人教版九年级数学下册《用函数观点看一元二次方程》教案

1、26.2用函数观点看一元二次方程教学目标知识与技能1总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系情感态度价值观通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数， 讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想教学重点和难点重点 :方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点 :二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教学过程设计（一）问题的提出与解决

2、问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度30角的方向击出时，球的飞行路线将h（单位： m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系h 20t5t2。考虑以下问题（ 1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（ 2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（ 3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（ 4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数h=20t 5t2。所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解， 则说

3、明球的飞行高度可以达到问题中h 的值： 否则， 说明球的飞行高度不能达到问题中 h 的值。解：（1）解方程 15 20t5t2。t2 4t 3=0。t11,t 2 3。当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为15m。（ 2）解方程20 20t 5t2。t2 4t4 0。 t1 t2 2。当球飞行 2s 时，它的高度为20m。（ 3）解方程20.5 20t 5t2。t2 4t 4.1 0。因为（ 4） 2 44.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。（ 4）解方程0 20t 5t2。t2 4t0。t1 0,t2 4。当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为0m，即 0s 时球从地面飞

4、出。4s 时球落回地面。播放课件：函数的图像，画出二次函数 h=20t 5t2 的图象，观察图象，体会以上问题的答案。从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y x2 4x 的值为 3。求自变量x 的值。可以解一元二次方程x2 4x 3（即 x24x 3 0） 。反过来，解方程2 x 4 3 的值为 0，求自变量x 的值。x2 4x 3 0 又可以看作已知二次函数y一般地，我们可以利用二次函数y ax2 bx c 深入讨论一元二次方程ax2 bx c 0。（二）问题的讨论2二次函数（ 1）y x x 2；（

5、3） y x2 x 0。的图象如图26.2 2 所示。（ 1）以上二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（ 2）当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可播放课件：函数的图像，输入函数对应方程的解。a,b,c 的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出可以看出：（ 1）抛物线y x2 x 2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x x 2=0 的根是 2,1。2， 1。当x 取公共（ 2）抛物线y x2

6、6x9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是2数的值是0。由此得出方程x 6x 9=0 有两个相等的实数根3。3。当x 3 时，函（ 3）抛物线y x2 x 1 与x 轴没有公共点，由此可知，方程x2 x 1=0 没有实数根。总结：一般地， 如果二次函数y=ax2bxc的图像与x 轴相交， 那么交点的横坐标就是一元二次方程ax 2bxc =0 的根。（三）归纳一般地，从二次函数y ax2 bx c 的图象可知，（ 1）如果抛物线y ax2 bx c 与时，函数的值是0，因此 x x0 就是方程x 轴有公共点，公共点的横坐标是2x0，那么当x x0（ 2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三

7、种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论， 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。（四）例题例 利用函数图象求方程x2 2x 20 的实数根（精确到0.1）。2解：作 y x 2x 2 的图象（图 26.2 3），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是0.7,2.7。2所以方程 x 2x 2 0 的实数根为x1 0.7,x 22.7。播放课件： 函数的图象与求解一元二次方程的解， 前一个课件用来画图， 可根据图像估计出方程 x2 2x 20 实数