数列极限的求法探讨

1、数列极限的求法探讨关于数列极限的求法探讨摘要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一，本文主要探讨了数学分析中 数列极限求解的几种 思路和方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路关键词:数列极限 单调有界 归结原则极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的 终极状态。纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一 段漫长的过程。它把初等数学扩展为一个新的阶段一一变量数学，整个数学分 析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。利用极限定义了函数的连续性、导数、积分等。同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的

2、。本文主要结合相 关概念、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总 结本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解 的相关的方法予以归纳总结1. 利用定义求数列极限定义11 :（点列Xn以X。为极限的定义） 对于任意给定的 0,存在正整数 N 0,当nN时，|焉X。 ，则称点列Xn当趋于无穷时以x|为极限记 为lim Xn Xo . （ n必须用公式编辑器中的符号）n用数学符号简记为:0,N 0,当 n NXnX例1用 N语言证明lim1).证明：设a由于a1,所以0 .有二项式定理得因此，解此不等式得n恙1.0,取N一L_ 1 ,当n N时，有a 1这

3、说明lim丄0 a 1 .n定义21 ：点列Xn不以x为极限的定义）存在定数0,对于任意k 0,存在Xn，有XnkX00.用数学符号简记为:0,0,k, Xnkx。0例2用N语言证明limn1.证明：取01, n 0,令k2n1 n,则有 X2n 11210.注：用极限的定义时，只需要证明存在 N，故求解的关键在于不等式的建立在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有n的因子移到不等式的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子步一步放大，有时还需加入一些限制条件，限制条件必须和所求的 N 致，最后结合在一起考虑.2. 利用极限的运算性质求数列极限定理 ：若lim Xn和lim %

4、存在,nnlimnXnYnlimnXn limnlimnXnYnlim xnlim Yn；nXclim xnlimnn(lim VnYnlim Ynnn1，limYn 2，则求lim则abc%；例3若lim xnnXnYnn 0).解：根据数列极限的运算性质有lim Xn YnimXn Yn3. 利用两边夹定理求数列极限（两边夹定理）若Xn , Yn , Zn满足(2) lim ynlim ZnAn 1,2 ,Lnn则 lim xnA.n利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用的方法，这里我们将通过以下例题来加深对这一方法的体会，以期更熟练更灵活的运用它。例4 证明 lim 1g3g

5、Lg2n 1x 2g4gL g2n0（在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号）证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值,2甘届 4故分母中因子2n 1 2n 12n22n2n 11g3gL g2n 1由此可知：02g4gL g2n1、2n 1g 2n 1故由两边夹定理，得limx2g4gL g 2n注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，而且放大和缩小的数列是容易求得相同的极限。基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩小的数列的极限。般是将所有项换为最大项得到一个式子，然后所有项再换为最小项又得到一个式子，证明这两个式子的极限相同,最后得出原式的极限。4.利用上下极限求数

6、列极限（上下极限定义）5 设Xn为有界点列，令an SUP Xkk n，bn inf Xk ，则k na1a2Lanan 1 L ，b1b2Lbnbn 1L . ( an , bn的字号大小不一致）且a1 , bn有界，于是lim an A,lim bnB存在且A B.我们称A，B分别为nnxn 的上下极限.记为 limA lim an, lim xnB lim bn.nnxn我们知道，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限。我们还知道，有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。据此，我们利用上下 极限，必要时结合N语言，就可以处理一些数列的极限问题。n 1,2,L .试证：若 li

7、m xn1n Xnl, l为有限数，则nim n xnl.证明：对0，由呛n，知N 0，使当k N时,兀1 l k N,N 1 丄.Xk对任何n N,将k N,N 1,L ,n 1时的各式相乘，并开n次方,对上式右（左）边的不等式分别取上（下）极限,艸嘛阿飯i又因为的任意性，知lim n xnlim n冷l故 lim n Xnl .n5. 应用单调有界原理求数列极限（公理）2在实数系中，有界的单调数列必有极限。单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。它与极限的四则运算 法则相结合，有时还可以求出某些单调有界数列的极限。（此式子因为例 6.设 a00 定义 an 1 1 sin(an 1)

8、,n 0,1,2Lan i 1sin(an1), n 1,2.,)试求 lim an证明：令 bn an 1,n 0,1,2l，则 bn sinbn,n 0,1,2L (应为 bn 1 sin bn)利用归纳法可证bn 0.注意到当x 0时，恒有x sinx.这说明bn为单调增加且有界的数列，故极限lim bn存在。n记lim b n l ,再由正玄函数的连续性，有 bnsin bn, n 0,1,2Lb取极限得Isinl .（应为I sinl ）由此可知必有I 0.即 lim bn0,.从而 lim anl .（应为 lim an1）nnn注:利用单调准则证明极限存在，主要针对递推数列，必须

9、验证数列两个方面的性质：单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法、 减法、除法比较前后项。6. 利用递推关系求数列极限在某些领域的极限问题中，如能求出数列中各项间的递推关系，往往可以 比较地证明极限存在，并计算出极限。例7.设已给两数a及b， Xoa, X1b， Xn由递推公式Xn来决定，求lim Xn.n解：若从题中所给的等式的两端各减去Xn 1，则得1XnXn 1 Xn 1Xn 221令 YnXnXn 1，得nYn 1，12（ 序列ynXnXn 1Xn2,3,4丄.Y1 X1Xn 2X。（删掉）对yn的前n项求和，得XiXoX2x1LXnXn 1Xnn1 b a212，

10、便有limnXna 2b37. 利用柯西收敛准则 证明数列极限（柯西收敛准则）1点列Xn存在极限的充要条件是对于任意给定的存在N 0,当m,n N时，满足|xm対 .用书写符号简记为即:0, N N ,当 m,n NXmXn0,正整数N，使得当n, m N时，有n例8.证明：数列XnXnXman amSin k(n 1,2,3,)为收敛数列.k 12ksin(m 1)2m 1sinn2n12m 111 (1nm 1 2 2由柯西收敛准则，数列m N时，有Xn收敛.XnXm8. 利用有界变差数列收敛定理求证数列极限（有界变差数列收敛定理）3单调有界数列必定收敛例9.若数列Xn满足条件XnXn 1

11、Xn 1Xn 2X2M (n则称Xn为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令 yi 0,ynXnXn 1Xn 1Xn 2X2Xi ,有yn单调递增.由已知知yn有界，故yn收敛。从而 0, N，使得当n m N时，有yn ymXnXmXnXn iXn 1Xn 2Xm 1Xm由柯西收敛准则，知数列 Xn收敛注：按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。有界变 差数列收敛定理的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，进而在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的去求极限。9. 利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则7lim fx xox A 对任何人 n，有

12、lim f xnAn例10.计算limn解：一方面,n2另一方面，1兰2n 1 n 12n由归结原则（取Xn1，n2,3,lim 1 也nnn2n 1n 12_nn2n 1limx上一行应为lim 1nlimnn 12 n1xn2n 1limnn 12n由迫敛性得lim 1n12n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从 而使问题得到简化和解决。10. 利用施笃兹（stolz）定理求数列极限Stol z定理与L Hosital法则是数学分析处理-型-0型极限的两个重要工 0具。它们分别适用于变量和连续

13、变量的情形。这里通过以下例子说明Stolz定理5stolz定理1的应用。（应为一）型：若yn是严格递增的正无穷大数列，它与数列Xn起满足limnXn 1yn 1xynl，则有lim丕l .其中l为有限数，或 n /stolz定理2 0型：若yn是严格递减的趋向于零的数列，n时人。且lim Xn1Xnl，则有lim鱼l .其中丨为有限数，或，或n Yn 1YnnYn1p 2例11.求极限lim 1_-pnp 1np解：令Xn 1p2PPn ,ynnP 1, nN.则由定理1得limn1p 2pnpn7lim =limn n 1 p 1 np 1 nn i nA pp 1 nn 1 pp 1 p

14、p1 n2分母应为(p 1)np卫号卫np1注: Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达(LHospita )法则。11. 巧用无穷小数列求数列极限引理8 :数列Xn收敛于a的充要条件是：数列 Xn a为无穷小数列.注：上述引理说明，若lim xn a，则xn可作n“变量”替换：令Xn a n，其中n是一无穷小数列.定理1 :若数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列，反之亦成立.定理2 :若数列为无穷小数列，贝擞列n .n也为无穷小数列.推论1 :设数列为无穷小数列，贝擞列f n也为无穷小n数列.例 12.

15、设 lim xnna，求极限limnX1X2Xn解：由lim Xn a，作“变量”代换，令Xn a n，其中n是一无穷小数列. n由定理2的结论有lim XnXna limnx1 a 0,12a1，因此f x在0,上是压缩的.，Xn 1f Xnnaa limn= limn注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚 少，但却是一种很实用有效的方法用这种方法求某类数列的极限是极为方便 的。12. 利用压缩映射原理求数列极限定义1:设f x在a,b上有定义，方程f x x在a,b上的解称为f x在a,b上的不动点。定义2：若存在一个常数k，且0 k 1，使得x, y a,b有f

16、 x f y k x y，则称f x是a,b上的一个压缩映射。压缩映射原理：设称f x是a,b上的一个压缩映射且xoa,b ,Xn+1 f人（应为Xn!f（Xn），所有数学符号应用公式编辑器编辑。）对 门N，有xna,b，贝U f x在a,b上存在唯一的不动点c，且lim xn c， n 1,2,n例13.证明数列xn,a a a （n个根式a1,n=1,2,）极限存在，并求4lim xn.证及解：易知xn Ja xn 1，考察函数f x a x，x 0, 且在0, 上,由压缩映射原理，数列 人收敛且极限为方程x f x的解.解得 limx. 4an 2注：压缩映射原理在实数分析中有着十分广泛

17、的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中 有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决13. 利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛 数列极限中的应用。.下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求例14.求limnarcta n? narcta n n解：设f xarctanx，应用拉格朗日中值定理，得故当n时,上式应为可知原式lim 2an 12 n(n 1)limn14. 利用一些熟知的公式求极限(A)lim anna，则(lim an有限数，j，

18、但不行）（B）若limana，且anan 1an en,liman-,但 lim *annan 1enne）0 .则 lim n ann 11a2Lan应为lim 色ann(a为a （这是哪来的结论？如(c)若lim如nana，且 an 0.贝U lim n ana(D)若 lim ann例 15. 求 nim n；（此题过程已改动解：令bnn nn!an罟，则abn 1bnaan 1d,则 lim n dn n根据上述公式，我们可以求一些复杂的极限lim an e，nnnimnn! nimnbnlim n b| b2bn7 bmlimn a1a2anen例16.求lim 1n解：令an lim annlim