《概率论与数理统计》习题第二章随机变量及其分布

1、第二章随机变量及其分布.填空题51.设随机变量 X B(2, p), Y B(3, p),若 P(X 1)=-,贝U P(Y 1) =954解 P(X =0) =1 - P(X _1) =1 -241(1 - P) , p =-33(219P(Y Z1) =1 P(Y = 0) =1 - - I =2丿272.已知随机变量 X只能取一1, 0, 1, 21352四个数值，其相应的概率依次为2c 4c 8c 16c解.11352c 4c 8c 16c4.设k在(0, 5)上服从均匀分布2则4x - 4kx k0有实根的概率为1解.k的分布密度为f(k)二500乞k岂5其它P4x2 4kx k 2

2、=0有实根 = P 16k2 -16k -32 _ 05 1=Pk 1 或 k - 2 = dkab5.已知 PX =k =,PY = k =p(k = 1,2, 3), X 与 Y 独立，则 a =, b =kk,Z = X + Y的概率分布为.+ b + b 彳 K 36 b1, b =4-49合概率分布=_611c =2_ 32-16c,3. 用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率：P(X a) =.P(x1 X x2) =.解.P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a) P(X a) = 1 F(a)P(x1 X X2) = F(X2) F(X1)(X, Y)的

3、联合分布为Z = X + Y-2-1012P24a66a251a126a72a1 ab = 216、；-,539P(Z 二2) =P(X =1,Y 二3) =P(X =1)P(Y辿=24:9P(Z =1) =P(X =2,Y - -3) P(X =1,Y - -2) =66：P(Z =0) =P(X =3,Y - -3) P(X =2,Y - -2) P(X =1,Y - -1) =251：P(Z =1) = P(X =2,Y 二-1) P(X =3,Y 二 -2) =126：abP(Z =2 P(X 二 3,Y 二 -1) = P(X =3)P(Y = -1)72：3csi n( x + y

4、)6.已知(X, Y)联合密度为碎(x, y)=丿(03T0 _ x, y _4, Y的边其它缘概率密度Y( y) =.二/4 二/4解.I I csi n(x y)dxdy =1, c = 210 0所以：(x,y)二(2 +1) sin (x + y),0江0 - x, y -4其它Tt当0 - y 时4Y(y)二(x, y)dx 4 C 2 1)sin(x y)dx = (、2 1)(cos ycos( y)4所以Y(y)2心叫y) b310曲辽其它17.设平面区域D由曲线y 及直线y = 0, x = 1, x x服从均匀分布，则(X, Y)关于X的边缘密度在x = 2处的值为 e2

5、1-dx1 x解.D的面积(x,y) = 20二e2围成，二维随机变量(X, Y)在D上2 .所以二维随机变量(X, Y)的密度为：(x, y) D其它下面求X的边沿密度：当x e2时当1 x e2时8.x (x)二j(x,y)dy 二 0xjdy体N(7若 X1, X2,，Xn是正态总1=(X1 +X2 +Xn)服从n独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布1,随机样本，则E -Z Xj 丄丄 E(XJ = n i 丿 n yD -Z Xn y1 n=.12 -n i吕D(Xi)_ 2所以 XN(d )n9.如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出(X, Y)(1, 1)(1,2)(1,3

6、)(2, 1) (2, 2)(2, 3)P1111Pa69183且X与Y相互独立，则0( =, P =,解12311/61/91/1821/3aPP(X =2)=丄：31:,P(Y =2)=9-:,P(Y=3)P(Y =1)P(Y=2) P(Y =3)=：-=13otP(X= 2,Y=2)= P(X= 2)P(Y=2)亠-：亠：）（1亠：）= P(X= 2,Y二 3)P(X= 2)P(Y=3)1=(3二(丄)(丄 )318两式相除得2118otp,解得2ct10.设（X, Y）的联合分布律为i. Z = X + Y2iii. U= X + Y 2的分布律X + Y3213/21/213P1/1

7、21/123/122/121/122/122/12X Y1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2 + Y 215/43一11/42157P2/121/121/121/123/122/122/12二.单项选择题的分布函数1. 如下四个函数哪个是随机变量Xx ： 0(A) F (x)二_2 空 x : 0,(B) F(x)sin x0 x ： :x ： 00 _ x ：丄2xJ2(A) (X, Y)(B) X + Y2(C) X(D) X Y其它Y申(y) =.00冬y辽1其它.所以(X, Y)(x, y)1 其它，y.所以(A)是答案.0 其匕0x 0

8、1(C) F(x)=s in x 0 兰 Xh/2,(D) F(x) = 0(B) c 0(C) c 0(D) c 0,且 0解.因为P(X二k)二Cke/k! (k =0,2,4,)，所以c 0.而k为偶数，所以，可以为负. 所以(B)是答案.3. XN(1, 1),概率密度为 (x),贝U(A) p(X 乞 0) =P(X _0) =0.5(B)(x) V(x), X (-：，：)(C) p(X 1P(X _1) -0.5(D) F(x) =1 - F(-x), x (-：,：)解.因为E(X)=1,所以p(X 叮)=P(X _1) =0.5. (C)是答案.4. X, Y相互独立，且都服

9、从区间0, 1上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随 机变量是x_00：x_ 1 则x 10x5.设函数F(x)：I21(A) F(x)是随机变量X的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解.因为不满足F(1 + 0) = F(1),所以F(x)不是分布函数，(B)是答案.6.设X, Y是相互独立的两个随机变量它们的分布函数为 FX (x), FY (y),则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) Fz(z) = max Fx (z), Fy (z)(B) Fz(z) = max | Fx(z) |,| Fy(z) |(C) Fz (z) =

10、Fx(z)Fy(z)(D)都不是解 FZ(z)二 P(Z 乞 z)二 Pmax(X,Y)乞 z二 P X 乞 z且Y z因为独立 P(X 乞 z)P(Y 乞 z)二 Fx(z)Fy(z).(C)是答案.7.设X, Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为Fx (x), Fy (y),则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) Fz(z)= Fx (z)(B) Fz(z)= Fy(z)(C)Fz (z) = min Fx(z), Fy(z)(D) FZ(z)= 1 1 FX (z) 1 FY(z)FZ(z)二 P(Z ez) =1 P(Z z) =1 Pmin( X,Y) . z = 1

11、 P X . z且Y . z因为独立1 -1 -P(X Ez)1 -P(Y z)r 1-1-Fx(z)1 -Fy(z)(D)是答案.8.设X的密度函数为1(x),而:(x)二2 ,贝 U Y = 2X 二(1 x2)的概率密度是(A)2-：(1 4y )(B)22-：(4 y )(C)12二(1 y )(D) arctan y解 FY(y)二 P(Y 乞 y)二 P2X 乞 y二 P(X 乞 乂)二 FX22二(4 y )2Y(y) =FY(y) = Fx(W)(B)是答案.9.设随机变量(X, Y)的联合分布函数为(x, y)二e -y)0x 0, y其它0,则 Z-2的分布密度是(A)z(

12、Z)二 2【0-e4xy)x 0, y 0其它(B)(Z)x 0, y 0其它(C)m4ze码(Z)-2z(D)z(Z)二 210是一维随机变量，密度函数是一元函数,排除(A), (B).亠Tz 1f0 3 e dz =，所以(D)不是答案.(C)是答案.该题也可直接计算 Z的密度:注：排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法当z 0时Fz(z) =0当z _ 0时Fz(z)二 P(Z ez) =P(_z)=P(X Y_2z)： ii： (x, y)dxdyx y 2z2z 2z_xq22ye血edy dx2ze ze z：z(z)二 Fz(z)二r. nz4ze0z 0口 “宀,(C)是

13、答案.z E010.设两个相互独立的随机变量 确的是X和Y分别服从正态分布 N(0, 1)和N(1, 1),则下列结论正(A) PX + Y 0 = 1/2(C) PX - Y 0 = 1/2解.因为X和Y分别服从正态分布(B) PX + Y 1 = 1/2(D) PX - Y 1 = 1/2N(0, 1)和N(1, 1),且X和Y相互独立，所以X + Y N(1,2), X - Y N( - 1,2) 于是 PX + Y y)FY(y) h _ P( mi 叹2) y) =1 _0 =1当0 y y)=1-(X y,2y)=1 _P(X y) = P(X _ y) =1 _e_y当y y)

14、=1 (X y,2y)=1 _P(X y) = P(X 乞 y) =01哉于是 FY(y) =1e0Jy -20岂y： 2y :0只有y = 2 一个间断点，(D)是答案.三.计算题1.某射手有5发子弹，射击一次的命中率为 0.9,如果他命中目标就停止射击，不命中就一直到用完5发子弹，求所用子弹数 X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X = 1,2, 3, 4, 5.i 1P(X = i) = P(前 i 1 次不中，第 i 次命中)=(0.1)0.9 , i = 1,2, 3, 4.当i = 5时，只要前四次不中，无论第五次中与不中，都要结束射击(因为只有五发子弹).所以 P(X = 5

15、) = (0.1)4.于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012. 设一批产品中有10件正品，3件次品，现一件一件地随机取出，分别求出在下列各情形中 直到取得正品为止所需次数 X的分布密度.i. 每次取出的产品不放回；ii.每次取出的产品经检验后放回，再抽取；iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回，再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i = 1,2, 3,)i. 每次取出的产品不放回X1234P1010 310231231312 13111213111213P(X =1) = P(A)：13103P(X =2) =P(A2AJ =P(A2 |A)P(A

16、J =12 1310 23P(X =3) =P(AA2A3)=P(A3|A2)P(a |A1)P(AJ =11 12 13I 23P(X =4HP(A4|A3)P(A3|A2)P(Az|A)P(AH1 dII 12 13ii. 每次抽取后将原产品放回P(X 二k) 口p(AAk4 Ak)P(AJ P(Ak4)P(Ak)二厂匹(k = 1,2,)1313X12 -kP/、k -X103 10(3131313 13匕3丿13iii. 每次抽取后总以一个正品放回X11013P(X=1)P(Ai)3 11_2 1213 1313 13 1310-131丄2 213 13 13P(X=2)11二p（A2

17、A1,p（阳几）卩（几八1313P(X=3) d Q Q= P(A A2A3) =P(A3 I A2 A1)P(A |片)卩(片)=13P(X= 4HP(A4|A3A2 AJP(A3 | A2 ajp(A2 iajpcau 11311323.随机变量X的密度为(x) = 0其它1求:i.常数其匕c; ii.的概率.1 c1 二dx = 2carcsin x |0= 2c c二, 二 1-x22P(X (-1/2,1/2)1/2 1 dx 2arcsJ-x2二1/2xr|o4.随机变量X分布密度为|1 ._i. (x)二二、1 - x2 I。| X |V 1屮X其它,ii. (X)二 2 X 其

18、01313131c =JI1空x空2其它求i., ii的分布函数F（x）.解.i.当x - 1时x_-0dt 二0当一1 x 1 时F(x)X(t)dt匚令jdt/ 1Tt-x211arcs in x 兀2F(x)X(t)dt=1所以F(x)ii.当x 0时F(x)二-1-x11arcs in x 兀2T ： x ： 1(t)dtxF(x)二0tdt=2x 1x1xF(x) = ；(t)dt 二.0tdt j (2 -t)dt =-当2 x时x12F(x) = J(t)dt 二 0tdt所以F(x) = 222x -12x : 00 二 x ： 11 _ x ： 2x _25.设测量从某地到某

19、一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数(x)二窗 exp(x-20)23200试求：i.测量误差的绝对值不超过30的概率；ii. 接连独立测量三次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.因为 （x）(x -20)23200 2一 ： x +：,所以 XN(20, 40 ).i. P(| X |30) =p-30 vX 30=P-1.250.2540= ：（0.25） _：（一1.25）=：（0.25） _（1 _（1.25）=（0.25）亠住（1.25） _ 1= 0.59870.8944 -1 = 0.4931.（其中叮*x）为N（0, 1）的分布函数）ii. P（至少有一次误差的

20、绝对值不超过30） = 1 P（三次误差的绝对值都超过30）6.设电子元件的寿命3= 1 -(0.4931) =1-0.12 = 0.88X具有密度为(x)10021 0 0 ： x=x0x空100问在150小时内,i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ ii.三只电子元件全损坏的概率是多少？ iii.只有一个电子元件损坏的概率是多少100解.X的密度：(x) =100：x.所以1501001P(x 150H ,00亍dx : x-3.1令 p = P(X 150) = 1 =233i. P(150小时内三只元件没有只损坏)3 8)=P =x叮0 0273 1ii. P(150小时内三只元件

21、全部损坏)=(1 - p):27iii. P(150小时内三只元件只有一只损坏7.对圆片直径进行测量，其值在5, 6上服从均匀分布，求圆片面积的概率分布解.直径D的分布密度为(d)卫5 _d _6其它假设X的分布函数为F(x).F(x)二 P(X _x)二 P(二D2 _ x)当 x 0时F(x) =P(X 9时8.已知X服从参数P =:0.6 的 0 1 分布在 X = 0, X =;1下，关于Y的条件分布分别为表表2所示表1表2Y123Y123111111P(Y|X = 0)P(Y|X = 1)424263其它求(X, Y)的联合概率分布，以及在Y丰1时，关于X的条件分布. 解.X的分布律

22、为1、X01P0.40.6xF(x)(t)dt65心25 二x :4所以 F(x) =25 二25-：密度：:(x)二F(x)三打xW x W 9兀 4(X, Y)的联合分布为P(X= 1,Y= 1)P(X=2)= P(Y =2 |XP(XP(X= 1,Y=3)= P(Y =3| X =1)P(XP(X= 0,Y =1)=P(Y =1|X =0)P(X=1) = 16=1) J313 -0.353 =0.153 =0.2520.15P(X =0,Y =2) =P(Y =2 |X =0)P(X =0)2 =0.22 51 2 P(X =0,Y =3) =P(Y =3|X =0)P(X =0)0.14 5所以Y的分布律为P(X=0|Y=1竺P(Y1)0.30.6=0.5Y123P0.40.30.3P(X JYF二仲九丫刊二兰P(Y =1)0.6心所以X|Y 式 101P0.50.5X与Y相