2018-2019学年高中毕业班第二次统测数学(理科)试题

1、试卷类型： A肇庆市 2019 届高中毕业班第二次统一检测理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。3考试结束。监考人员将试卷、答题卷一并收回。一、 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 Px x22x0 ， Qx1x1 ，则 PQA 1,2B1,0C 1,2D 0,1

2、2若复数 z 满足 z12i ，则 z1iA 2B 3C 10D 122223记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若 S633， a12 ，则 a5A 12B 10C 10D 124下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是A y1B y2x2 xC ysin xD yx2xx 05. 若 x ， y 满足约束条件xy3 0，则 zx 2y 的取值范围是x2y 0A0， 6B0，4C 6,)D 4,)高三数学（理科）试题第1页共12页6已知ABC 错误！未找到引用源。的边错误！未找到引用源。BC 上有一点 错误！未找到引用源。 满足 BD3DC ，则错误！未找到引用源。可表示为A

3、 AD1 AB3 AC44用源。 AD3 AB1 AC44C AD2 AB1 AC33用源。 AD12ABAC33错误！未找到引用源。B 错误！未找到引错误！未找到引用源。D 错误！未找到引7太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被 ysinx 的图象分割为两个对称的鱼形3图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为 1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到

4、“鱼眼”部分的概率为8211A.B.C.D.999188y2x，点P22,2在C 上，已知双曲线 C 的中心为坐标原点， 一条渐近线方程为则 C 的方程为x2y2x2y21x2y21y2x21A 1B14C4D74272149由 y2sin(4 x1 ) 的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到42原来的 2 倍后， 所得图象对应的函数解析式为A y2sin(2 x1 )B y2sin(2 x1)44C y2sin(2 x1D y2sin(8 x1)4810. 在长方体 ABCD A1 BC1 1D1中， AA1AB 2BC4， E 是 AB 的中点，则三棱锥E D1C1C 外

5、接球的表面积为高三数学（理科）试题第2页共12页A 36B 32C 9D 811已知 x1 是 fxx2a3 x2a 3 ex 的极小值点，则实数a 的取值范围是A 1，B 1，C， 1D ，112x2y21(ab0)A, B， P 是椭圆上异于A, B已知椭圆C : a2b2的左右顶点分别为的一点，若直线 PA 的斜率 kPA与直线 PB 的斜率 kPB 乘积 kPAkPB1，则椭圆 C 的离心率为41B.133A.2C.D.442二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。13某频率分布表 （样本容量为50 ）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20,60 内的频率为 0.6

6、 ，则估计样本在40,50，50,60的数据个数之和是分组10,2020,3030,40频数34514已知数列an为等比数列， a12 ， a34 则 a12a22a32a82=2515 1x3x2的展开式中 x4的系数为 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。x错误！未找到引用源。16在平面凸四边形ABCD 中， CBCD 3, AB ADx,BCD3,将 ABD 沿BD折起，形成三棱锥ABCD ，若翻折过程中，存在某个位置，使得BCA D ，则 x 取值范围是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23

7、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（本小题满分12 分）高三数学（理科）试题第3页共12页在ABC 中， AC8， BC7 ， cos B1.7（ 1）求角 A 的大小；（ 2）求 ABC 的面积 .18（本小题满分12 分）如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，侧面SBC 是等边三角形，SBAC .（1）证明：ABAS ；（2）若 ABAS ， CACS ，求二面角ASDC 的余弦值 .19（本小题满分12 分）已知椭圆x2y21 a b 0 经过点 M3, 1，N1,3，直线C :b2a2223与椭圆 C 交于 A, B 两点， O 是坐标原点

8、 .l : y kx2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）求 OAB 面积的最大值 .高三数学（理科）试题第4页共12页20.（本小题满分12 分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷 4 枚相同的、 质地均匀的硬币， 若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”. 顾客每买一件产品可以参加3 次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券.方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利” ，则顾客获得代金券1 万元，否则32该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3 次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如下表获得代金券金额（万0111

9、55115元）“顾客胜利” 次数0123（ 1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；（ 2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？21.（本小题满分 12分）已知函数 f xx ln x a 在0，上单调递减 .x高三数学（理科）试题第5页共12页（1）求 a 的取值范围；（2）若 gxxln x 的图象在 xx1 , x2 x1x2 的切线斜率相同，证明：（ i ） x1 x2256 ；（ ii ） gx1g x288ln 2.（二）选考题：共10 分请考生在第22、 23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22.（本

10、小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x12cos ,（ 为参数），以坐标原点为y32sin 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 1的极坐标方程为 0 ，将直线 l1 绕2极点 O 逆时针旋转个单位得到直线l2 3（1）求 C 和 l2 的极坐标方程；（2）设直线 l1 和曲线 C 交于 O, A 两点，直线l 2 和曲线 C 交于 O, B 两点，求OAOB 的最大值23.（本小题满分10 分）选修4 5：不等式选讲已知函数fxxa2x2 aR （1）当 a2 时，求不等式fx2 的解集；（2）若 fx2 ，求实数 a 的

11、取值范围2019 届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准高三数学（理科）试题第6页共12页123456789101112DCBBDABBABDD1321141020 写 2104不扣分151203，1617121ABCcosB0, Bsin B1cos2 B4 327ACBC87sin A3sin B3sin A4sin A427ABA0, A232 sin CsinA Bsin ABsin A cos Bcos Asin B311433369272714S ABC1187336312AC BC sin C214218121BSOCO，AOSBCBS COBSAC, AC CO

12、 CBS面AOC .AO面AOCBS AO .3OBSABAS4zDA2BS2AOOS1OC3CACS 2AO2OC2AC2AOOC.ByC高三数学（理科）试题第7页共12页OSx又由（ 1）知， OSOA, OSOC ，如图以 O 为原点，OS,OC, OA 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系6 分则 A 0,0,1 ， S 1,0,0， C0,3,0， B1,0,0 ，AD BC1,3,0 ， AS1,0,1，设面 ASD 的一个法向量为n1x1, y1 , z1 ，则AS n10x1z10，即x13y10AD n01x13得方程的一组解为y11 ，即 n13,

13、1,38 分z13CD BA1,0,1， SC1,3,0，设面 SDC 的一个法向量为n2x2 , y2 , z2 ，则SC n20x23y20，即x2z20，CD n20x23得方程的一组解为y21，即 n23,1,310 分z23cos n1, n2n1n2313111 分n1n2777所以二面角 A SD C 的余弦值为 1.12 分7（ 19）（本小题满分12 分）3141a24解：（ 1） 依题意可得a2b23解得11b241a2b2高三数学（理科）试题第8页共12页椭圆 C 的标准方程为x2y21.34ykx32 得4k2x2（2）设 Ax1 , y1, B x2 , y2，由x2

14、112kx5 0y21412 k24514k 264k 220由0 得 k 25，616x1 x2112k2 , x1 x21524k4kAB1k 2x1x21k 2x1x24x1x21k 264k220214k 23O ABd21k 2S AOB1AB d316k 2592214k 2设 16k 25t, 则 t0, k 2t 2516S AOB3t6t6612 1t25t299t2 t94tt当且仅当 t9，即 t 29时，得 k14，t4OAB1.12（ 20）（本小题满分12 分）解：（ 1） 设“顾客投掷一次硬币，该次投掷顾客胜利”为事件A ，则C43C445P A4162高三数学（

15、理科）试题第9页共12页所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为5 .3 分16（ 2）方案一：设顾客参加的3 次投掷活动中“顾客胜利”次数为X ，获得代金券数目为 Y ，则 XB3, 5， Y1X ，1632EYE1 X1 EX1352156 分32323216162方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为，则3P0111331 ，164096152351121815 ，111P55C3161616340962P1C3251131125825 ，1116161634096353P1C33531258 分5161634096（以上概率的值无需化简）1131351121311251

16、35313310 分E 0551631116351631631615120E因为 EY1621632所以统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二 .12 分（ 21）（本小题满分12 分）ln x 1x a 1解：（ 1） f x2x2,1 分因为 f x 在0，上单调递减，所以 f x0 ，得 ln x1x a 1 02高三数学（理科）试题第10页共12页令 hxln x1xa1，则 h x02 分2maxhx4x0x16 时， h x0 ， h x单调递增；当 x16 时， h x0 ，4x，当h x单调递减，所以当x16 时， hx 取得最大值 h 16ln16 a3由 ln16a30

17、 得 a34ln 24 分（ 2） g x11，依题意有2xx1111，化简整理得 x1x2x1x2x1x2，因为 x1 x2 ，所以2 x1x12 x22x2x1 x22x1x26 分111因为x1x22 x12 x222 x1 x24 ，当且仅当 x1x2 时，等号成立成立，即1x x4x x 4，即 x x256 ，又因为 xx，所以 xx2568 分1212121212gx1gx2x1ln x1x2ln x2x1x2lnx1x2，结合式得gx1gx2x1 x2lnx1 x2，令 x1x2t ，则 t2562由（ 1）可知 hxln x1xa1在 16,上单调递减，所以2y1 tln t 在 16,上单调递增，10 分2所以当 t256时， y1tln t1256ln 25688ln 222即 gxg x88ln 212 分12（ 22）（本小题满分10 分）解：（ 1）将 C 的参数方程化为普通方程得x12y324 ，将 xcos , y sin代入，并化简得C 的极坐标方程为2cos23sin.l2 的极坐标