专题跟踪检测(十四)圆锥曲线的综合问题理

1、专题跟踪检测(十四)圆锥曲线的综合问题21. (2018 武汉调研)已知抛物线 C x = 2py(p0)和定点 M0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A, B两点，抛物线 C在A, B处的切线的交点为 N(1)若N在以AB为直径的圆上，求 P的值; 若 ABN的面积的最小值为 4，求抛物线C的方程.解：设直线 AB y= kx +1, A(xi, yi), B(x2, y ,2将直线AB的方程代入抛物线 C的方程得x - 2pkx-2p= 0,则 X1+ X2 = 2pk, X1X2 =- 2p.2X(1)由X = 2py得y= -，则A, B处的切线斜率的乘积为PPX1X22 =-2P，

2、点N在以AB为直径的圆上,二ANIBN2-p=-1,二 p= 2.(2)易得直线X1AN y-y1 = -(x-x,亠八、X2直线 BN y- y2= p(x-X2),X1y- y1= pX X1结合式，X2 y- y2= ?X-X2k = pk,解得fy=-1, 即 NPk,- 1).所以 |AB =71 + k 则 sabn= 2 ab d=_pk2+2_322p,当k = 0时，取等号, ABN的面积的最小值为 4, /2p= 4, p= 2,1 X2-X1|=寸 1 + k2 X1 + X22 - 4X1X2=71 + k2 74p2k2 + 8p,2点N到直线AB的距离d=穿fL,2

3、. (2019届高三河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2点P(X1, y1) , Qx2, y2)是椭圆C上两个动点，直线 OP OC的斜率分别为 幻,k2，若 d，yj n= ,m- n = 0.(1)求证:1k1 - k2 = 4 ；C X 2 C：才+y = 1,(2)试探求 POQ勺面积S是否为定值，并说明理由.解：(1)证明： ki, k2存在， X1X2M0,X1X2 m- n= 0,二 + y1y2= 0, k1 - k2= =1X1X24(2)当直线PQ的斜率不存在,即 X1 = X2, y1= y2 时，由XS=-4,得 X2 - y2=0,又由

4、RX1, y1)在椭圆上, 得 x+y1=1，1- &POQ= 2I X1I y1 y2| = 1.当直线PQ的斜率存在时，设直线 PQ的方程为y = kx + b(bM0).得(4 k2 + 1)x2 + 8kbx + 4b2 4 = 0,y = kx + b,由妆22 1历+y =1222222A = 64k b 4(4 k + 1)(4 b 4) = 16(4 k + 1 b )0 ,8kb4 b2 4- X1 + X2 = , 2 , X1X2= , 2.4k + 14k + 1X1X24 + 屮2=0,X1X2+ (kx1 + b)( kx2+ b) = 0,得 2b2 4k2= 1

5、，满足 0.1| b|sPO= 2 乔下|PQ1=2| b|X1 + X22 4X1X2J4k2 +1 b2 =2|b| e 4k2+ 1 = 1.3.(2018 长春质检)如图，在矩形 ABCD中，| AB = 4, |AD = 2, O为AB的中点，P, Q分别是AD和CC上的点，且满足 煤 =，直|AD | DC/尸0r2x 线AQ与 BP的交点在椭圆E： r + a2b2= 1( ab0) 上.(1)求椭圆E的方程;设R为椭圆E的右顶点,M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N,求梯形ORM面积的最大值.解：设AQ与 BP的交点为Qx, y), P( 2, y1) ,

6、qx1,2),由题可知，齐x1+kAG= kAQ kBG= kBP,丄=2 y =上 X+ 2= X1 + 2 x 2= 4 ,2y从而有一-=x 4y12x 2 整理得-+ y2= 1,-2 OX令 U = 4t3 t4,贝y u=当 t (2,3)时，U 0,当 t (3,4)时，U 0,23212t 4t = 4t (3 t),U= 4t3 t4单调递增，U= 4t3 t4单调递减，所以当t=即椭圆E的方程为x + y2=1.时，u取得最大值，则从而梯形 ORM的面积S= 2(2 + X0)y0 =討4 - x0令 t = 2+ xo,贝U 2t 0),直线x= my+ 3与E交于A,

7、B两点，且OA OB= 6, 其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的方程;1 1 2 已知点C的坐标为（一3,0），记直线CA CB的斜率分别为ki, ki，证明：话+话一im为定值.解：设A（xi,yi), B(x2, y,X = my+ 3, 联立fi=2px消去x，整理得y2 2pmy- 6p= 0,则 yi+ y2 = 2pmyiy2 = 6p, xiX2=lA 9,由 OA OB= xiX2 + yiy2= 9 6p= 6,1 2解得p=2,所以y2= X.yiyi证明：由题意得ki = X1 + 3= my+ 6,y2ki=xi+ 3 my+ 6所以 1 = m -, k = m 6

8、,所以=2m+ 1+肝 yj- 2mkiyi kiyi1 )11、i+ 36 - + - im yvy yv=12m. 1 + 36 yiyi2 yi + yi lyiyir2,yiyi由(1)可知：yi+ yi = 2pm= m yiyi= 6p= 3,*11 l f m m+ 6 所以话+kl 2m=12m卜 3/36 T=24所以点Q的轨迹是以点C, A为焦点，焦距为2，长轴长为2述的椭圆,所以 a=谑,c= 1, b =寸a? C = 1,2故点Q的轨迹方程是+ y2= 1.(2)设直线 I : y= kx +1, F(xi, yi) , H(X2, y2),今 + y2= 1，联立*

9、ly = kx +1直线l与圆x2 + y2 =1相切？柿=1?t2= k2+1.2 2 2? (1 + 2k)x + 4ktx + 2t 2 = 0,2 2 2 2 2 2 2则 = 16k t 4(1 + 2k )(2 t 2) = 8(2 k t + 1) = 8k 0?0,4kt2t2 2x1 + x2= 1+2?，x1x2 = 1+汞，所以 OF OH= X1X2 + y1y2=(1 + k2) X1X2 + kt (x1 + X2)+11+ k2t 2- 2 ,，t 4kt , t2订汞+ kt?+?+t1+ k2 2k2 4k2 k2+l1 + 2k21+ 2k2+ k + 1_

10、 1 + k2=1 + 2k2，31+ k2所以3w F12 1 羽3= kw 2? 3 Gk| w 2，所以一w kw誓或半w kw.故k的取值范围是一2 26.如图所示，设椭圆 M + = 1(ab0)的左顶点为 A,中心为a b若椭圆M过点P( 2 2)且API OP(1)求椭圆M的方程; 若 APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求 APC面积的最大值;(3)过点A作两条斜率分别为ki, k2的直线交椭圆M于D, E两点，且kik2= 1，求证:直线DE过定点.解：(1)由 API OP 可知 kAP k。一 1.又点A的坐标为(一a, 0),12所以 一12+ a1221，解得a= 1.又因

11、为椭圆M过点P,1 1 2 1 所以4 +看-1,解得b2-3,所以椭圆M的方程为2X2+ y-= 1.13(2)由题意易求直线AP的方程为12- 0即 X y+ 1 = 0.因为点Q在椭圆M上，故可设0,算0又 lAP=,所以 SAPQ= 2 X1=4当 0 +n= 2k n (k Z)，即60 = 2kn -6(k Z)时,&APQ取得最大值半+ 4.(3)证明：法一：由题意易得,直线AD的方程为y= ki(x + 1)，代入X2 + 3y2= 1,消去y,3k2 1得(3 k?+ 1)x2 + 6k2x + 3k? 1= 0.设 D(xd, yD)，则(1) XD-，”1 3k?f1 3

12、k2、2k1即 XD= T+3k?，yD=尿 + *= ?+3k?.1 3k22k2设E(xe, yE)，同理可得XE-6, yE-订泰.又kk = 1且幻工k2,可得k2 =且幻工 1, k12_k1 32k1所以 XE= k!+ 3, yE= k2 + 3，2k12k1、 yE yDk1+ 3 1 + 3k12k1所以 kDE= y27 z =T2-rXE XDk1 31 3k13 匕十k2+ 3 一 1 + 3k22111 一 3k2、故直线DE的方程为y 1十3? = k十1卜一 1十討人一r/日1 3k1 3 k1 十 1令 y = 0,可得 X= 1十一 1 十 3k1= 2.2k

13、i2k1故直线DE过定点（一2,0）.法二：设 D(xd, yD), E(xe, yE).yD若直线DE垂直于y轴，则XE= XD, yE=yD,此时k1k2=-XD十I2 ._ yD xe+ 1= 1 xD= 3yD= 3 与yE yD题设矛盾，若DE不垂直于y轴，可设直线 DE的方程为x= ty +s,将其代入x2+ 3y2 = 1,消去x, 得(t2 + 3) y2 + 2tsy + s2 1= 0,小2tss2 1贝y yD+ yE=, yDyE=.=yDyE=ty D十s十1 ty E十 s+l=1,2 2可得(t 1) yDyE + t(s + 1)( yD+ yE) + (s +

14、 1) = 0,22 s 1 2ts2所以(t 1) t(s +1) + (s + 1) = 0,可得s= 2或s = 1.又DE不过点A,即s1，所以s = 2.所以DE的方程为x = ty 2.故直线DE过定点（一2,0）.7. （2018 南昌模拟为11，直线I , 11与椭圆）如图，已知直线l : y= kx + 1（ k0）关于直线y= x +1对称的直线2X 2E： + y = 1分别交于点 A, M和A, N,记直线11的斜率为.(1)求k ki的值;当k变化时，试问直线 MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.解：（1）设直线I上任意一点P（x,

15、 y）关于直线y = X + 1对称的点为 F0(xo, yo),X+1Xo+1XXoX+ Xo+ 2，+ 1=1.jy = kx + 1, 由k + y2=1得(4 k2 + 1)x2 + 8kx = 0,设 Mxm, yM) , Nxn, yN),28k1-4k XM= 4k, yM= 4k2T1.yM yN kMN=Xm Xn8k 18k1 4 k2k2 44k2+ 1=4+ k2,yN= 4k2+ 1 =4+ k21 4k2k2 44k2 + 14+ k28 8 k4k2+ 18k8k =8k 3k23=3k ,同理可得Xn2 24k + 14 + k直线 MN y yM= kMh(x

16、 xm),2口口1 4k即 y 2=y 4k2+1k +1( 8k、4k+丿8k2+ 1+ 1 4 k2即 y =号1x k+ + 4k2+1 = k2+ 15石 X - 3.当k变化时，直线 MN过定点(0,- 3& (2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,1离心率等于 2,它的一个直线l与直线11的交点为(0,1),二 I : y= kx + 1, l 1： y = kix + 1,k=匕1 k1=gXXoy+ yo X + Xo 由二得 y + yo = x+ xo+ 2,y yo由一=1,得 y yo= Xo x, X Xoy=xo+ 1, 由得yo= X+ 1,XXo.k. k1 = yyo- y + yo + 1短轴端点恰好是抛物线 X2= 8品的焦点.(1)求椭圆C的方程; 如图，已知P(2,3) , Q2 , - 3)是椭圆上的两点，A B是椭圆上位于直线PC两侧的动点.1若直线AB的斜率为2求四边