通信习题答案第二章

1、2. 2设一个随机过程 X(t)可以表示成：X(t) =2cos(2二t 旳 -：:t :，判断它是功率信号还是能量信号？并求出功率谱密度或能量谱密度。(是一个随机变量，且在0 ： 2二内均匀分布)解：这是一个周期信号，时间取值无限，所以是一个功率信号，有功率谱密度。要求随机过程的功率谱密度，可以由自相关函数的傅立叶变换而求得，但首先得证明这是一个广义平稳的随机过程。EX(t) =E2cos(2 二 t 力2兀1=2 cos(2二t )dr02：y=1 si n(2 二 t ”2=0Rx(t!,t2)=EX(tJX(t2)二 E2cos(2 二 1 v)2cos(2 二 t2 v)= 2Eco

2、s(2 二 ti 2 二 t2 2R cos(2 二 t2-2二 tj二 2cos(2 二)二 t2 -t|由上可得这是一个平稳的随机过程。由自相关函数可求得功率谱密度P(f)二 HRx()=2二卜(w 2二)、(w -2二)2. 4设X(t)二为cos24 -x? sin2二t是一个随机过程，其中x1和x2是互相统计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为匚2。试求：(1) EX(t) , EX2(t);(2) X(t)的概率分布密度；(3) Rx(t2)。解：(1)Ex(t)二Ex cos2二t x2sin2- t二cos2t Ex1 -sin2二t Ex2=0Ex2(t)二 Elx

3、j cos2 2 二t x22 sin2 2二 2x2 sin 2- t cos t-cos 2二t Ex1 sin 2二 t Ex2 -；-2(2)高斯随机变量的线性变换仍然是高斯随机变量，所以要求概率密度即求其均值和方差，由得，其均值为0,方差为匚2。所以概率密度为:x22C.2-7Rx (ti,t2) = E(x1 cos2：ti-X2Sin 2二 1)(禺 cos2二t2 -x2sin 2二t2)2 2=Ex1 cos2：t1 cos2：t2 x2 sintsin2二t22cos 2 (ti _ 12)2. 6试求X(t)=Acost的自相关函数，并根据自相关函数求出其功率。解：首先求

4、自相关函数：Rx() = Ex(t)x(t .)2=EA cos tcos (t )1 2A Ecos；： cos (2t)1八2A cos 2要求功率只需求自相关函数的零点值：P 二 R(0)A222. 8设有一随机过程 X(t)二m(t)cost，其中m(t)是一广义平稳随机过程，且其自相关V1；： 0II为：Rm( ) =1 一 0 - ： 1、0 其他 ，(1) 试画出自相关函数 RX ()的曲线；(2) 试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。解：(1)求随机过程 X(t)的自相关函数：Rx( )二 Ex(t)x(t )二 Em(t)cos( wt 二)m(t)cos(wt w

5、旳=R ) E-cos(2w0t w02=)cosw0 2 21Rm( )cos W -2图略(2) X(t)的功率谱密度Px(f)为自相关函数RxO的傅立叶变换:-bePx(w)二Rx( Jew d ._oQjSa2(J) Sa2(g)4功率为自相关函数的零点值：P二Rx (0)2. 10已知一噪声n(t)的自相关函数为：RnUH-e(i)试求其功率谱密度Fn(f)和功率p；(2)试画出Rn()和Fn(f)的曲线。解：(i)功率谱密度Fn(f)为自相关函数的傅立叶变换:Pn(w)FU )e-jWd.上eke”de2占 2 k - jw k jw k2功率P为自相关函数的零点值:(2)图略。2

6、. 13设输入信号为:e_t/X(tH . 0 tt _0 ，它加到由一个电阻 R和一个电容 :：0C组成的高通滤波器上，RC二。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。解：首先求传输函数:H(w)二RR 1 jwRC 11 j wjwRCjwC已知输入信号x(t)，可求其傅立叶变换:X(Wfr输出信号的傅立叶变换为:2Y(w)=x(w)H(w)=(jwT得出输出信号的能量谱密度为：G(w)二Y(w)2 . 14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为： y(t)二.dx(t)/ dt 1,式中，.为常数。试求该线性系统的传输函数H (f)。解：由傅立叶变换性质可知：Y(w) = . jwX (w)，所以 H (w)二 Y(w)/X(w) = jw .，艮卩 H (f)二 j2二 f .2. 17若通过图2.10.4中滤波器的是高斯白噪声， 它的均值为0、双边带功率谱密度为 n/2。试求输出噪声的概率密度。解：首先求传输函数：1H (w-R+ 11 + jwRCjwC2由传输函数可得输出噪声的功率谱密度:P(w)二；H(jw)n12 1 (wRC)21根据常用函数的傅立叶变换可知，输出噪声的自相关函数为：R0(4RCeRC得到二2 二 &(0) -R0(：) =04RC由以上所求，输出随机过