2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.理)含答案

1、绝密启用前2008 年普通高等学校招生全国统一考试( 重庆卷 )数学试题卷（理工农医类）数学试题卷 (理工农医类 )共 5 页。满分150 分。考试时间120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B

2、)如果事件 A、B 相互独立，那么P(AB)=P(A) P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn(K)= kmPk(1-P) n-k以 R 为半径的球的体积 V= 4 R3.3一、选择题 :本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（ 1）复数 1+i22 =(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设 m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充要条件(D) 既不充分也不必要条件(3) 圆 O

3、1:x2+y2-2x=0 和圆 O2 :x2+y2-4y=0 的位置关系是(A) 相离(B) 相交(C) 外切(D) 内切(4)已知函数 y=1 xx 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 m 的值为M(A)11234(B)(C)(D)222(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则 P( 31111(A)(B)(C)(D)5432(6) 若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意x1,x2 R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, 则下列说法一定正确的是(A) f(x)为奇函数（ B） f(x)为偶函数(C) f(x)+1 为奇函数（ D） f(x)+1 为偶函数(7)

4、 若过两点 P1 (-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P，则点 P 分有向线段 PP 所成的比的12值为11(C)11(A) (B) 5(D)353(8) 已知双曲线x2y21（a 0,b0）的一条渐近线为y=kx(k 0),离心率 e=5k ,则双曲b2a2线方程为2222（ A ） x2 y2 =1(B)x2y21a4aa5ax2y21(D)x2y21(C)b25b2b24b2(9) 如解（ 9）图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4 个顶点 .V1 为小球相交部分（图中

5、阴影部分）的体积，V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是VV（ A ）V1=(B) V2=22（C）V 1 V2（ D）V 10)93(14) 设 Sn=是等差数列 an 的前 n 项和， a12=-8,S9=-9, 则 S16=.（ 15）直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a3) 相交于两点 A ，B ，弦 AB的中点为（ 0， 1），则直线 l 的方程为.(16) 某人有4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点 A、B 、C、A1 、B1 、C1 上各装一个灯泡， 要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少

6、用一个的安装方法共有种（用数字作答） .三、解答题：本大题共6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（ 17）（本小题满分 13分，（）小问6 分，（）小问 7 分）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，且 A= 60 ， c=3b.求：（） a 的值；c（） cotB+cot C 的值 .（ 18）（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分 .）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6 局

7、时停止 .设在每局中参赛者胜负的概率均为1 ，且各局胜负相2互独立 .求：（）打满 3 局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.（ 19）（本小题满分13 分，（）小问6 分，（）小问7 分.）如题（ 19）图，在ABC 中， B= 90 ,AC=15,D 、E 两点分别在 AB、AC 上.使2ADAEDB2,DE=3. 现将 ABC 沿 DE 折成直二角角，求：ECAD 与 BC 的距离；（）异面直线（）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示） .（ 20）（本小题满分13 分 .（）小问5 分 .（）小问 8 分 .）设函数 f ( x)ax2bx c(a0),

8、曲线 y=f(x) 通过点（ 0，2a+3），且在点（ -1，（f-1）处的切线垂直于 y 轴 .（）用 a 分别表示 b 和 c；（）当 bc 取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x 的单调区间 .（ 21）（本小题满分12 分，（）小问5 分，（）小问 7 分 .）如图（ 21）图，M（ -2，0）和 N（ 2，0）是平面上的两点， 动点 P 满足： PMPN6.（）求点P 的轨迹方程；2（）若PM PN 1cos MPN,求点 P 的坐标 .（ 22）（本小题满分 12 分，（）小问5 分，（）小问7 分.）3设各项均为正数的数列 an 满足 a1 2, an aa21 aa 2

9、 (n N*) .（）若 a214，求 a3， a4，并猜想a2cos 的值（不需证明） ；（）记 bna3 a2an (nN*), 若 bn22 对 n 2 恒成立，求 a2 的值及数列 bn 的通项公式 .2008 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5 分，满分50 分.（1）A（ 2）A（3）B（ 4）C（5）D（6）C（7）A（ 8）C（9）D（ 10）B二、填空题：每小题4 分，满分24 分.（ 11） 2，5（ 12） 1（ 13）3（ 14） -72（ 15） x-y+1=0（ 16）2163三、解答题：满分76 分.（ 17）（

10、本小题 13 分）解：（）由余弦定理得a2b2c22bcos A ( 1 c) 2 c22 1 c c 1 7 c2 ,3329故 a7.c3（）解法一： cot Bcot C cos B sin CcosC sin Bsin B sin C sin( BC )sin A,sin Bsin Csin B sin C由正弦定理和（）的结论得sin A1227 c214 3a914.sin B sin Csin Abc31 cc 3 393故 cot Bcot C143 .9解法二：由余弦定理及（）的结论有2c2b27 c2c2(1 c)2cosBa932ac72c c3 5 .2 7故 sin

11、B1 cos2 B12523 .287同理可得a2b2c27 c21 c2 c2199cosC2ab,27 c1 c2 733sin C1cos2 C1133.2827从而 cot Bcot Ccos BcosC5 31314 3.sin Bsin C399（ 18）（本小题13 分）解：令 Ak , Bk ,Ck 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜 .（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3局比赛还未停止的概率为P( AC1 2B3 ) P( B1C2 A3 )111 .23234（）的所有可能值为2， 3， 4， 5， 6，且P(2) P( A1 A2 ) P(

12、 B1B2)11 1 ,22222P(3) P( AC1 2C3) P(B1C2C3 )11 1 .23234P(4) P( AC2B3B4 ) P(B1C2 A3A4 )11124248 .1P(5) P( AC1 2 B3 A4 A5 ) P( B1C2 A3B4 B5 )1 11 ,252516P(6) P( AC1 2 B3 A4C5 ) P( B1C2 A3B4C5 )1 11 ,252516故有分布列23456P111112481616从而 E213 141516147（局） .248161616（ 19）（本小题 13 分）解法一：（）在答（19）图 1 中，因 ADAE ，故

13、BE BC.又因 B 90，从而DBCEAD DE.在第（ 19）图 2 中，因 A- DE-B 是直二面角， AD DE ,故 AD 底面 DBCE ，从而 AD DB .而 DB BC,故 DB 为异面直线 AD 与 BC 的公垂线 .下求 DB 之长 .在答（ 19）图 1 中，由 ADAE2，得 DEAD2 .CBBCBCAB3又已知 DE=3, 从而 BC3 DE9 .2222ABAC2BC21596.22因 DB 1 ,故DB2. AB 3（）在第（ 19）图 2 中，过 D 作 DF CE,交 CE 的延长线于 F ，连接 AF .由（ 1）知，AD底面 DBCE ,由三垂线定理

14、知 AF FC ,故 AFD 为二面角 A-BC -B 的平面角 .在底面 DBCE 中， DEF = BCE,DB 2, EC1 155 ,322因此 sin BCEDB4 .EC5从而在 Rt DFE 中， DE =3,DFDE sin DEFDE sin BCE3 412 .55在 RtAFD 中, AD4, tan AFDAD5 .DF3因此所求二面角 A-EC-B 的大小为 arctan 5 .3解法二：（）同解法一 .（）如答（ 19）图 3.由（）知，以 D 点为坐标原点，DB、DE、DA 的方向为 x、y、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（ 0， 0， 0）， A（ 0

15、， 0，4），C9， ，E（0，3，0）.2 023AD - 2，-，0 ，AD（ 0，0，- 4） . 过 D 作 DF CE,交 CE 的延长线于 F，连接 AF.设 F ( x0, y0,0), 从而 DF ( x , y ,0),00EF( x0 , y03,0).由DFCE ，有DF CE 0,即2x03 y0 0.2又由 CE EF , 得 x0y03 .232联立、，解得x036 , y048 .即F36,48,0，得 AF36,48, 4 .252525252525因 为3 64 83故 AFCEDF CEAF CE( 2 )0,又 因所 以2 52,2 5DFA为所求的二面角

16、A-EC-B的平面角.因 DF36,48,0 , 有252522AD5DF364812, AD4, 所以 tan AFD.DF252553因此所求二面角5A-EC-B的大小为 arctan .3(20) （本小题 13 分）解： ( ) 因为 f (x)ax2 bx c, 所以f( x)2axb.又因为曲线yf ( x) 通过点（ 0， 2a+3） ,故 f (0)2a3,而f (0) c, 从而 c2a3.又曲线 yf (x) 在（ -1 ，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故 f ( 1) 0,即 -2 a+b=0, 因此 b=2a.( ) 由 ( ) 得 bc2a(2a 3) 4( a

17、3) 29 ,44故当 a3时， bc 取得最小值 -9 .44此时有 b3 , c3 .22从而 f (x)3 x23 x3 , f ( x)3 x3 ,42222g( x)f (x)c x( 3 x2 3 x3 )e x,422所以 g ( x) ( f ( x)f ( x) e x3( x24) e x.4令 g (x)0，解得 x12, x22.当 x(, 2)时, g ( x)0,故g(x)在 x(,2)上为减函数；当 x( 2,2)时， g ( x)0,故g(x)在 x(2,)上为减函数 .当 x(2,)时， g (x)0，故 g( x)在x(2,)上为减函数 .由此可见，函数 g

18、( x) 的单调递减区间为（- ， -2 ）和（ 2， +）；单调递增区间为（ -2 ， 2） .(21) （本小题 12 分）解： ( ) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以 M、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 .因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b=a2c25，所以椭圆的方程为x2y21.95()由 PMPN2, 得1cosMPNPMPN cosMPNPMPN2.因为 cos MPN1,P 不为椭圆长轴顶点，故P、M、N 构成三角形 . 在 PMN中， MN4,由余弦定理有MN2PM2PN2PN cosMPN .2 PM将代入，得422PN22( PMPN2).PM故点 P 在以

19、 M、N为焦点，实轴长为2 3 的双曲线 x2y21上 .3由 ( ) 知，点 P 的坐标又满足 x2y21，所以9533由方程组5x29 y 245,解得x2,x23y 23.5 .y2即 P点坐标为33,5335335335(2)、（， -2）、（ -2，）或（， -） .22222(22)( 本小题 12 分 )解： ( ) 因 a 2, a2 2,故123a3a1a2224,32 8.a4a2 a32由此有 a12(2) 0, a22(2) 2,a32( 2)2, a42(2) 3，故猜想 an的通项为an(2) n 1(n*).2N（）令 xnlog2a , S 表示 x 的前 n项和，则 b2Sn .nnnn由题设知x1=1 且xn3 xn 1xn 2 (n N * );2Snx 1 x2xn3(n