（精编）大一上学期高数期末考试题

1、 大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题 (本大题有 4小题,每小题 4分,共 16分)设 f ( x ) cos x ( x sin x ),则在 x0处有()1.（A） f (0) 2（B） f (0) 1（C） f (0) 0（D） f (x )不可导 .1 x， ( x) 3 3 x，则当 x 1时（）3设 ( x)2.1 x.( x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；( x)与 (x)（B）（A）是等价无穷小；(x)(x)( x)（D）(x)（C）是比高阶的无穷小；是比高阶的无穷小 .xF (x)(2t x) f (t)dt ，其中f ( x)在区间上 ( 1,1)二阶可导且

2、3.若0f (x ) 0，则（）.（A）函数 F (x)必在 x 0（B）函数 F (x)必在 x 0处取得极大值；处取得极小值；（C）函数 F (x)在 x 0处没有极值，但点(0, F (0)为曲线 y F (x)的拐点；y F (x)的拐点。（D）函数 F(x)在 x 0处没有极值，点 (0, F(0)也不是曲线1设 f ( x )是连续函数，且f ( x )x 2 f ( t )dt ,则 f ( x ) ()4.0x 2x 22（C） x 1（D） x 2.（A） 2（B） 2二、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共 16分）2lim (1 3 x ) sin x5.6.x0c

3、osx是 f ( x)的一个原函数 ,cosx d xx已知则 f ( x)x.2n 1nlim (cos2cos2L cos2)nnnn7.122x arcsin x 1 dx1 x 2 18.2三、解答题（本大题有 5小题，每小题 8分，共 40分）y y(x)由方程 ex y sin( xy) 1确定，求 y ( x )以及 y (0) .9.设函数 1 x 7求x(1 x 7) dx.10.xxe，x 01f ( x )dx3设 f ( x )求22 x x， 0 x 111.12.1f ( x )xg( x )f ( xt )dtlimA，为常数求f (x)连续，且 x.0A设函数0

4、g(x)并讨论 g( x)在 x 0处的连续性 .1y(1)xy 2 y x ln x满足9的解.13.求微分方程四、解答题（本大题 10分）y y(x) (x 0)，过点 (0,1)14.已知上半平面内一曲线，且曲线上任一点M ( x , y )y处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、轴、直线 x x所围成000面积的 2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10分）y ln x的切线，该切线与曲线 y ln x及 x轴围15.过坐标原点作曲线成平面图形 D.(1)求 D的面积 A；(2)求 D绕直线 x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2小题，每小题

5、 4分，共 8分）0,1f (x )上连续且单调递减，证明对任意的 q 0,116. 设函数在，q1f ( x) d x q f ( x)dx00.f ( x ) d x 0f ( x )cos x dx 017.设函数 f ( x)证明：在 0,在 0,.上连续，且，00f ( ) f ( ) 0.（提,内至少存在两个不同的点，使2121xF ( x )f ( x )dx示：设）0解答一、单项选择题 (本大题有 4小题,每小题 4分,共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共 16分）1 cosx) 2 c.7.(e62 x2 . 8.35. 6

6、.三、解答题（本大题有 5小题，每小题 8分，共 40分）9.解：方程两边求导 xye (1 y ) cos(xy)( xyy) 0exyy cos(xy )x cos(xy )y ( x)xyex 0, y 0 y (0)1，76u x7x dx du10.解：1 (1 u) du 1 12)du原式(7 u u 17 u(1 u)1(ln |u | 2ln |u 1|) c271777ln |1 x | Cln | x |7101xxe dx22x x dxf (x)dx11.解：33001x2xd ( e )1 ( x 1) dx3000xe x2cos d(令 x 1 sin )xe3

7、232e 14f (0) 0，知 g(0) 012.解：由。xf (u )dux1xtu0g( x )f (xt )dt0( x 0)xxf (x)f (u)du0x 2g ( x)(x 0)xf (u)duf (x) Alimx 02x 20g (0) limx 2x0xxf (x)f (u)duA A0x 2lim g (x) limA2 2， g ( x)在 x 0处连续。x0x0dy 2 y ln x13.解： dx x2x2xdxdxln xdx C)y e1( e19xln xx Cx 213191yxln xxy(1),C 0，39四、解答题（本大题 10分） xy 2 yd x

8、 y14.解：由已知且0，x求导得 y2y y将此方程关于r 2解出特征根： r11, r 2.2r 2 0特征方程：其通解为xC e2x2y C e1231C1e2 x, C 2y(0) y (0) 1，得3代入初始条件231y故所求曲线方程为：五、解答题（本大题 10分）e x31y ln x0( x x )0( x ,ln x 0)0x015.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：1yxx0e，从而切线方程为：e由于切线过原点，解出11A(e y ey)dye 12则平面图形面积01V1e23（2）三角形绕直线 x = e一周所得圆锥体体积记为 V，则1曲线 y ln x与 x轴及直线 x = e所围成的图形绕直线 x = e一周所得旋转体体积为 V21y 2(e e ) dyV202V V V 2(5e 12e 3)16D绕直线 x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有 2小题，每小题 4分，共 12分）q1qq1f ( x) d x q f (x)dxf (x) d x q( f (x) d xf (x)dx)16.证明：0000qq1(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx0q0, q q,1f ()f ()2121q(1 q) f