441参数方程的意义

1、第7页4.4.1参数方程的意义1 理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程.2.通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义.基础初探1. 参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C上任意一点P的坐标x和y都x= ft),可以表示为某个变量t的函数， 丿 反过来，对于t的每一个允许值，由函尸 g(t)x= f(t，x=ft数式2 所确定的点P(x, y)都在这条曲线上，那么方程， 丿 叫做严 g(t)姑 g(t)曲线c的参数方程，变量t是参变数，简称参数.2. 求参数方程的一般步骤(1) 建立直角坐标系，设曲线上任意一点 M的坐标为(x，y);(2)

2、选取适当的参数；(3) 根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式；(4) 证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写).思考探究1.从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.2 在选择参数时，要注意什么？【提示】在选择参数时，要注意以下几点：参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；x，y取值范围 选择的参数要便于使问题中的条件明析化； 对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对的制约; 若求轨迹，应

3、尽量使所得的参数方程便于消参.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2： 解惑：疑问3： 解惑：疑问4： 解惑：Wi点与曲线的位置x 3t例n已知曲线c的参数方程是2 (t为参数).ly= 2t + 1判断点Mi(0,1), M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值.3t，【自主解答】把点Mi(0,1)代入，得22t2 + 1，解得t= 0，故点M1在曲线C 上,5= 3t，把点M2(5,4)代入，得214= 2t2 + 1，这个方程组无解，因此点M2(5,4)不在曲线C 上,6= 3t，t= 2，(2)因为

4、点M3(6，a)在曲线C上，所以 2解得故a=a= 2t2 + 1，la= 9，9.再练一题x= 1 + 2t,1 已知某条曲线C的参数方程为彳 2(其中t为参数，a R),点y=atM(5,4)在该曲线上，求常数a.【解】点M(5,4)在曲线C 上,解得：t=2,a= 1.5= 1+ 2t,4= at2,k7卜例a的值为1.山求曲线的轨迹方程如图4-4-1, ABP是等腰直角三角形，/ B是直角，腰长为a,顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程. 图441【自主解答】 法一 设P点的坐标为(x, y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则R3AB 织t ZQ

5、BP.取 0B= t, t 为参数(Ovtva).OA= a2t2,BQ=a2-12.点P在第一象限的轨迹的参数方程为 x= t + 冷 a2 t2,(0v tv a).y=t法二 设点P的坐标为(x, y),过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示.取/QBP= 9,n9为参数(Ov 9v 2),r ，n则 ZABO = 2- 9亠.n在 RtSAB 中，OB = acos(2 9 = asin 9在 RtAQBP 中，BQ = acos 9, PQ = asin 9点P在第一象限的轨迹的参数方程为x= a(s in 9+ cos 9),n(9 为参数，Ov V 2)y= as in 9求动

6、点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变 量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表 示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起， 从而得到曲线的参数方 程.再练一题n2设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为60ad/s. 试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.【导学号：98990026】【解】如图所示，运动开始时质点位于点 A处，此时t= 0,设动点M(x, y)对应时刻t,x= 2cos 9,n由图可知又9= 60t(t以s为单位),y= 2sin 9,60-nx= 2cos 60t,故参数方程为（t为参数，

7、t 0）.y= 2sinn60t真题链接赏析於门也 (教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度vo(m/s)沿水平方向抛出.以抛出点为原点，水平直线为 x轴，写出物体所经路线的参数方程,并求出它的普通方程.x=2cos t诊竄析已知动点P、Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参ky=2sin t数分别为t= a与t = 2o(OV a 2n) M为PQ的中点.(1) 求 M的轨迹的参数方程；(2) 将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标 原点.【命题意图】 本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力.【解】(1)依题意有P(2cos a，2s

8、in a，Q（2cos 2a, 2sin 2，因此 M（cos a+ cos 2a，sin a+ sin 2 o）.（a 为参数，0 V aV 2 n）x= cos a+ cos 2aM的轨迹的参数方程为y= sin a+ sin 2aM点到坐标原点的距离d= x2+ y2 = 2 + 2cos a。V aV 2 n当a= n时，d = 0，故M的轨迹过坐标原点.(0为参数，0W V 2n)x= 2si n 0+ 1，1.已知曲线ly= sin 下列各点A(1,3), B(2,2), C( 3,5)，其中在曲线上的点是 .【导学号：98990027】 【解析】将A点坐标代入方程得：0= 0或n将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上.【答案】A(1,3)x= 5cos 02 椭圆彳的焦点坐标为y=4sin 02 2【解析】把椭圆方程化为普通方程，得 务+ *= 1.则a2= 25, b2= 16,所2以c = 9椭圆的焦点为(一3,0)和(3,0).【答案】(3,0) 和 (3,0)3 椭圆02)+ y2 = 1的一个参数方程为 .x 2【解析】 设一厂=cos 0, y = sin