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1、专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0;(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；(3) 代入转移法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(xo, yo)的变化而变化，并且 Q(xo，yo)又在某已知曲线上，贝U可先用x，y的代数式表示xo，yo，再将xo，yo代入已知曲线得 要求的轨迹方程.1. 一个区别一一“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变 量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出

2、方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、 大小等有关的数据.2. 双向检验一一求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行： 一 是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P(x, y)与两定点M( 1,0), N(1,o)连线的斜率之积等于常数 g0).(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 试根据入的取值情况讨论轨迹C的形状.解(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零,所以kPM kPNy . yx+1 x 1求轨迹方程-9当

3、心0且 存1时，是椭圆的轨迹方程; 当 X0时，是双曲线的轨迹方程； 当 A 0时，是直线的轨迹方程. 综上，方程不表示抛物线的方程.【答案】 C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆01和02,它们的半径分别是1和2,且|0102匸4.动圆M与圆01内切, 又与圆02外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.【解】 如图所示，以0102的中点0为原点，0102所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由 0102匸4,得 01( 2,0), 02(2,0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆01内切，有|M01|= r 由动圆 M 与圆 02外切，有 |M02|=

4、r + 2./.|M02|M01|= 3.点M的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.322 = 2， c= 2,b =_c a4x2 49 点M的轨迹方程为1XW-37 12 .2=7.1；64【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A: (x+ 2)2 + 1与点B(2,0) 分别求出满足下列条件的动点 P的轨迹方程.( PAB的周长为10;(2) 圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心);(3) 圆P与圆A外切，且与直线x= 1相切(P为动圆圆心).y0【解】 根据题意，知 |FA|+ |PB|+ |AB| = 10，即 |PA|+|PB匸 6 4= |AB|, 故P点轨

5、迹是椭圆，且 2a=6,2c= 4,即a = 3，c= 2，b= ,5.X2 y2因此其轨迹方程为9 + y = 1(尸0).(2)设圆 P 的半径为 r，则 |FA|= r + 1，|PB|= r，因此 |PA|-|PB|= 1.图 8-8-1由双曲线的定义知,1a= 2，c= 2, b=因此其轨迹方程为依题意，知动点开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为yP点的轨迹为双曲线的右支，且2a= 1,2c= 4,即24 214x-神二 1 x 2.P到定点A的距离等于到定直线x= 2的距离，故其轨迹为抛物线，且2=- 8x.考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P是圆

6、x2 + y2= 25上的动点，4点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|= 5图 8-8-2(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；4（2）求过点（3,0）且斜率为4的直线被C所截线段的长度.XP= x,5yp=4y.【解】（1）设M的坐标为（x, y）, P的坐标为（xp, yr），由已知得P在圆上， x2 + 4$ 2= 25,即 c 的方程为 25+16= 1.C 的交点为 A(xi, yi), B(x2,44（2）过点（3,0）且斜率为5的直线方程为y= 5（x- 3），设直线与y2），将直线方程y=詼3）代入C的方程，得+x- 3 225即 x2 3x 8= 0.3

7、何3 +回 .x12, x22线段 AB 的长度为 |AB|= ： x1 X22+ y1 y2 2 =1+ 26 X1 X22 =25414125X 41 =寸【对点练习2】（2014合肥模拟）如图8-8-5所示，以原点O为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆于 点Q, P在y轴上的射影为 M.动点N满足PM = ?PN且PM QN= 0.（1）求点N的轨迹方程；过点A（0,3）作斜率分别为k1, k2的直线|1, |2与点N的轨迹分别 交于E, F两点，k1 k2= 9.求证：直线EF过定点.【解】（1 ）由PM = ?PN且PM （QN = 0可知N,

8、P, M三点共线且PM丄QN.过点Q作QN丄PM，垂足为N，设N(x, y), v|OP|= 3, |OQ|= 1,由相似可知P(3x, y).2 2P 在圆 x2 + y2 = 9 上, (3x)2 + y2 = 9,即 + x2= 1.所以点 N 的轨迹方程为 + x2= 1.y= k1x+ 3,(2)证明：设 E(xe, yE), F(xf , yF)，依题意，由y29 + x = 1(k1 + 9)x2 + 6k1x= 0,解得x= 0或x= 6k1k2 + 9所以xe= 6k1k1+ 9,6k127 3k1yE=k1 - k?+9 + 3=2+9，6k127 - 3k1Ek1+ 9，

9、 k1 + 999vk1k2=- 9,Ak2=- .用 k2=-话替代中的 k1,同理可得F6k1k1+ 9,3k2- 27k2+ 9显然e, f关于原点对称，直线EF必过原点O.一、选择题1.若M, N为两个定点,【达标训练】且|MN|= 6,动点P满足PM PN = 0,则P点的轨迹是（A 圆B 椭圆C.双曲线D 抛物线1 12. 已知点F 4，0，直线I: x= 4,点B是I上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A .双曲线B .椭圆C.圆D .抛物线3. (2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1), B( 1,3),若点C满足O

10、C= 2iOA +來金(0为原点)，其中21,位 R,且刀+龙=1,则点C的轨迹是()A .直线 B .椭圆C.圆 D .双曲线图 8-8-44. (2014合肥模拟)如图8-8-4所示，A是圆0内一定点，B是圆周上 一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A .圆B .椭圆C.双曲线D.抛物线5. 设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于O为坐标原点，若BP = 2PA,)B.|x2-3y2 = 1(x0, y0)D . 3x2 + 2y2= 1(x0, y0)A, B两点，点Q与点P关于y轴对称, 且OQ AB= 1,则点P的轨迹方程是(A.3x2

11、+1(x0, y0)C. 3x2 2v2= 1(x0, y0)6已知动点P在曲线2x2 y= 0上移动，则点A(0, 1)与点P连线中点的轨迹方程是()、填空题B. y= 8x2C. 2y= 8x2 1D . 2y= 8x2 + 17. 平面上有三个点 A( 2, y), B 0, 2 , C(x, y),若AB丄BC,则动点C的轨迹方程是8. 动圆与。C1： x2 + 1外切，与O C2： x2 + y2 8x+ 12 = 0内切，则动圆圆心的轨迹是9. 已知 ABC的顶点B(0,0), C(5,0), AB边上的中线长|CD匸3,则顶点A的轨迹方程为 aa10. (2014佛山模拟)在厶A

12、BC中，A为动点，B, C为定点，B 2, 0 , C 2，0 (a0), 且满足条件sin C sin B = 2sin A,则动点A的轨迹方程是.三、解答题11. 已知定点F(0,1)和直线l1： y= 1,过定点F与直线I1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；过点F的直线I2交轨迹于P, Q两点，交直线I1于点R,求RPRQ的最小值.12. (2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, 1), B点在直线y= 3 上，M点满足MB / OA, MAAB= MB BA, M点的轨迹为曲线 C.(1) 求C的方程；(2) P为C上的动点，I为C在P点处的切线，

13、求0点到I距离的最小值.13. (2013课标全国卷U )在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2, 在y轴上截得线段长为2 3.(1) 求圆心P的轨迹方程；(2) 若 P点到直线y= x的距离为 乎，求圆P的方程.【达标训练】参考答案一、选择题1. A.【解析】TPM PN= 0,：PM丄PN,.点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.2. D.【解析】由已知：|MF匸|MB|,由抛物线定义知，点 M的轨迹是以F为焦点，I为准线 的抛物线.x= 3 入一左,3. A.I解析】设C(x,y),因为OC=入OA+龙OB,所以(x,y)=入(3,1)+烈一1,3),即解得y+ 3x為

14、=10，3y x2e=忆10，y = A1 + 3 ?2,y+ 3x 3yx又入+龙=1,所以 + = 1,即x+ 2y= 5,所以点C的轨迹为直线，故选A.4. B .【解析】由题意知，|EA|+ |EO|=|EB| + |EO|= r(r为圆的半径)且r |OA|,故E的轨迹为以O, A为焦点的椭圆，故选B.5.A.【解析】设 P(x, y), A(xa,0), BP= 2PA,X= 2 xA x ,y yB= 2y,B(0, yB),则 BP= (x, y yB), PA= (xa x, y),3 xA = 2x, 即 2yB = 3y.A 2x, 0 , B(0,3y).，OQ= (

15、x, y), AB= 2x,又 Q(x, y),则点P的轨迹方程是|x2 + 3y2= 1(x0, y0).3y ,OQ AB=x2 + 3y2 = 1,xy， 1 x，=2x,6. C.【解析】设 AP 中点 M(x, y), P(x，, y ),则 x=, y=，二22y，= 2y+1,代入 2x2 y= 0,得 2y= 8x2 1,故选 C.二、填空题7. y2= 8x。【解析】AB= 0, 2 ( 2, y)= 2,孑,EC= (x, y) 0, 2 = x, 2 ,AB丄BC,.AB BC = 0,二 2,y-2Xy-2即/ = 8x. 动点C的轨迹方程为y = 8x.8. 以Ci,

16、 C2为焦点的双曲线的右支。【解析】OC2的圆心为C2(4,0)，半径为2,设所求动圆的圆心为 M，半径为r，因为动圆与。Ci外切，又与O C2内切，所以r2, |MCi|= r + 1，|MC2匸r-2.由一得|MCi|- |MC2| =3v |CiC2|= 4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以 Ci, C2为焦点的双曲线的右支.9. (x- 10) 2 X0+ 41 24 -2,所以 d= =1，X+ 4+ 躺42- + y2= 36(尸0).【解析】设 A(x, y),则 D |, 2 ,阿匸寸纟-5 2+鲁=3, 化简得(x- 10)2 + y2= 36,由于A, B, C三点构

17、成三角形， A不能落在x轴上，即 沪0.2 210. 【答案】普 -3* = 1(x 0且yM 0).【解析】由正弦定理：易暑一ACLgxIC1,即|AB|1aAC|= 2BC|，故动点A是以B, C为焦点，为实轴长的双曲线右支.三、解答题11. 【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到|1的距离,点C的轨迹是以F为焦点，|1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.2k，(2)由题意知，直线12的方程可设为y= kx+ 1(kM0),与抛物线方程联立消去y,得x2- 4kx4= 0. 设 P(X1,y”，Q(x2,yz),则 X1 + X2= 4k,X1xz = -4.又易得点 R 的

18、坐标为.RP RQ= X1 + k, y1 + 12 2 2X2 + k, y2+ 1 = X1+ k X2 + k + (kx1 + 2)(kx2+ 2)=(1 + k2)x1X2 + 2+ 2k (x1 + X2) + 右+ 4=- 4(1 + k2)+ 4k 2+ 2k + 右+ 4= 4 k2+右 + 8.vk2 + k22,当且仅当k2= 1时取等号,/RP RQ4X 2 + 8= 16,即 RPRQ的最小值为 16.12. 【解】(1)设 M(x, y),由已知得 B(x,- 3).又 A(0,- 1),所以 MA = (-x,- 1-y), MB = (0,- 3 y), AB=

19、 (x,- 2).再由题意可知(MA + MB) AB= 0,1 2即(-x,- 4- 2y) (x,- 2)= 0,所以曲线 C 的方程为 y=4x2 2.1 1 1设P(X0, y)为曲线C: y= ”x2 2上一点，因为y=卞，所以l的斜率为心1-|2y0 xo|又y0=因此直线l的方程为y-y0 = QX0(xX0)，即X0X-2y+ 2y0- xo = 0.则O点到l的距离d =,13. 【解】设P(x, y),圆P的半径为r.由题设y2 + 2= r2, x2 + 3= r2,从而y2 + 2 = x2+ 3.故P点的轨迹方程为y2 x2= 1.|xo yo|一2=又P点在双曲线y2 x2=