北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

1、2 2a3海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学2020. 01本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。（1）已知集合 u =1,2,3, 4,5, 6，a =1,3,5，b =2,3,4，则集合a i bu是（a）1,3,5, 6（b）1,3,5（c）1,3（d）1,5（2）抛物线 y2=4 x的焦点坐标为（a）(0,1)（b）(1，0)（c）(0, -1

2、)（d）( -1,0)（3）下列直线与圆 ( x -1) +( y -1)=2 相切的是（a）y =-x（b）y =x（c）y =-2x（d）y =2 x（4）已知 a , b r ，且 a b，则（a）1asin b1 1 （c） ( ) b 21 （5）在 ( x - )x5的展开式中，x的系数为（a）- 5（b）5（c）- 10（d）10（6）已知平面向量 a , b, c满足a +b+c=0，且 | a |=|b |=|c |=1 ，则 a b的值为（a） -12（b）12（c） -32（d）32（7）已知 a , b ,g是三个不同的平面，且ai g=m ， bi g=n，则“ m

3、n ”是“ a b”的（a）充分而不必要条件（c）充分必要条件（b）必要而不充分条件（d）既不充分也不必要条件（8）已知等边 abc 边长为 3. 点 d 在 bc 边上，且 bd cd ， ad = 7 . 下列结论中错误 的是bb （a） =2cc（b）ssdabddacd=2cos bad（c）cos cad=2（d）sin badsin cad=2- 1 -（9）声音的等级 f ( x )（单位：db）与声音强度 x （单位：w/m 2 ）满足 f ( x ) =10 lgx110-12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140db；一般说话时，声音的等级约为 60db，那么 喷气式飞

4、机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（a） 106 倍 （b） 108 倍 （c） 1010 倍 （d） 1012 倍（10）若点 n 为点 m 在平面 a 上的正投影，则记 n = f ( m ) . 如a图，在棱长为 1 的正方体 abcd - a b c d 中，记平面1 1 1 1ab c d 为 b ，平面 abcd 为 g ，点 p 是棱 cc 上一动点（与 1 1 1a1d1b1c1c ， c不重合），q = f f ( p) 1 g b1列三个结论：，q = f f ( p )2 b g. 给出下dpc线段 pq21 2长度的取值范围是 , )2 2；a b存在点 p 使得

5、 pq 平面 b ；1存在点 p 使得 pq pq1 2.其中，所有正确结论的序号是（a） （b） （c） （d）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11）在等差数列a中， a =5 n 2， a =25，则 a =7_.（12）若复数 z =1 + ii，则 | z | =_.（13）已知点 a(0, 3)，点 b ,c 分别为双曲线xa22-y 23=1 ( a 0)的左、右顶点. 若abc为正三角形，则该双曲线的离心率为_.（14）已知函数 f ( x ) =x +ax在区间 (1,4)上存在最小值，则实数 a的取值范围是_.（15

6、）用“五点法”作函数f ( x) =a sin(wx +j)的图象时，列表如下：- 2 -4 4 2 2x-1412542114wx +jf ( x )00p22p03p2-22 p0则 f (-1) =1_， f (0) + f ( - ) =2_.（16）已知曲线 c： x +y +mx y =1 （i）给出下列结论：曲线 c 为中心对称图形； 曲线 c 为轴对称图形；（ m为常数）.当 m =-1时，若点 p ( x, y )在曲线 c上，则 | x |1或 | y |1.其中，所有正确结论的序号是 .（ii）当 m -2时，若曲线 c所围成的区域的面积小于 p，则 m的值可以是.（写出

7、一个即可）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （17）（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) =cos2 x + 3 sin x cos x -12.（）求函数f ( x )的单调递增区间；（）若f ( x)在区间 0, m 上的最大值为1，求 m 的最小值.（18）（本小题共 13 分）平面 abc abc 和如图，在三棱锥 v -abc 中，平面vac vac 均是等腰直角三角形， ab =bc ， ac =cv =2， m ， n分别为 va , vb的中点.mnv（）求证： ab/ 平面 cmn ；ac；（）求证： ab vc（）求直线

8、 vb 与平面 cmn（19）（本小题共 13 分）所成角的正弦值.b某市城市总体规划（20162035 年）提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分- 3 -为：优质小区（指数为 0.61）、良好小区（指数为 0.40.6）、中等小区（指数为 0.20.4）以及待改进小区（指数为 0 0.2）4 个等级. 下面是三个小区 4 个方面指标的调查数据： 小区指标值a 小区b 小区c 小区权重教育与文化（0.20） 医疗与养老（0

9、.20） 交通与购物（0.32） 休闲与健身（0.28）0.70.70.50.50.90.60.70.60.10.30.20.1注 ： 每 个 小 区 “15 分 钟 社 区 生 活 圈 ” 指 数 t =wt +w t +w t +w t1 1 2 2 3 3 4 4， 其 中w , w , w , w 1 2 3 4为该小区四个方面的权重， t , t , t , t 为该小区四个方面的指标值（小区1 2 3 4每一个方面的指标值为 01 之间的一个数值）.现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组频数0,0.2）100.2,0.4）200.4,0

10、.6）300.6,0.8）300.8,110（）分别判断 a，b，c 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 10 个小区进行调查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入 调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.（20）（本小题共 14 分）已知椭圆 c :x2 y 2+ =1 ( a b 0) 的右顶点 a2 b2a (2,0)3，且离心率为 2（）求椭圆 c 的方程；（）设 o 为原点，过点 o 的直线 l与椭圆 c 交于两点 p ， q ，直线 ap 和 a

11、q 分别与直线 x =4 交于点 m , n 求 apq 与 amn 面积之和的最小值.（21）（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) =ex (ax 2+1)(a 0) .（）求曲线y = f ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）若函数 f ( x)有极小值，求证： f ( x)的极小值小于 1 .- 4 -（22）（本小题共 14 分）给定整数 n ( n 2) ，数列 a ：x , x , l , x2 n +1 1 2 2 n +1每项均为整数，在 a2 n +1中去掉一项 xk,并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 m

12、 ( k =1,2, l , 2 n +1) . 将 m , m , l , m k 1 2 2 n +1中的最小值称为数列 a2 n +1的特征值.（）已知数列 a :1, 2,3,3,3，写出 m , m , m 的值及 a的特征值；51235（）若 x x l x，当i -(n +1) j -(n +1) 0 ，其中 i, j 1,2,l ,2 n +1且122 n +1i j时，判断 | m -m |与 | x -x |的大小关系，并说明理由；i（）已知数列 a2 n +1ijj的特征值为 n -1，求| x -x | i j的最小值.1i2均可三、解答题共 6 小题，共 80 分。解

13、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）解：（）f ( x ) =1 +cos 2 x 3 1 + sin 2 x -2 2 23 1sin 2 x + cos 2 x2 2=sin(2 x + )6.因为 y =sin x的单调递增区间为2k - , 2k + ( k z) 2 2 ，令2 x + 2 k - , 2 k + ( k z ) 6 2 2 ，得x k - , k + ( k z ) 3 6 .所以 f ( x )的单调递增区间为k - , k + ( k z ) 3 6 .（）方法 1：因为 x 0, m ，所以2 x + ,2 m + 6 6 6.- 6 -（）又因为

14、x 0, m ， f ( x ) 2m +所以.6 2m 解得.6所以 m 的最小值为.6=sin(2 x +6)的最大值为 1，方法 2：由（）知：当且仅当x =k +6( k z )时， f ( x )取得最大值 1.因为f ( x)在区间 0, m 上的最大值为 1，所以m 6.所以m的最小值为6.（18）解：（） vab 中，m，n 分别为 va，vb 的中点， 所以 mn 为中位线.mn / ab所以.又因为 ab 平面 cmn ，mn 平面 cmn ， 所以 ab/ 平面 cmn .（）在等腰直角三角 vac 中， ac =cv ,mnzv所以vc ac.xac因为平面 vac 平

15、面 abc ，平面vaci 平面 abc =ac ， vc 平面 vac，所以 vc 平面 abc .bhy又因为ab 平面abc，所以 ab vc .在平面 abc 内过点 c 做 ch垂直于 ac，由（）知， vc 平面 abc ， 因为 ch 平面 abc ， 所以 vc ch .如图,以 c为原点建立空间直角坐标系c -xyz.- 7 -， ，1 11 1则 c (0,0,0) v (0,0, 2) b (1,1,0) m (1,0,1) ， n ( ,2 2uur uuuur uuurvb =(1,1,-2) ， cm =(1,0,1) ， cn =( , ,1) .2 2,1).设

16、平面cmn的法向量为 n =( x, y , z ) ，则uuuurn cm =0, uuurn cn =0.x +z =0,即 1 1x + y +z =0. 2 2令x =1则y =1， z =-1,所以 n =(1,1, -1).直线vb与平面cmn 所成角大小为 q，uursin q =|cos |=uurn vb 2 2uur =| n | vb | 3.所以直线 vb 与平面 cmn 所成角的正弦值为 （19）解：（）方法 1:2 23.a 小区的指数 t =0.7 0.2 +0.7 0.2 +0.5 0.32 +0.5 0.28 =0.58，0.58 0.60,所以 b 小区是优

17、质小区;c 小区的指数 t =0.1 0.2 +0.3 0.2 +0.2 0.32 +0.1 0.28 =0.172，0.172 0.60,所以 c 小区不是优质小区.方法 2:a 小区的指数 t =0.7 0.2 +0.7 0.2 +0.5 0.32 +0.5 0.28 =0.580.58 0.6 0.2 +0.6 0.2 +0.6 0.32 +0.6 0.28 =0.6b 小区是优质小区;c 小区的指数 t =0.1 0.2 +0.3 0.2 +0.2 0.32 +0.1 0.28- 8 -.b 0).所以椭圆 c 的方程为x 24+y2=1.（）设点q( x , y ) 0 0，依题意，

18、点 p 坐标为 ( -x , -y )0 0，- 9 -p qm n0000满足x 20 +y402=1（ -2 x 2 且 y 0 ）,0 0直线 qa 的方程为yy = 0 ( x -2) x -20令 x =4，得2 yy = 0x -20，即2 yn (4, 0 )x -20.直线 pa 的方程为 y =y 2 y 0 ( x -2) ，同理可得 m (4, 0 ) .x +2 x +2 0 0设 b 为 x =4 与 x 轴的交点.sdapq+sdamn1 1= |oa | |y -y | + |ab | |y -y | 2 21 1 2 y 2 y = 2| 2 y | + 2|

19、0 - 02 2 x -2 x +20 0|=2 | y | +2 | y | | 0 01 1- | x -2 x +20 0又因为x 20=2 | y | +2 | y | | 0 0+4 y=4， y 0 , 2004x 2 -40|.所以sdapq+sdamn1 2=2|y | +2 | y | =2| y | + 4y 2 | y | 0 0.当且仅当y =10取等号，所以sdapq+sdamn的最小值为 4 .（21）解：（）由已知得 f (x) =e x ( ax 2 +2 ax +1)，因为 f (0) =1， f (0) =1，所以直线l的方程为 y = x +1.（）（i）

20、当 0 1 时,一元二次方程 ax2+2ax +1 =0 的判别式 d=4a(a -1) 0 ，记x , x1 2是方程的两个根，不妨设x x1 2.则x +x =-20. a所以x x 0 1 2.此时 fxf(x)(x) ， f ( x)( - ? , x )1+随x的变化如下： x( x , x )11 2-0x20( x , +? ) 2+f ( x)所以 f ( x )极大值f ( x )的极小值为2.极小值又因为 f ( x )在 x ,02单调递增，所以f ( x ) f (0) =1 2.所以 f ( x )22. 解：（）由题知：的极小值为小于1 .m =(3 +3) -(2

21、 +3) =1 1m =(3 +3) -(3 +1) =2 2;m =33.a5的特征值为 1.（）| m -m | = | x -x | i j i j.理由如下：由于i -(n +1) j -(n +1) 0，可分下列两种情况讨论：当i, j 1,2,l , n +1时，根据定义可知：m =( x i 2 n +1+x +l +x 2 n n+2) -( xn +1+x +l +x -x ) n 1 i- 11 -=( x2 n +1+x +l +x 2 n n +2) -( xn +1+x +l +x ) +x n 1 i同理可得：m =( x j 2 n +1+x +l +x 2 n

22、n +2) -( xn +1+x +l +x ) +x n 1j所以m -m =x -x i j ij.所以| m -m |=| x -x | i j i j.当i, j n +1,n +2,l ,2 n +1时，同理可得：m =( x i 2 n+1+x +l +x 2 n n +1-x ) -( x +x i n n -1+l +x ) 1=( x2 n+1m =( x j 2 n +1+x +l +x ) -( x +x 2 n n +1 n n-1+x +l +x ) -( x +x 2 n n +1 n n -1+l +x ) -x 1 i+l +x ) -x 1j所以m -m =x

23、 -x i j j i.所以| m -m | = | x -x | i j i j.综上有：| m -m | = | x -x | i j i j.（）不妨设x x l x 1 2 2 n +1| x -x |i j，1ij 2n +1=2nx2 n +1+(2 n -2) x +l +2 x2 n n+2+0 xn +1-2 x -l -2nx n 1=2n( x 2 n +1-x ) +(2 n -2)( x -x ) +l +2( x 1 2 n 2 n +2-x )n，显然，x2 n +1-x x -x l x 1 2 n 2 n +2-xn，x2 n +1+x +l +x 2 n n +2-( x +x n n -1+l +x ) 1( xn+1+l +x ) -( x +x +l +x ) =m 2 n 1 2 n 2 n+1.当且仅当xn +1