向量正余弦定理知识点

1、第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度(模)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0 .零向量的方向是任意的单位向量：长度等于1个单位的向量.(与AB共线的单位向量是耳);|AB|平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量， 记作：a / b，规定零向量和任何向量平行。注意： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性(因为有 2)； 三点A B、C共线二AB、AC

2、共线；相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量有传递性相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。下列命题：(1)若 起点相同，终点相同。 平行四边形，则aB = 其中正确的是IIm鞘，则a=b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的 (3)若 AB =D，贝则ABCD 是平行四边形。( 4) 若 AByD是 DC。(5)若a=bb c ，则 1=6。(6)若ab,b7c ，则 a/c。(答：(4) (5)2.向量的表示方法：(1) 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后；(2) 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b， c等；(3

3、) 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单 位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = xi + yj=(x,y)，称 (X, y )为向量a的坐标，a = (x, y )叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.bAJ+r=AE+睨=S?C三角形不等式:b 兰 a+b 勻a+b.lia-（几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）运算性质：交换律：a+b=b + * ；TI呻 I结合律：（a+b ）+畀a+ （b+C ）; *+0

4、=0+a=a.坐标运算：设 a=(Xi,yi ), b=(X2,y2)，则 a+b =(Xi+X2,yi + y2 ).4、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向 量.（注意：此处减向量与被减向量的起点相同）坐标运算：设a=（X,yi ）,b=（X2,y2 ）,则 a-b=(Xi-X2,yi-y2).B畀b设A、 E两点的坐标分别为(xi,yi ), (X2,y2),则 AB =(X2 -Xj, y2 - yj 5、向量数乘运算：实数入与向量a的积是一个向量，记作 “a； 当A 0时，/.a的方向与a的方向相同；当A 0时，Aa的方向与a的方向相 反；当A=0时，扎a=

5、0.运算律： M Aa）=（沖）a ；购（a+4 甘=籍+Aa ；3几（：+b）：.坐标运算：设 a=（x,y ），则 洎=A（x, y ） =（Ax,Ay ）.6向量共线定理:向量a(0)与b共线，当且仅当有唯个实数Z，使b=/a 设a =(X1, y, )，b =(X2,y2 )，其中 b hQ，则当且仅当x?% =0 时，向量 、4 4 4b(b H0共线.4 T如果6、2是同一平面内的两个不共线量，那么对于a，有且只有一对实数打、/2，使3=0+兀22.(不共7、平面向量基本定理： 这一平面内的任意向量 线的向量e,、e作为这一平面内所有向量的一组基底iT+口,片若 a =(1,1),

6、b=(1,1),c=(1,2)，贝U c=例: (1)-二 b )-2b )；(2)A.C.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是1 =(0,0), 62 =(1,-2)B. 3 =(-1,2),62 =(5,7)T TM*1361 =(3,5),62 =(6,10) D.61 =(2,-3),62 =(,)24(答:B)；(xi,yi )，8、分点坐标公式：设点P是线段P1P2上的一点，Pi、P2的坐标分别是 (X2,y2 )，当 =入盂时，点P的坐标是(为+人X2, y1 +人y2V 1 + A 1 +几丿9、平面向量的数量积：(1)两个向量的夹角：对于非零向量a ,-bJr aZAO

7、B=0(00兀)称为向量a，b的夹角，当0= 0时，a， 反向，当0 =时，a，2b同向，当9 =兀时，a , bb垂直。(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a， b， 量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作：它们的夹角为日，我们把数ab，即 a*b = a 7b cos 日规定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不是向量。(3)平面向量的数量积的性质：设a和b都是非零向量，其夹角为0则a丄b台a 6=0 .当a与b同向时，a b斗3 b ；当a与b反向时，a :a = a2 =1 扌2 或I a = Ja a .(4)(5)a b勻a b 运算律：a b

8、=b a； (ka ) b = k(a b ) = a sb ); a +b)Q =a Q +b c 坐标运算：设两个非零向量3=（为, ），b=（X2,y2 ），则ab=xx2 +yy2 若 a=（x,y），则 la或 I a = Jx2 + y2 (6)向量垂直的充要条件：a 丄b=a.b=0u|a+b|Ta-b|ux1X2+y1y2=0 22丄2=X +y，I设a、b都是非零向量，a =（X1, % ）, b =（X2, y2），日是a与b的夹角，则XiX2 + yi iy話 Jx2 + y2 Jx2 + y；10、b在a上的投影为|b|cos日，它是一个实数，但不一定大于0。cosB

9、=11、平移公式：如果点P（x,y）按向量5=（h,k ）平移至P（x：y），则F = x+h y = y+k曲线f(x,y)=0按向量2=(h,k )平移得曲线f(x-h, y-k)=O.12、重心问题：PA + PB + PC=0u P为AABC的重心;重心坐标公式：在MBC中，若AX，y,）月（2 ）,C（X3, y3）,则其重心的坐标为 G 4,243 3 3正余弦定理1、正弦定理：在iA BC中，a、b、c分别为角直、E、C的对边，R为比A EC 的外接圆的半径，贝u有一a =b =c =2r .si nA si nB si nC2、正弦定理的变形公式：a =2RsinA，b=2Rs

10、inB，c = 2RsinC ;_abc sinA=，sin E =，sinC =;2R2R2R a: b: c = si nA :si n B :sin C ；公 a +b +ca bc =.si n A+si nB+si nC si nA si nB sin C3、二角形面积公式： S阳C=5bcsi nA =11-absin C = - acsin B .224、余弦定理：在也ABC中，有a2=b2 中c2 -2bccosA , b2=a2 +c2 -2accosB ,c22 2=a +b -2abcosC .A2 +c25、余弦定理的推论：cosA= 2 2,2,2-a口 a 十c -b，cosB =2bc2acC a2 + b2-c2 ,cosC =2ab6设a、b、c是AAEC的角A、E、C的对边，贝U:若a2 +b2 = c2,则C = 90 ;若 a2 + bS-c2，则 90 ;若 a2 + b2 c2，则 90 .7、射影定理：a = bcosC +ccosB,b = acosC + ccosA,c = acosB+ bcosA 8、解三角形常用三角关系式:A + B +C =兀；sin (A +B) =si nC,cos(A + B) = -cosC.A+BCA+B. Csin= cos