数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解。5、向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式X彳+ y ”j的“简记”。其中i,j分别表示与X轴、y轴正方向同向的单位向量。6、利用向量求角时，要注意范围。两向量所成角的范围是0,兀。特别注意：a，b 0不能等同于a,b所成角是锐角，因为当a,

3、b同向时也满足a b 0 ；同样的道理，a七c 0不能等同于a,b所成角是钝角，因为当 a,b反向时也满足abcO。A、B两点，O是坐标原点，C、钝角三角形；D、不确分析：由直线1过焦点F(*，0)，设其方程为x呵+#联立得:- 2y =2px+p，即:,x = my+I 22 2y -2pmy p =0，贝U yi -y?22 py1=-p ，又 X1 x 2p2y22P.则2p 4OA OB =X1X2 + yy 30)焦点的直线，它与抛物线交于则 ABO是( )A、锐角三角形；B、直角三角形；定与p值有关.中真命题的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 3个以上呻吗a *3= a判断。错

4、误，向量的数量积的运算不满足交换律呻屮4斗j 4（a q） b表示和向量b共线的向量，同理（a b） 表示和向量 单4 444 44解析：正确。根据向量模的计算3 H3a b牛错误。应为直即可。答案：B这是因为根据数量积和数乘的定义c共线的向量，显然向量，b和向量c不一定是共线向量，故 （a b） cH（a 9）6不一定成立。 b错误。注意零向量和任意向量平行，非零向量的平行性才具有传递性。错误。应加条件“非零向量a”。错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向444量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量 ,e

5、2是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故a b=0。错误。只需两向量垂【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立 的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a,b, c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：ab = ba （交换律）(入 a ) b =入(a - b配律）说明：（1） 一般地,=a (入b )(数乘结合律)(a + b ) c = a c + b-c (分2 2 a =|a|, (a+ b) (c+d) = a c(ab ) c

6、Ma(bc ) (2)有如下常用性质：2 2+ ad + b- c + bd, ( a + b ) =a +2a【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（a b） c|b|a b| (b c) a( c a) b 不与 c 垂直(3a+2b) ( 3a 2b)(c a) b=0|a|2 2=9|a| 4|b| 中，是真命题的有（）A. B. C. D.答案：D【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够, 忽视隐含条件。例 2.四边形 ABCD中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d，且 ab = b c

7、= c d= da ,试问四边形 ABCD是什么图形？【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量, 易忽视如下两点：（1）在四边形中， AB , BC , CD , DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a + b+ c+d = 0,应注意这一隐含条件应用；（2）由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。解：四边形 ABCD是矩形，这是因为一方面：由 a + b+ c+d = 0得a + b=（ c+d）,即2 2 2 2 2 2(a + b ) = ( c +d)即 |a|+ 2 ab +|b|=| c

8、|+ 2 c d +|d| 由于 a - b2 2 2= cd,.|a|+ |b|=| C |+|d2 2 2 2I 同理有 |a|+ |d|=| C |+|b| 2由可得| a| = | c|,且|b| = |d|即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形.另一方面，由a - b = b-有b (a- c ) =0 ,而由平行四边形 ABCD可得a = C ,代入上式得b(2 a ) = 0 即卩ab =0,.a丄b也即AB丄BCo综上所述，四边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很 多分支有着广泛的应用，而它具

9、有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中 学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：(1)向量形式的平行四边形定理:2 (| a | 2 + | b | 2) = | a b |2 +|a + b | 2 (2)向量形式的三角形不等式：| a |-| b | | a b | |a e|,则(IIIIIIIIII4444444444a 丄(a e) (C) e丄(a e) (D) ( a + e)丄Q e)向量与三角函数求值、运算的交汇例

10、5、a =(1 +cosa,sinot),b = (1 cos P,sin P), c = (1,0),a 亡(0,兀)，P 忘-兀a P角为0 1, b与c的夹角为0 2,且e4 -02 =,求sin的值.32学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，【易错点分析】此题在解答过程中,知角表示两组向量的夹角的过程中, 解析：易忽视角的范围而导致错误结论。答案：C(兀，2兀),a与c的夹注意在用已a a a 彳2 Pa = (2cos2 ,2sin cos) = 2cos(cos , sin )，二 b = (2sin ,2sin cos)2 2 2 2 2 2 2 2 2P ,a JI P、一

11、-、一:迂(0)迂2 2 22 a2cos 2a2cos22PP门=2sin (sin ,cos ) ； 亡(0,兀)，P (兀，2 兀),二222|芥2逸织bfnh cod2 24 4a c=4-|a|c|二 C0S&24 4|b| 1c|2si n22F2si n 2a-PP= sin , 02JI 兀兀-，从而6a-Pa=COS，/. 92JIsin= -si n = 2 6【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是 新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联 系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当

12、今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常 常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综 合运用知识解决问题的能力。【易错点6】向量与解三角形的交汇 例6. AABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 3oA + 4oB + 500= o。求数量积，oA -OB , OB -OC , oC -OA ;求AABC的面积。【思维分析】第1由题意可知3oA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一 向量移项平方即可。第 2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。解析：/ | OA|=| Ob|=| OC|=1 由 3OA 4OB+ 5OC=0 得：33時 4OB=- 5OC两边平方得：93A+24OA- OB+ 16OB=25OC OA- OB=0同理：由 4O肝 5OC 3OA求得 OB- OC=-由 3OA 5OC 4OB 5求得 oA- OC=- 3./3sin / BOC=541 fcos / COAd 5 sin / COA5 Sac =2 1 OC5由 oA- oB=0,故 sab =2 l OA| oB|=